Porównawcze: ∑ai ∑bi są szeregami liczb t,że 1)(i) Ṿn>n1 |ai|<bi (ii) ∑bi zbieżny 2)zał Vn>n1 bn ≥an ≥0. ∑ai zbieżny to ∑bi też.
D: 1) ust ε>0. Pon ∑bi zb, więc istnieje n2 Vn>m>n2 |∑i=n+1 bi|<ε. Niech n0=max(n1,n2). Niech n>m>n0. Wtedy Vi>n0 |ai|≤bi. Stąd |∑i=m+1 bi|<ε 2) z 1. Aa. Przypuśćmy że ∑bi zbieżny. Mamy Vn>n1 0≤an≤bn. Z (1) ∑bi jest zbieżny. Sprzeczność
Tw.Riemanna o zb.war. Zał, że ∑an war zb, β,α ϵṜ oraz α≤β. Wtedy istn takie przestaw kolejn wyrazów w ∑an ,że otrzymamy szer ∑a’n spełniający warunki: 1)limsup(sn)=β 2)liminf(s’n)=α , gdzie sn=∑ai
(H) gr w punkcie: V(xn)n c A\x0 limxn=x0 => limf(xn)=y
(H) ciągł w punkcie: V(xn)n c A\x0 limxn=x0 => limf(xn)=f(x0)
Zb. Liczb granicznych: ⦰≠AcR , f:A->R, x0ϵṜ. Mówimy, że yϵṜ jest liczba graniczna fonkcji w x0, gdy istniej (xn)n c A\x0 limxn=x0 i limf(xn)=y ozn L(f,x0)
Tw Weierstrassa: zał, że f:[a,b]->R jest f ciągłą. Wtedy f jest ogr i osiaga swoje kresy. Istnieja x’,x’’ϵ[a,b] t,że f(x’)=inff([a,b]) . f(x’’)=supf([a,b])
D: Niech m= inff([a,b]) i M=supf([a,b]), istn (yn)n<f([a,b]) t,że lim yn=m. Vn istn xnϵ[a,b] yn=f(xn). Ciąg xn<[a,b], więc jest ogran. Z B-W istn (xkn)nc(xn)n t,że lim xkn=x. Ponieważ xkn ϵ[a,b], więc xϵ[a,b]. a≤xkn≤b. f jest ciagla w x, wiec lim f(xkn)=f(x) , f(xkn)= ykn -> lim ykn=m. Stąd f(x)=m, x’=x
Ciągłość f odwrotnej: Zał, ze f:[a,b]->R jest ciągla oraz ‘1-1’. Wtedy f-1 jest ciagla.
D: Niech J=[c,d] będzie obrazem funkcji f. J=f([a,b]). Ustalmy y0ϵJ. istn x0ϵ[a,b], f(x0)=y0, czyli y(y0)=x0. Ustalmy (yn)nc J t,że lim yn=y0. Spr,że lim g(yn)=g(y0). VnϵN ist xnϵ[a,b] f(xn)=yn, czyli xn=f-1(yn), czyli xn=g(yn). Czy lim xn=x0? Niech xϵL((xn)n). istn (xkn)n c (xn)n t,że lim xkn=x. Vn xnϵ[a,b], wiec xϵ[a,b]. f jest ciagla w x, wiec limf(xkn)=f(x). Zatem lim ykn=f(x). lim yn=y0, wiec lim ykn=y0, stad f(x)=y0=f(x0) . f jest ‘1-1’ więc x=x0. Stąd L((xn)n)={x0}, więc limxn=x0
(H) o ciągl jedn. : Jeżeli f:[a,b]->R jest ciągła to f jest jednostajnie ciągła.
D: (a.a) istn ε>0 Vd>0 istn x,x’ϵA |x-x’|<d i |f(xn)-f(x’n)|≥ ε Mamy ciagi xn i x’n c A t,że |xn-x’n|<1/n |f(xn)-f(x’n)|≥ ε. Z B-W istn (xkn)n c (xn)n istn xϵR lim xkn=x. xknϵ[a,b] więc xϵ[a,b]. Vn |xkn-x’kn|< 1/kn, czyli xkn-1/kn < xkn < xkn + 1/kn (dążą do x) z ciaglasi f w x, lim xkn=x -> limf(xkn)=f(x). lim x’kn=x -> limf(x’kn)=f(x). lim(f(xkn)-f(x’kn))=0 czyli lim | f(xkn)-f(x’kn)|=0. Zatem ist n0 | f(xkn)-f(x’kn)|< ε
O ciągłości gr jednost zb ciągu funkcji ciągłych: Zał,że fn:A->R, f:a->R, x0ϵA oraz fn =>f. Jeśli Vn fnjest ciagla w x0=, to f jest ciagla w x0.
D: Ust ε>0. Ist n0 VxϵA |fn0(x)-f(x)|< ε/3. Ponieważ fn jest ciagla w x0 istn d>0 VxϵA |x-x0|<d -> |fn0(x)-fn0(x0)|<ε/3 . Niech xϵA |x-x0|<d. Wtedy |f(x)-f(x0)|= |f(x)-fn0(x)+fn0(x)-fn0(x0)+fn0(x0)-f(x0)|≤ |f(x)-fn0(x)|+|fn0(x)-fn0(x0)|+|fn0(x0)-f(x0)|< ε
Kryt Weierstrassa zb jedn szeregów funkcyjnych: Zał,że ∑i=1 fi jest szer funkc, fn:A->R, ∑i=1ai jest szer liczb t,że Vn Vx |fn(x)|≤an. Wtedy ze zb szer ai wynika jednost zb szer fi.
