3 ciągi

Analiza matematyczna 1/Wykład 3: ciągi

Ciągi

W szkole średniej poznaliśmy ciągi o wyrazach rzeczywistych (to znaczy funkcje ).

W praktyce często spotykamy sie z ciągami o wyrazach innych niż liczby rzeczywiste. Na przykład, gdy mierzymy co sekundę prędkość i położenie w przestrzeni () jakiegoś obiektu, dostajemy ciąg, który każdemu przypisuje cztery wartości, czyli element z Nasz ciąg możemy zatem zapisać gdzie jest prędkością w chwili natomiast określają położenie punktu w przestrzeni.

Naszym celem teraz jest wprowadzenie pojęcia ciągu i pojęcia granicy tego ciągu. W matematyce te pojęcia można zdefiniować dla dowolnie wybranej metryki (aby zdefiniować granicę musimy móc mierzyć odległość). My jednak ograniczymy nasze rozumowania do przestrzeni z metryką , gdzie jest jedną z wyżej wprowadzonych metryk: , , lub .

Definicja 3.16. [ciąg]

Ciągiem w nazywamy dowolną funkcję .
Ciąg ten oznaczamy

gdzie

Powiemy teraz co to znaczy, że punkt jest granicą ciągu . Intuicyjnie oznacza to, że wyrazy są "coraz bliżej" granicy w miarę wzrostu . Formalnie podaje to poniższa definicja.

Definicja 3.17. [granica ciągu]

Niech będzie ciągiem oraz niech
Mówimy, że jest granicą ciągu jeśli

i piszemy

Mówimy, że ciąg jest zbieżny, jeśli ma granicę, czyli

Uwaga 3.18.

Warunek

w powyższej definicji mówi, że dla dowolnego (dowolnie małego) wyrazy ciągu są od pewnego miejsca (od ) oddalone od o mniej niż Warunek ten jest równoważny warunkowi

który mówi, że dla dowolnego (dowolnie małego) wyrazy ciągu od pewnego miejsca (od ) leżą w kuli Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż należy do kuli dokładnie wtedy, gdy odległość od jest mniejsza niż to znaczy

Definicja 3.19. [ciąg ograniczony]

Ciąg nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości jest ograniczony w to znaczy zawarty w pewnej kuli. Innymi słowy ciąg jest ograniczony, gdy

Przykład 3.20.

Jeśli ciąg jest stały od pewnego miejsca, czyli istnieje takie, że

to wówczas

Oznacza to, że ciąg stały od pewnego miejsca jest zbieżny.

Przykład 3.21.

Niech będzie ciągiem danym przez dla Wówczas

Aby to pokazać ustalmy dowolne Wówczas istnieje liczba naturalna , która jest większa od (gdyż dla każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba naturalna od niej większa), czyli

Zatem dla dowolnego mamy

zatem pokazaliśmy, że

Przykład 3.22. [ciąg geometryczny]

Niech oraz dla Wówczas

Dowód podobny do dowodu w przykładzie 3.21., pozostawiamy jako ćwiczenie.
Ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie (patrz definicja 1.8.).

Kolejne twierdzenie podaje związek między zbieżnością ciągu punktów, a zbieżnością ciągu liczbowego odległości jego wyrazów od granicy. Mówi ono, że ciąg jest zbieżny do granicy w dokładnie wtedy, gdy ciąg odległości od jest zbieżny do w Dowód wynika wprost z definicji.

Twierdzenie 3.23.

Niech będzie ciągiem oraz Wówczas

Powiemy teraz co to jest podciąg danego ciągu Nieformalnie mówiąc, podciąg powstaje z ciągu przez skreślenie z niego pewnej liczby wyrazów (tak aby nadal pozostała nieskończona ich ilość):

Formalna definicja podana jest poniżej.

Definicja 3.24. [podciąg]

Niech będzie ciągiem. Niech będzie funkcją silnie rosnącą.
Ciąg nazywamy podciągiem ciągu i oznaczamy

gdzie dla

W kolejnym twierdzeniu zebrane są własności granic. Niektóre z nich udowodnimy na ćwiczeniach (patrz ćwiczenie 3.3. i ćwiczenie 3.4.).

Twierdzenie 3.25. [własności granic]

Jeśli jest ciągiem, to
(1) Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu to znaczy

(2) Jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.
(3) Jeśli oraz jest dowolnym podciągiem ciągu to

(4) Jeśli jest ciągiem zbieżnym oraz jest jego dowolnym podciągiem takim, że to także

(5) Jeśli dla dowolnego podciągu ciągu istnieje jego "dalszy" podciąg taki, że to

Jeśli jest ciągiem w to jego wyrazy mają współrzędne: dla Kolejne twierdzenie podaje związek między zbieżnością ciągu w a zbieżnością ciągów na poszczególnych współrzędnych Dzięki temu twierdzeniu liczenie granic ciągów w sprowadza się do liczenia granic ciągów w (dowód pomijamy).

