1. delta Diraca jest pochodną dystrybucyjną skoku jednostkowego

2. składowa stała jest równa wartości średniej

3. Moc sygnału jest sumą mocy składowej stałej i składowej zmiennej

4. Rozrzut sygnału wokół punktu skupienia - średniokwadratowe odchylenie

5. Funkcja autokorelacji jest parzysta

6. Funkcja autokorelacji jest nie większa od swej wartości dla τ=0

7. Energia sygnału (moc sygnału) jest równa wartości funkcji autokorelacji dla τ=0

8. Pole ograniczone wykresem funkcji korelacji jest równe kwadratowi pola ograniczonego wykresem sygnału

9. Warunki zbieżności szeregu (warunki Dirichleta):

- sygnał jest okresowy

-w przedziale okresowości istnieje przeliczalna ilość punktów

nieciągłości

1. Moc sygnału okresowego jest sumą mocy składowej stałej

i mocy poszczególnych harmonicznych sygnału

1. widmo amplitudowe jest symetryczne względem osi pionowej

2. Warunkiem wystarczającym istnienia transformaty jest istnienie

całki z modułu sygnału (bezwzględna całkowalność)

1. Odwrotne przekształcenie Fouriera pozwala odtworzyć sygnał na podstawie

jego widma zespolonego

1. Jeśli sygnał jest sygnałem rzeczywistym to:

widmo jest hermitowskie (część rzeczywista jest parzysta,

część urojona nieparzysta)

widmo amplitudowe jest parzyste

widmo fazowe jest nieparzyste

1. Jeśli sygnał jest rzeczywisty parzysty to jego widmo jest rzeczywiste parzyste

2. Warunek wystarczający istnienia widma (transformaty Fouriera)

sygnał jest bezwzględnie całkowalny a więc istnieje skończona całka

1. uogólniona transformata Fouriera jest dystrybucją

2. Podział filtrów:

dolnoprzepustowe

górnoprzepustowe

pasmowoprzepustowe

pasmowozaporowe

1. Filtry pasmowe:

O stałej bezwzględnej szerokości pasma

O stałej względnej szerokości pasma (stałoprocentowe)

1. Filtry pasmowe o stałej względnej szerokości pasma:

Wąskopasmowe

Oktawowe

Tercjowe

1. Pełen opis procesu stochastycznego jest związany ze znajomością

wszystkich (jedno i wielowymiarowych n→∞) funkcji gęstości

prawdopodobieństwa

1. Proces normalny (gaussowski) jest określony jeśli znamy tylko

momenty pierwszego i drugiego rzędu. Wówczas n-wymiarową

gęstość prawdopodobieństwa można zapisać w postaci

1. Proces stochastyczny jest stacjonarny gdy wszystkie jego

gęstości prawdopodobieństwa zachowują swoją wartość przy

przesunięciu wzdłuż osi czasu

1. Jeśli proces stochastyczny jest stacjonarny to jego wartość

średnia jest stała

1. Jeśli proces stochastyczny jest stacjonarny to jego funkcja

korelacji zależy od różnicy pomiędzy dwoma chwilami wybranymi

na osi czasu

1. Jeśli proces stochastyczny ma wartość średnią stałą oraz funkcję

korelacji zależną od czasu pomiędzy wybranymi chwilami to proces

stochastyczny jest stacjonarny w sensie szerszym (nie musi być

procesem stacjonarnym)

1. Proces stacjonarny nazywamy ergodycznym ze względu na wartość

średnią jeśli obliczenie wartości średniej po czasie z wybranej

realizacji procesu daje taki sam wynik (z prawdopodobieństwem równym jeden, a więc dla prawie wszystkich realizacji sygnału) jak obliczanie średniej po zbiorze realizacji

1. Proces stacjonarny nazywamy ergodycznym ze względu na funkcję

korelacji jeśli obliczenie korelacji po czasie z dowolnie wybranej

realizacji daje taki sam wynik jak obliczanie korelacji ze zbioru realizacji

1. Procesem ergodycznym jest proces w którym amplituda i częstość są wielkościami zdeterminowanymi, a faza jest zmienną losową o stałym rozkładzie w przedziale (-p,p)

2. Wyznaczanie częstotliwości aliasingowych - wyznaczenie częstotliwości

wszystkich sygnałów sinusoidalnych, których wartości w chwilach t_n są takie

same jak wartości badanego sygnału

1. Widmo sygnału po próbkowanego jako splot widm sygnału ciągłego i sygnału próbkującego

2. Widmo jest ciągłe i okresowe - okres widma jest równy

3. Widmo amplitudowe jest parzyste, fazowe nieparzyste

4. Jeśli ciąg x_k jest rzeczywisty to wystarczy obliczyć tylko N/2 wszystkich wartości transformaty.

5. Jeśli N jest potęgą liczby 2, to algorytm obliczania DFT można zastąpić

szybszym algorytmem zwanym szybką transformatą Fouriera FFT

1. Sygnał jest ergodyczny ze względu na wartość oczekiwaną i funkcję autokorelacji

2. Obliczanie gęstości widmowej mocy sygnału wyjściowego oraz funkcji koherencji dla obiektu z jednym wejściem sterującym przy uwzględnieniu szumu zredukowanego do wyjścia. Szum jest sygnałem nieskorelowanym z sygnałem wejściowym.

3. Wyznaczenie liniowej predykcji sygnału y(t) z sygnału x(t) sprowadza się do wyznaczenia odpowiedzi impulsowej g(t) modelu tak, aby błąd średniokwadratowy był minimalny.

4. Resztkowa zmienna losowa ∆y(t) jest różnicą sygnału y(t) oraz jego liniowej predykcji z sygnału x(t)

5. Jeśli funkcja koherencji sygnałów x₁(t) oraz x₂(t) jest równa jeden to

oznacza to istnienie układu liniowego wiążącego te sygnały.

1. Estymator:

– zgodny (daje tym lepsze przybliżenie im N jest większe)

– nieobciążony (daje dokładny wynik gdy N dąży do nieskończoności)

– asymptotycznie najefektywniejszy (dla dużych N mają minimalną

macierz kowariancji)

1. Warunkiem wystarczającym nieobciążoności estymatora parametrów modelu jest założenie dotyczące zakłóceń. Muszą one być wynikiem filtracji białego szumu S przez filtr o transmitancji 1/A(z^-1).

Struktura obiektu wraz z zakłóceniami nazwana jest strukturą ARX i może być opisana ogólnym dyskretnym równwniem wejścia-wyjścia

1. Identyfikacja parametryczna metodą największej wiarygodności – model ARMAX

2. Wektor estymowanych parametrów oraz estymator odchylenia standardowego λ wyznaczamy maksymalizując funkcję wiarygodności

będącą iloczynem gęstości prawdopodobieństw błędów:

1. Metody identyfikacji obiektów ze sprzężeniem zwrotnym:

-metoda pośrednia

-metoda bezpośrednia

-metoda łącznego procesu