D: Vn Vx |fn(x)|≤an . szer ai zbiezny, więc spełnia (C) zb szer liczbowego Vε>0 istn n0 Vn>n0 |an0+an0+1++..+an|<ε. Ust ε>0 istn n0 Vn≥n0 |an0+..+an|<ε . Niech n≥n0 , xϵA, wtedy |fn0(x)+fn0+1(x)+…+fn(x)|≤ |fn0(x)|+|fn0+1(x)|+…+|fn(x)|≤ an0+an0+1+..+an≤| an0+an0+1+..+an|<ε
Zb punktowa i jednostajna ciagów funkcyjnych: Zał,że ⦰≠AcR , VnϵN fn:A->R, f:A->R 1)(fn)n zbiega punktowo do f gdy VxϵA Vε>0 istn n0 Vn>n0 |fn(x)-f(x)|<ε (VxϵA lim fn(x)=f(x))
Abel: Lemat: ∑i=n do m aibi =∑i=n do m-1 Ai (bi – bi+1) + Ambm – An-1bn An=∑i=1 do n ai A0=0
Lagrange : g(x)=f(x)- f(b)-f(a)/b-a (x-a) – f(a)
Rollea: f:[a,b] ciag I roz na (a,b). f(a)=f(b) to istn c f’(c)=0 2)f ni jest stala na ab. Minf(x)<f(a) lub.. z Weierstrassa istn c f(c)=minf(x) f(a)=f(b)>minf(x) cϵ(ab) f’(x)=0
(C) o wart średniej: Zał,że f,g[ab]->R ciag [ab] I roz (ab). Istn c (ab) [g(b)-g(a)] f’(c)=[f(b)-f(a)] g’(c) 2) h(x)=f(x)-f(a)- f(b)-f(a)/g(b)-g(a) (g(x)-g(a)) Z Rollea
Porównawcze: ∑ai ∑bi są szeregami liczb t,że 1)(i) Ṿn>n1 |ai|<bi (ii) ∑bi zbieżny 2)zał Vn>n1 bn ≥an ≥0. ∑ai zbieżny to ∑bi też.
D: 1) ust ε>0. Pon ∑bi zb, więc istnieje n2 Vn>m>n2 |∑i=n+1 bi|<ε. Niech n0=max(n1,n2). Niech n>m>n0. Wtedy Vi>n0 |ai|≤bi. Stąd |∑i=m+1 bi|<ε 2) z 1. Aa. Przypuśćmy że ∑bi zbieżny. Mamy Vn>n1 0≤an≤bn. Z (1) ∑bi jest zbieżny. Sprzeczność
Tw.Riemanna o zb.war. Zał, że ∑an war zb, β,α ϵṜ oraz α≤β. Wtedy istn takie przestaw kolejn wyrazów w ∑an ,że otrzymamy szer ∑a’n spełniający warunki: 1)limsup(sn)=β 2)liminf(s’n)=α , gdzie sn=∑ai
(H) gr w punkcie: V(xn)n c A\x0 limxn=x0 => limf(xn)=y
(H) ciągł w punkcie: V(xn)n c A\x0 limxn=x0 => limf(xn)=f(x0)
Zb. Liczb granicznych: ⦰≠AcR , f:A->R, x0ϵṜ. Mówimy, że yϵṜ jest liczba graniczna fonkcji w x0, gdy istniej (xn)n c A\x0 limxn=x0 i limf(xn)=y ozn L(f,x0)
Tw Weierstrassa: zał, że f:[a,b]->R jest f ciągłą. Wtedy f jest ogr i osiaga swoje kresy. Istnieja x’,x’’ϵ[a,b] t,że f(x’)=inff([a,b]) . f(x’’)=supf([a,b])
D: Niech m= inff([a,b]) i M=supf([a,b]), istn (yn)n<f([a,b]) t,że lim yn=m. Vn istn xnϵ[a,b] yn=f(xn). Ciąg xn<[a,b], więc jest ogran. Z B-W istn (xkn)nc(xn)n t,że lim xkn=x. Ponieważ xkn ϵ[a,b], więc xϵ[a,b]. a≤xkn≤b. f jest ciagla w x, wiec lim f(xkn)=f(x) , f(xkn)= ykn -> lim ykn=m. Stąd f(x)=m, x’=x
Ciągłość f odwrotnej: Zał, ze f:[a,b]->R jest ciągla oraz ‘1-1’. Wtedy f-1 jest ciagla.
D: Niech J=[c,d] będzie obrazem funkcji f. J=f([a,b]). Ustalmy y0ϵJ. istn x0ϵ[a,b], f(x0)=y0, czyli y(y0)=x0. Ustalmy (yn)nc J t,że lim yn=y0. Spr,że lim g(yn)=g(y0). VnϵN ist xnϵ[a,b] f(xn)=yn, czyli xn=f-1(yn), czyli xn=g(yn). Czy lim xn=x0? Niech xϵL((xn)n). istn (xkn)n c (xn)n t,że lim xkn=x. Vn xnϵ[a,b], wiec xϵ[a,b]. f jest ciagla w x, wiec limf(xkn)=f(x). Zatem lim ykn=f(x). lim yn=y0, wiec lim ykn=y0, stad f(x)=y0=f(x0) . f jest ‘1-1’ więc x=x0. Stąd L((xn)n)={x0}, więc limxn=x0
(H) o ciągl jedn. : Jeżeli f:[a,b]->R jest ciągła to f jest jednostajnie ciągła.