Twierdzenie 3.26. [granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]

Jeśli jest ciągiem, czyli dla oraz to
wtedy i tylko wtedy, gdy dla

Ciągi Cauchy'ego

Obok ciągów zbieżnych, ważną rolę odgrywają także tak zwane ciągi Cauchy'ego. Ciągi Cauchy'ego to takie ciągi, dla których odległości między wyrazami zmierzają do zera. Okazuje się, że w z metryką euklidesową, ciągi Cauchy'ego są dokładnie ciągami zbieżnymi. Jednak nie dla każdej przestrzeni z metryką tak jest (patrz uwaga 3.31).

Definicja 3.27. [warunek Cauchy'ego]

Niech będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli

Warunek Cauchy'ego dla ciągu oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są oddalone od siebie o mniej niż

Zacznijmy od prostych faktów.

Stwierdzenie 3.28.

Jeśli jest ciągiem Cauchy'ego, to jest ograniczony.

Dowód 3.28.

Weźmy . Wtedy istnieje , takie, że dla wszystkich mamy , w szczególności dla każdego , . Weźmy

Wtedy wszystkie wyrazy ciągu zawierają się w kuli , a więc ciąg jest ograniczony.

Stwierdzenie 3.29.

Jeśli podciąg ciągu Cauchy'ego ma granicę , to ciąg ma granicę .

Dowód 3.29.

Ustalmy . Skoro , to istnieje , takie, że dla każdego mamy . Skoro zaś jest ciągiem Cauchy'ego, to istnieje takie, że dla wszystkich mamy . Biorąc , mamy dla wszystkich

a zatem jest granicą ciągu .

Kolejne twierdzenie mówi, że w ciągi są zbieżne dokładnie wtedy, gdy spełniają warunek Cauchy'ego.

Twierdzenie 3.30. [zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego]

Ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego.

Dowód 3.30.

""
Wykażemy, że jeśli ciąg jest zbieżny, to spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy . Skoro ciąg jest zbieżny do granicy , to jego wyrazy są od pewnego miejsca odległe od o mniej niż , czyli

Weźmy teraz dowolne . Wtedy

a zatem ciąg spełnia warunek Cauchy'ego.

""
Ta część dowodu będzie przeprowadzona później, po wprowadzeniu pojęcia zwartości.

Uwaga 3.31.

Dla dowolnie wybranego zbioru z metryką zachodzi tylko jedna implikacja w powyższym twierdzeniu, a mianowicie każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego. Aby pokazać, że przeciwna implikacja nie jest prawdziwa, rozważmy przedział otwarty z metryką euklidesową (czyli dla ich odległość wynosi ). Ciąg zadany wzorem dla nie jest zbieżny w (dlaczego?), ale spełnia warunek Cauchy'ego. Aby to pokazać, ustalmy dowolne Wówczas

Wówczas dla dowolnych mamy

Pokazaliśmy zatem, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego.

Ćwiczenie 3.3.

Udowodnić, że dla każdego ciągu istnieje co najwyżej jedna granica, to znaczy:

Wskazówka

Przeprowadzić dowód niewprost. Dobrać w definicji granicy ciągu.

Rozwiązanie

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

Niech Wówczas (gdyż założyliśmy, że ). Z definicji granicy ciągu wynika, że

Niech Wówczas dla wyrazu mamy:

sprzeczność. Zatem

Ćwiczenie 3.4.

Udowodnić, że jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.

Wskazówka

Zastosować definicję granicy z ustalonym (na przykład ) i zauważyć, że od pewnego miejsca ciąg jest ograniczony.

Rozwiązanie

Załóżmy, że Ustalmy Z definicji granicy ciągu mamy

(to znaczy wszystkie wyrazy ciągu począwszy od -tego leża w kuli jednostkowej, a więc tworzą zbiór ograniczony). Niech teraz

Wówczas dla dowolnego czyli

a to oznacza, że ciąg jest ograniczony.

Ćwiczenie 3.5.

(1) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów otwartych w takich, że ich przecięcie nie jest zbiorem otwartym.
(2) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów domkniętych w takich, że ich suma nie jest zbiorem domkniętym.

Wskazówka

(1) Rozważyć zstępującą rodzinę przedziałów otwartych (to znaczy rodzinę zbiorów otwartych, z których każdy następny jest zawarty w poprzednim).
(2) Rozważyć wstępującą rodzinę przedziałów domkniętych (to znaczy rodzinę zbiorów domkniętych, z których każdy następny zawiera poprzedni).

Rozwiązanie

(1) Rozważmy przedziały otwarte dla Wówczas