D: (a.a) istn ε>0 Vd>0 istn x,x’ϵA |x-x’|<d i |f(xn)-f(x’n)|≥ ε Mamy ciagi xn i x’n c A t,że |xn-x’n|<1/n |f(xn)-f(x’n)|≥ ε. Z B-W istn (xkn)n c (xn)n istn xϵR lim xkn=x. xknϵ[a,b] więc xϵ[a,b]. Vn |xkn-x’kn|< 1/kn, czyli xkn-1/kn < xkn < xkn + 1/kn (dążą do x) z ciaglasi f w x, lim xkn=x -> limf(xkn)=f(x). lim x’kn=x -> limf(x’kn)=f(x). lim(f(xkn)-f(x’kn))=0 czyli lim | f(xkn)-f(x’kn)|=0. Zatem ist n0 | f(xkn)-f(x’kn)|< ε
O ciągłości gr jednost zb ciągu funkcji ciągłych: Zał,że fn:A->R, f:a->R, x0ϵA oraz fn =>f. Jeśli Vn fnjest ciagla w x0=, to f jest ciagla w x0.
D: Ust ε>0. Ist n0 VxϵA |fn0(x)-f(x)|< ε/3. Ponieważ fn jest ciagla w x0 istn d>0 VxϵA |x-x0|<d -> |fn0(x)-fn0(x0)|<ε/3 . Niech xϵA |x-x0|<d. Wtedy |f(x)-f(x0)|= |f(x)-fn0(x)+fn0(x)-fn0(x0)+fn0(x0)-f(x0)|≤ |f(x)-fn0(x)|+|fn0(x)-fn0(x0)|+|fn0(x0)-f(x0)|< ε
Kryt Weierstrassa zb jedn szeregów funkcyjnych: Zał,że ∑i=1 fi jest szer funkc, fn:A->R, ∑i=1ai jest szer liczb t,że Vn Vx |fn(x)|≤an. Wtedy ze zb szer ai wynika jednost zb szer fi.
D: Vn Vx |fn(x)|≤an . szer ai zbiezny, więc spełnia (C) zb szer liczbowego Vε>0 istn n0 Vn>n0 |an0+an0+1++..+an|<ε. Ust ε>0 istn n0 Vn≥n0 |an0+..+an|<ε . Niech n≥n0 , xϵA, wtedy |fn0(x)+fn0+1(x)+…+fn(x)|≤ |fn0(x)|+|fn0+1(x)|+…+|fn(x)|≤ an0+an0+1+..+an≤| an0+an0+1+..+an|<ε
Zb punktowa i jednostajna ciagów funkcyjnych: Zał,że ⦰≠AcR , VnϵN fn:A->R, f:A->R 1)(fn)n zbiega punktowo do f gdy VxϵA Vε>0 istn n0 Vn>n0 |fn(x)-f(x)|<ε (VxϵA lim fn(x)=f(x))
Abel: Lemat: ∑i=n do m aibi =∑i=n do m-1 Ai (bi – bi+1) + Ambm – An-1bn An=∑i=1 do n ai A0=0
Lagrange : g(x)=f(x)- f(b)-f(a)/b-a (x-a) – f(a)
Rollea: f:[a,b] ciag I roz na (a,b). f(a)=f(b) to istn c f’(c)=0 2)f ni jest stala na ab. Minf(x)<f(a) lub.. z Weierstrassa istn c f(c)=minf(x) f(a)=f(b)>minf(x) cϵ(ab) f’(x)=0
(C) o wart średniej: Zał,że f,g[ab]->R ciag [ab] I roz (ab). Istn c (ab) [g(b)-g(a)] f’(c)=[f(b)-f(a)] g’(c) 2) h(x)=f(x)-f(a)- f(b)-f(a)/g(b)-g(a) (g(x)-g(a)) Z Rollea
Porównawcze: ∑ai ∑bi są szeregami liczb t,że 1)(i) Ṿn>n1 |ai|<bi (ii) ∑bi zbieżny 2)zał Vn>n1 bn ≥an ≥0. ∑ai zbieżny to ∑bi też.
D: 1) ust ε>0. Pon ∑bi zb, więc istnieje n2 Vn>m>n2 |∑i=n+1 bi|<ε. Niech n0=max(n1,n2). Niech n>m>n0. Wtedy Vi>n0 |ai|≤bi. Stąd |∑i=m+1 bi|<ε 2) z 1. Aa. Przypuśćmy że ∑bi zbieżny. Mamy Vn>n1 0≤an≤bn. Z (1) ∑bi jest zbieżny. Sprzeczność
Tw.Riemanna o zb.war. Zał, że ∑an war zb, β,α ϵṜ oraz α≤β. Wtedy istn takie przestaw kolejn wyrazów w ∑an ,że otrzymamy szer ∑a’n spełniający warunki: 1)limsup(sn)=β 2)liminf(s’n)=α , gdzie sn=∑ai
(H) gr w punkcie: V(xn)n c A\x0 limxn=x0 => limf(xn)=y
(H) ciągł w punkcie: V(xn)n c A\x0 limxn=x0 => limf(xn)=f(x0)
Zb. Liczb granicznych: ⦰≠AcR , f:A->R, x0ϵṜ. Mówimy, że yϵṜ jest liczba graniczna fonkcji w x0, gdy istniej (xn)n c A\x0 limxn=x0 i limf(xn)=y ozn L(f,x0)
Tw Weierstrassa: zał, że f:[a,b]->R jest f ciągłą. Wtedy f jest ogr i osiaga swoje kresy. Istnieja x’,x’’ϵ[a,b] t,że f(x’)=inff([a,b]) . f(x’’)=supf([a,b])
D: Niech m= inff([a,b]) i M=supf([a,b]), istn (yn)n<f([a,b]) t,że lim yn=m. Vn istn xnϵ[a,b] yn=f(xn). Ciąg xn<[a,b], więc jest ogran. Z B-W istn (xkn)nc(xn)n t,że lim xkn=x. Ponieważ xkn ϵ[a,b], więc xϵ[a,b]. a≤xkn≤b. f jest ciagla w x, wiec lim f(xkn)=f(x) , f(xkn)= ykn -> lim ykn=m. Stąd f(x)=m, x’=x
Ciągłość f odwrotnej: Zał, ze f:[a,b]->R jest ciągla oraz ‘1-1’. Wtedy f-1 jest ciagla.
D: Niech J=[c,d] będzie obrazem funkcji f. J=f([a,b]). Ustalmy y0ϵJ. istn x0ϵ[a,b], f(x0)=y0, czyli y(y0)=x0. Ustalmy (yn)nc J t,że lim yn=y0. Spr,że lim g(yn)=g(y0). VnϵN ist xnϵ[a,b] f(xn)=yn, czyli xn=f-1(yn), czyli xn=g(yn). Czy lim xn=x0? Niech xϵL((xn)n). istn (xkn)n c (xn)n t,że lim xkn=x. Vn xnϵ[a,b], wiec xϵ[a,b]. f jest ciagla w x, wiec limf(xkn)=f(x). Zatem lim ykn=f(x). lim yn=y0, wiec lim ykn=y0, stad f(x)=y0=f(x0) . f jest ‘1-1’ więc x=x0. Stąd L((xn)n)={x0}, więc limxn=x0
(H) o ciągl jedn. : Jeżeli f:[a,b]->R jest ciągła to f jest jednostajnie ciągła.
D: (a.a) istn ε>0 Vd>0 istn x,x’ϵA |x-x’|<d i |f(xn)-f(x’n)|≥ ε Mamy ciagi xn i x’n c A t,że |xn-x’n|<1/n |f(xn)-f(x’n)|≥ ε. Z B-W istn (xkn)n c (xn)n istn xϵR lim xkn=x. xknϵ[a,b] więc xϵ[a,b]. Vn |xkn-x’kn|< 1/kn, czyli xkn-1/kn < xkn < xkn + 1/kn (dążą do x) z ciaglasi f w x, lim xkn=x -> limf(xkn)=f(x). lim x’kn=x -> limf(x’kn)=f(x). lim(f(xkn)-f(x’kn))=0 czyli lim | f(xkn)-f(x’kn)|=0. Zatem ist n0 | f(xkn)-f(x’kn)|< ε
O ciągłości gr jednost zb ciągu funkcji ciągłych: Zał,że fn:A->R, f:a->R, x0ϵA oraz fn =>f. Jeśli Vn fnjest ciagla w x0=, to f jest ciagla w x0.
D: Ust ε>0. Ist n0 VxϵA |fn0(x)-f(x)|< ε/3. Ponieważ fn jest ciagla w x0 istn d>0 VxϵA |x-x0|<d -> |fn0(x)-fn0(x0)|<ε/3 . Niech xϵA |x-x0|<d. Wtedy |f(x)-f(x0)|= |f(x)-fn0(x)+fn0(x)-fn0(x0)+fn0(x0)-f(x0)|≤ |f(x)-fn0(x)|+|fn0(x)-fn0(x0)|+|fn0(x0)-f(x0)|< ε
Kryt Weierstrassa zb jedn szeregów funkcyjnych: Zał,że ∑i=1 fi jest szer funkc, fn:A->R, ∑i=1ai jest szer liczb t,że Vn Vx |fn(x)|≤an. Wtedy ze zb szer ai wynika jednost zb szer fi.
D: Vn Vx |fn(x)|≤an . szer ai zbiezny, więc spełnia (C) zb szer liczbowego Vε>0 istn n0 Vn>n0 |an0+an0+1++..+an|<ε. Ust ε>0 istn n0 Vn≥n0 |an0+..+an|<ε . Niech n≥n0 , xϵA, wtedy |fn0(x)+fn0+1(x)+…+fn(x)|≤ |fn0(x)|+|fn0+1(x)|+…+|fn(x)|≤ an0+an0+1+..+an≤| an0+an0+1+..+an|<ε
Zb punktowa i jednostajna ciagów funkcyjnych: Zał,że ⦰≠AcR , VnϵN fn:A->R, f:A->R 1)(fn)n zbiega punktowo do f gdy VxϵA Vε>0 istn n0 Vn>n0 |fn(x)-f(x)|<ε (VxϵA lim fn(x)=f(x))
Abel: Lemat: ∑i=n do m aibi =∑i=n do m-1 Ai (bi – bi+1) + Ambm – An-1bn An=∑i=1 do n ai A0=0
Lagrange : g(x)=f(x)- f(b)-f(a)/b-a (x-a) – f(a)
Rollea: f:[a,b] ciag I roz na (a,b). f(a)=f(b) to istn c f’(c)=0 2)f ni jest stala na ab. Minf(x)<f(a) lub.. z Weierstrassa istn c f(c)=minf(x) f(a)=f(b)>minf(x) cϵ(ab) f’(x)=0
(C) o wart średniej: Zał,że f,g[ab]->R ciag [ab] I roz (ab). Istn c (ab) [g(b)-g(a)] f’(c)=[f(b)-f(a)] g’(c) 2) h(x)=f(x)-f(a)- f(b)-f(a)/g(b)-g(a) (g(x)-g(a)) Z Rollea
Porównawcze: ∑ai ∑bi są szeregami liczb t,że 1)(i) Ṿn>n1 |ai|<bi (ii) ∑bi zbieżny 2)zał Vn>n1 bn ≥an ≥0. ∑ai zbieżny to ∑bi też.
D: 1) ust ε>0. Pon ∑bi zb, więc istnieje n2 Vn>m>n2 |∑i=n+1 bi|<ε. Niech n0=max(n1,n2). Niech n>m>n0. Wtedy Vi>n0 |ai|≤bi. Stąd |∑i=m+1 bi|<ε 2) z 1. Aa. Przypuśćmy że ∑bi zbieżny. Mamy Vn>n1 0≤an≤bn. Z (1) ∑bi jest zbieżny. Sprzeczność
Tw.Riemanna o zb.war. Zał, że ∑an war zb, β,α ϵṜ oraz α≤β. Wtedy istn takie przestaw kolejn wyrazów w ∑an ,że otrzymamy szer ∑a’n spełniający warunki: 1)limsup(sn)=β 2)liminf(s’n)=α , gdzie sn=∑ai
(H) gr w punkcie: V(xn)n c A\x0 limxn=x0 => limf(xn)=y
(H) ciągł w punkcie: V(xn)n c A\x0 limxn=x0 => limf(xn)=f(x0)
Zb. Liczb granicznych: ⦰≠AcR , f:A->R, x0ϵṜ. Mówimy, że yϵṜ jest liczba graniczna fonkcji w x0, gdy istniej (xn)n c A\x0 limxn=x0 i limf(xn)=y ozn L(f,x0)
Tw Weierstrassa: zał, że f:[a,b]->R jest f ciągłą. Wtedy f jest ogr i osiaga swoje kresy. Istnieja x’,x’’ϵ[a,b] t,że f(x’)=inff([a,b]) . f(x’’)=supf([a,b])
D: Niech m= inff([a,b]) i M=supf([a,b]), istn (yn)n<f([a,b]) t,że lim yn=m. Vn istn xnϵ[a,b] yn=f(xn). Ciąg xn<[a,b], więc jest ogran. Z B-W istn (xkn)nc(xn)n t,że lim xkn=x. Ponieważ xkn ϵ[a,b], więc xϵ[a,b]. a≤xkn≤b. f jest ciagla w x, wiec lim f(xkn)=f(x) , f(xkn)= ykn -> lim ykn=m. Stąd f(x)=m, x’=x
Ciągłość f odwrotnej: Zał, ze f:[a,b]->R jest ciągla oraz ‘1-1’. Wtedy f-1 jest ciagla.
D: Niech J=[c,d] będzie obrazem funkcji f. J=f([a,b]). Ustalmy y0ϵJ. istn x0ϵ[a,b], f(x0)=y0, czyli y(y0)=x0. Ustalmy (yn)nc J t,że lim yn=y0. Spr,że lim g(yn)=g(y0). VnϵN ist xnϵ[a,b] f(xn)=yn, czyli xn=f-1(yn), czyli xn=g(yn). Czy lim xn=x0? Niech xϵL((xn)n). istn (xkn)n c (xn)n t,że lim xkn=x. Vn xnϵ[a,b], wiec xϵ[a,b]. f jest ciagla w x, wiec limf(xkn)=f(x). Zatem lim ykn=f(x). lim yn=y0, wiec lim ykn=y0, stad f(x)=y0=f(x0) . f jest ‘1-1’ więc x=x0. Stąd L((xn)n)={x0}, więc limxn=x0
(H) o ciągl jedn. : Jeżeli f:[a,b]->R jest ciągła to f jest jednostajnie ciągła.
D: (a.a) istn ε>0 Vd>0 istn x,x’ϵA |x-x’|<d i |f(xn)-f(x’n)|≥ ε Mamy ciagi xn i x’n c A t,że |xn-x’n|<1/n |f(xn)-f(x’n)|≥ ε. Z B-W istn (xkn)n c (xn)n istn xϵR lim xkn=x. xknϵ[a,b] więc xϵ[a,b]. Vn |xkn-x’kn|< 1/kn, czyli xkn-1/kn < xkn < xkn + 1/kn (dążą do x) z ciaglasi f w x, lim xkn=x -> limf(xkn)=f(x). lim x’kn=x -> limf(x’kn)=f(x). lim(f(xkn)-f(x’kn))=0 czyli lim | f(xkn)-f(x’kn)|=0. Zatem ist n0 | f(xkn)-f(x’kn)|< ε
O ciągłości gr jednost zb ciągu funkcji ciągłych: Zał,że fn:A->R, f:a->R, x0ϵA oraz fn =>f. Jeśli Vn fnjest ciagla w x0=, to f jest ciagla w x0.
D: Ust ε>0. Ist n0 VxϵA |fn0(x)-f(x)|< ε/3. Ponieważ fn jest ciagla w x0 istn d>0 VxϵA |x-x0|<d -> |fn0(x)-fn0(x0)|<ε/3 . Niech xϵA |x-x0|<d. Wtedy |f(x)-f(x0)|= |f(x)-fn0(x)+fn0(x)-fn0(x0)+fn0(x0)-f(x0)|≤ |f(x)-fn0(x)|+|fn0(x)-fn0(x0)|+|fn0(x0)-f(x0)|< ε
Kryt Weierstrassa zb jedn szeregów funkcyjnych: Zał,że ∑i=1 fi jest szer funkc, fn:A->R, ∑i=1ai jest szer liczb t,że Vn Vx |fn(x)|≤an. Wtedy ze zb szer ai wynika jednost zb szer fi.
D: Vn Vx |fn(x)|≤an . szer ai zbiezny, więc spełnia (C) zb szer liczbowego Vε>0 istn n0 Vn>n0 |an0+an0+1++..+an|<ε. Ust ε>0 istn n0 Vn≥n0 |an0+..+an|<ε . Niech n≥n0 , xϵA, wtedy |fn0(x)+fn0+1(x)+…+fn(x)|≤ |fn0(x)|+|fn0+1(x)|+…+|fn(x)|≤ an0+an0+1+..+an≤| an0+an0+1+..+an|<ε
Zb punktowa i jednostajna ciagów funkcyjnych: Zał,że ⦰≠AcR , VnϵN fn:A->R, f:A->R 1)(fn)n zbiega punktowo do f gdy VxϵA Vε>0 istn n0 Vn>n0 |fn(x)-f(x)|<ε (VxϵA lim fn(x)=f(x))
Abel: Lemat: ∑i=n do m aibi =∑i=n do m-1 Ai (bi – bi+1) + Ambm – An-1bn An=∑i=1 do n ai A0=0
Lagrange : g(x)=f(x)- f(b)-f(a)/b-a (x-a) – f(a)
Rollea: f:[a,b] ciag I roz na (a,b). f(a)=f(b) to istn c f’(c)=0 2)f ni jest stala na ab. Minf(x)<f(a) lub.. z Weierstrassa istn c f(c)=minf(x) f(a)=f(b)>minf(x) cϵ(ab) f’(x)=0
(C) o wart średniej: Zał,że f,g[ab]->R ciag [ab] I roz (ab). Istn c (ab) [g(b)-g(a)] f’(c)=[f(b)-f(a)] g’(c) 2) h(x)=f(x)-f(a)- f(b)-f(a)/g(b)-g(a) (g(x)-g(a)) Z Rollea
Porównawcze: ∑ai ∑bi są szeregami liczb t,że 1)(i) Ṿn>n1 |ai|<bi (ii) ∑bi zbieżny 2)zał Vn>n1 bn ≥an ≥0. ∑ai zbieżny to ∑bi też.
D: 1) ust ε>0. Pon ∑bi zb, więc istnieje n2 Vn>m>n2 |∑i=n+1 bi|<ε. Niech n0=max(n1,n2). Niech n>m>n0. Wtedy Vi>n0 |ai|≤bi. Stąd |∑i=m+1 bi|<ε 2) z 1. Aa. Przypuśćmy że ∑bi zbieżny. Mamy Vn>n1 0≤an≤bn. Z (1) ∑bi jest zbieżny. Sprzeczność
Tw.Riemanna o zb.war. Zał, że ∑an war zb, β,α ϵṜ oraz α≤β. Wtedy istn takie przestaw kolejn wyrazów w ∑an ,że otrzymamy szer ∑a’n spełniający warunki: 1)limsup(sn)=β 2)liminf(s’n)=α , gdzie sn=∑ai
(H) gr w punkcie: V(xn)n c A\x0 limxn=x0 => limf(xn)=y
(H) ciągł w punkcie: V(xn)n c A\x0 limxn=x0 => limf(xn)=f(x0)
Zb. Liczb granicznych: ⦰≠AcR , f:A->R, x0ϵṜ. Mówimy, że yϵṜ jest liczba graniczna fonkcji w x0, gdy istniej (xn)n c A\x0 limxn=x0 i limf(xn)=y ozn L(f,x0)
Tw Weierstrassa: zał, że f:[a,b]->R jest f ciągłą. Wtedy f jest ogr i osiaga swoje kresy. Istnieja x’,x’’ϵ[a,b] t,że f(x’)=inff([a,b]) . f(x’’)=supf([a,b])
D: Niech m= inff([a,b]) i M=supf([a,b]), istn (yn)n<f([a,b]) t,że lim yn=m. Vn istn xnϵ[a,b] yn=f(xn). Ciąg xn<[a,b], więc jest ogran. Z B-W istn (xkn)nc(xn)n t,że lim xkn=x. Ponieważ xkn ϵ[a,b], więc xϵ[a,b]. a≤xkn≤b. f jest ciagla w x, wiec lim f(xkn)=f(x) , f(xkn)= ykn -> lim ykn=m. Stąd f(x)=m, x’=x
Ciągłość f odwrotnej: Zał, ze f:[a,b]->R jest ciągla oraz ‘1-1’. Wtedy f-1 jest ciagla.
D: Niech J=[c,d] będzie obrazem funkcji f. J=f([a,b]). Ustalmy y0ϵJ. istn x0ϵ[a,b], f(x0)=y0, czyli y(y0)=x0. Ustalmy (yn)nc J t,że lim yn=y0. Spr,że lim g(yn)=g(y0). VnϵN ist xnϵ[a,b] f(xn)=yn, czyli xn=f-1(yn), czyli xn=g(yn). Czy lim xn=x0? Niech xϵL((xn)n). istn (xkn)n c (xn)n t,że lim xkn=x. Vn xnϵ[a,b], wiec xϵ[a,b]. f jest ciagla w x, wiec limf(xkn)=f(x). Zatem lim ykn=f(x). lim yn=y0, wiec lim ykn=y0, stad f(x)=y0=f(x0) . f jest ‘1-1’ więc x=x0. Stąd L((xn)n)={x0}, więc limxn=x0
(H) o ciągl jedn. : Jeżeli f:[a,b]->R jest ciągła to f jest jednostajnie ciągła.
D: (a.a) istn ε>0 Vd>0 istn x,x’ϵA |x-x’|<d i |f(xn)-f(x’n)|≥ ε Mamy ciagi xn i x’n c A t,że |xn-x’n|<1/n |f(xn)-f(x’n)|≥ ε. Z B-W istn (xkn)n c (xn)n istn xϵR lim xkn=x. xknϵ[a,b] więc xϵ[a,b]. Vn |xkn-x’kn|< 1/kn, czyli xkn-1/kn < xkn < xkn + 1/kn (dążą do x) z ciaglasi f w x, lim xkn=x -> limf(xkn)=f(x). lim x’kn=x -> limf(x’kn)=f(x). lim(f(xkn)-f(x’kn))=0 czyli lim | f(xkn)-f(x’kn)|=0. Zatem ist n0 | f(xkn)-f(x’kn)|< ε
O ciągłości gr jednost zb ciągu funkcji ciągłych: Zał,że fn:A->R, f:a->R, x0ϵA oraz fn =>f. Jeśli Vn fnjest ciagla w x0=, to f jest ciagla w x0.
D: Ust ε>0. Ist n0 VxϵA |fn0(x)-f(x)|< ε/3. Ponieważ fn jest ciagla w x0 istn d>0 VxϵA |x-x0|<d -> |fn0(x)-fn0(x0)|<ε/3 . Niech xϵA |x-x0|<d. Wtedy |f(x)-f(x0)|= |f(x)-fn0(x)+fn0(x)-fn0(x0)+fn0(x0)-f(x0)|≤ |f(x)-fn0(x)|+|fn0(x)-fn0(x0)|+|fn0(x0)-f(x0)|< ε
Kryt Weierstrassa zb jedn szeregów funkcyjnych: Zał,że ∑i=1 fi jest szer funkc, fn:A->R, ∑i=1ai jest szer liczb t,że Vn Vx |fn(x)|≤an. Wtedy ze zb szer ai wynika jednost zb szer fi.
D: Vn Vx |fn(x)|≤an . szer ai zbiezny, więc spełnia (C) zb szer liczbowego Vε>0 istn n0 Vn>n0 |an0+an0+1++..+an|<ε. Ust ε>0 istn n0 Vn≥n0 |an0+..+an|<ε . Niech n≥n0 , xϵA, wtedy |fn0(x)+fn0+1(x)+…+fn(x)|≤ |fn0(x)|+|fn0+1(x)|+…+|fn(x)|≤ an0+an0+1+..+an≤| an0+an0+1+..+an|<ε
Zb punktowa i jednostajna ciagów funkcyjnych: Zał,że ⦰≠AcR , VnϵN fn:A->R, f:A->R 1)(fn)n zbiega punktowo do f gdy VxϵA Vε>0 istn n0 Vn>n0 |fn(x)-f(x)|<ε (VxϵA lim fn(x)=f(x))
Abel: Lemat: ∑i=n do m aibi =∑i=n do m-1 Ai (bi – bi+1) + Ambm – An-1bn An=∑i=1 do n ai A0=0
Lagrange : g(x)=f(x)- f(b)-f(a)/b-a (x-a) – f(a)
Rollea: f:[a,b] ciag I roz na (a,b). f(a)=f(b) to istn c f’(c)=0 2)f ni jest stala na ab. Minf(x)<f(a) lub.. z Weierstrassa istn c f(c)=minf(x) f(a)=f(b)>minf(x) cϵ(ab) f’(x)=0
(C) o wart średniej: Zał,że f,g[ab]->R ciag [ab] I roz (ab). Istn c (ab) [g(b)-g(a)] f’(c)=[f(b)-f(a)] g’(c) 2) h(x)=f(x)-f(a)- f(b)-f(a)/g(b)-g(a) (g(x)-g(a)) Z Rollea
Porównawcze: ∑ai ∑bi są szeregami liczb t,że 1)(i) Ṿn>n1 |ai|<bi (ii) ∑bi zbieżny 2)zał Vn>n1 bn ≥an ≥0. ∑ai zbieżny to ∑bi też.
D: 1) ust ε>0. Pon ∑bi zb, więc istnieje n2 Vn>m>n2 |∑i=n+1 bi|<ε. Niech n0=max(n1,n2). Niech n>m>n0. Wtedy Vi>n0 |ai|≤bi. Stąd |∑i=m+1 bi|<ε 2) z 1. Aa. Przypuśćmy że ∑bi zbieżny. Mamy Vn>n1 0≤an≤bn. Z (1) ∑bi jest zbieżny. Sprzeczność
Tw.Riemanna o zb.war. Zał, że ∑an war zb, β,α ϵṜ oraz α≤β. Wtedy istn takie przestaw kolejn wyrazów w ∑an ,że otrzymamy szer ∑a’n spełniający warunki: 1)limsup(sn)=β 2)liminf(s’n)=α , gdzie sn=∑ai
(H) gr w punkcie: V(xn)n c A\x0 limxn=x0 => limf(xn)=y
(H) ciągł w punkcie: V(xn)n c A\x0 limxn=x0 => limf(xn)=f(x0)
Zb. Liczb granicznych: ⦰≠AcR , f:A->R, x0ϵṜ. Mówimy, że yϵṜ jest liczba graniczna fonkcji w x0, gdy istniej (xn)n c A\x0 limxn=x0 i limf(xn)=y ozn L(f,x0)
Tw Weierstrassa: zał, że f:[a,b]->R jest f ciągłą. Wtedy f jest ogr i osiaga swoje kresy. Istnieja x’,x’’ϵ[a,b] t,że f(x’)=inff([a,b]) . f(x’’)=supf([a,b])
D: Niech m= inff([a,b]) i M=supf([a,b]), istn (yn)n<f([a,b]) t,że lim yn=m. Vn istn xnϵ[a,b] yn=f(xn). Ciąg xn<[a,b], więc jest ogran. Z B-W istn (xkn)nc(xn)n t,że lim xkn=x. Ponieważ xkn ϵ[a,b], więc xϵ[a,b]. a≤xkn≤b. f jest ciagla w x, wiec lim f(xkn)=f(x) , f(xkn)= ykn -> lim ykn=m. Stąd f(x)=m, x’=x
Ciągłość f odwrotnej: Zał, ze f:[a,b]->R jest ciągla oraz ‘1-1’. Wtedy f-1 jest ciagla.
D: Niech J=[c,d] będzie obrazem funkcji f. J=f([a,b]). Ustalmy y0ϵJ. istn x0ϵ[a,b], f(x0)=y0, czyli y(y0)=x0. Ustalmy (yn)nc J t,że lim yn=y0. Spr,że lim g(yn)=g(y0). VnϵN ist xnϵ[a,b] f(xn)=yn, czyli xn=f-1(yn), czyli xn=g(yn). Czy lim xn=x0? Niech xϵL((xn)n). istn (xkn)n c (xn)n t,że lim xkn=x. Vn xnϵ[a,b], wiec xϵ[a,b]. f jest ciagla w x, wiec limf(xkn)=f(x). Zatem lim ykn=f(x). lim yn=y0, wiec lim ykn=y0, stad f(x)=y0=f(x0) . f jest ‘1-1’ więc x=x0. Stąd L((xn)n)={x0}, więc limxn=x0
(H) o ciągl jedn. : Jeżeli f:[a,b]->R jest ciągła to f jest jednostajnie ciągła.
D: (a.a) istn ε>0 Vd>0 istn x,x’ϵA |x-x’|<d i |f(xn)-f(x’n)|≥ ε Mamy ciagi xn i x’n c A t,że |xn-x’n|<1/n |f(xn)-f(x’n)|≥ ε. Z B-W istn (xkn)n c (xn)n istn xϵR lim xkn=x. xknϵ[a,b] więc xϵ[a,b]. Vn |xkn-x’kn|< 1/kn, czyli xkn-1/kn < xkn < xkn + 1/kn (dążą do x) z ciaglasi f w x, lim xkn=x -> limf(xkn)=f(x). lim x’kn=x -> limf(x’kn)=f(x). lim(f(xkn)-f(x’kn))=0 czyli lim | f(xkn)-f(x’kn)|=0. Zatem ist n0 | f(xkn)-f(x’kn)|< ε
O ciągłości gr jednost zb ciągu funkcji ciągłych: Zał,że fn:A->R, f:a->R, x0ϵA oraz fn =>f. Jeśli Vn fnjest ciagla w x0=, to f jest ciagla w x0.
D: Ust ε>0. Ist n0 VxϵA |fn0(x)-f(x)|< ε/3. Ponieważ fn jest ciagla w x0 istn d>0 VxϵA |x-x0|<d -> |fn0(x)-fn0(x0)|<ε/3 . Niech xϵA |x-x0|<d. Wtedy |f(x)-f(x0)|= |f(x)-fn0(x)+fn0(x)-fn0(x0)+fn0(x0)-f(x0)|≤ |f(x)-fn0(x)|+|fn0(x)-fn0(x0)|+|fn0(x0)-f(x0)|< ε
Kryt Weierstrassa zb jedn szeregów funkcyjnych: Zał,że ∑i=1 fi jest szer funkc, fn:A->R, ∑i=1ai jest szer liczb t,że Vn Vx |fn(x)|≤an. Wtedy ze zb szer ai wynika jednost zb szer fi.
D: Vn Vx |fn(x)|≤an . szer ai zbiezny, więc spełnia (C) zb szer liczbowego Vε>0 istn n0 Vn>n0 |an0+an0+1++..+an|<ε. Ust ε>0 istn n0 Vn≥n0 |an0+..+an|<ε . Niech n≥n0 , xϵA, wtedy |fn0(x)+fn0+1(x)+…+fn(x)|≤ |fn0(x)|+|fn0+1(x)|+…+|fn(x)|≤ an0+an0+1+..+an≤| an0+an0+1+..+an|<ε
Zb punktowa i jednostajna ciagów funkcyjnych: Zał,że ⦰≠AcR , VnϵN fn:A->R, f:A->R 1)(fn)n zbiega punktowo do f gdy VxϵA Vε>0 istn n0 Vn>n0 |fn(x)-f(x)|<ε (VxϵA lim fn(x)=f(x))
Abel: Lemat: ∑i=n do m aibi =∑i=n do m-1 Ai (bi – bi+1) + Ambm – An-1bn An=∑i=1 do n ai A0=0
Lagrange : g(x)=f(x)- f(b)-f(a)/b-a (x-a) – f(a)
Rollea: f:[a,b] ciag I roz na (a,b). f(a)=f(b) to istn c f’(c)=0 2)f ni jest stala na ab. Minf(x)<f(a) lub.. z Weierstrassa istn c f(c)=minf(x) f(a)=f(b)>minf(x) cϵ(ab) f’(x)=0
(C) o wart średniej: Zał,że f,g[ab]->R ciag [ab] I roz (ab). Istn c (ab) [g(b)-g(a)] f’(c)=[f(b)-f(a)] g’(c) 2) h(x)=f(x)-f(a)- f(b)-f(a)/g(b)-g(a) (g(x)-g(a)) Z Rollea