LOGIKA
Prof. Omyła Mieczysław
WYKŁAD 1
Mieczysław Omyła – jedna nazwa może mieć wiele egzemplarzy
Dysygmat nazwy – przedmiot, do którego ta nazwa się odnosi
Logika pochodzi z greckiego „logos” – rozum, mowa, argument, język
Arystoteles – ojciec logiki (384-324 pne.)
1. Logika jest nauką o formach poprawnych rozumowań. Logika jest nauką o schematach poprawnego myślenia. Każdy myśli w swoim ojczystym języku, ale nie dowiemy się po jakiemu myśli dopóki czegoś nie powie.
Jak myślimy, to myślimy zdaniami; jak te myśli wypowiadamy to w jakim języku. Te same myśli wyrażamy w różnych językach np. „twierdzenie Pitagorasa” jest tłumaczone na kilka języków.
2. Logiczna teoria języka (semiotyka logiczna) – nauka o znakach językowych.
3. Czym jest język z logicznego punktu widzenia?
- słownik – zbiór słów danego języka
- reguły składania słów (gramatyka)
- reguły znaczeniowe (interpretacja słów)
4. Wypowiedz:
- strona fizyczna (zapisowa)
- strona znaczeniowa
Słowa do czegoś się odnoszą np. zeszyt, kreda
Słowa są zrozumiałe, znają sens np. pegaz, krasnoludek
Każde wyrażenie poprawnie zbudowanego języka naturalnego coś znaczy (nie jest pustym dźwiękiem), ale nie każde coś oznacza, nie każde się do czegoś odnosi.
5. Funkcje wypowiedzi:
- ekspresyjna (wyrażamy emocje, myśli, zamierzenia) – emocjonalna
- perwersyjno – sugestywna (chcemy komuś coś zasugerować, sterować czyimś postępowaniem) – wolicjonalna (oddziałuje na wole)
- informacyjno – opisowa (informujemy kogoś) – racjonalna. Może tak być, że te trzy informacje mogą być ze sobą połączone.
- ustawodawcza – jak mówimy, to musimy wiedzieć po co to mówimy
6. Zdanie w sensie logicznym to wypowiedz prawidłowa lub fałszywa.
Zdanie „α” wyraża myśli; zdanie „α” stwierdza stan rzeczy „s”.
Jeśli zdanie „α” stwierdza stan rzeczy „s”, to zdanie „α” jest prawdziwe, gdy stan rzeczy „s” zachodzi. Zdanie „α” jest fałszywe, gdy stan rzeczy „s” nie zachodzi. Zdanie w sensie logicznym jest to wypowiedz prawdziwa albo fałszywa, bądź też będzie prawdziwa lub fałszywa.
WYKŁAD 2
T: Klasyczny rachunek zadań.
… - litery zdaniowe
p1,p2,p3 – logicy z jednej litery robią wiele liter; dzieje się tak poprzez numerację.
1- w logice to symbol (znak) prawdy
0 – w logice to symbol (znak) fałszu
Każde zdanie w sensie logicznym jest fałszywe lub prawdziwe.
3<2 – zdanie fałszywe
(3<2) – nieprawda, że…
Wyrażenie „nieprawda, że” nazywamy faktorem negacji i oznaczamy symbolem „~” i rozumiemy go zgodnie z tabelką:
| P | ~P |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
P, ~P – para zdań sprzecznych
Zdania warunkowe:
Jeśli zabili go (P), to nie żyje (~P)
Jeżeli temperatura jest grubo poniżej 0° (P), to woda stojąca w stawie zamarza (~P)
Jeżeli liczba „x” jest podzielna przez 4 (P), to liczba ta jest parzysta (~P)
Jeżeli nauczysz się logiki (P), to zdasz egzamin z tego przedmiotu (~P)
Jeżeli „P” to „Q”. Nie może być „Q” to „P”. Wyrażenie jeżeli „P” to „Q” nazywamy implikacją o poprzedniku „P” i następniku „Q” i zapisujemy „P Q” i rozumiemy zgodnie z tabelką:
| P | Q | P Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
p- nie nauczył się q – nie zdał
nauczyciel powiedział zdanie prawdziwe
p – nie nauczył się q – zdał
nauczyciel nic nie powiedział, jak uczeń się nie nauczy; powiedział, co będzie jak się nauczy
p – nauczył się q – nie zdał
uczeń się nauczył, a nie zdał; czyli zdanie fałszywe
p – uczył się q- zdał
Zdanie prawdziwe
Z fałszu może wynikać fałsz; z fałszu może wynikać prawda.
Implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.
„poprzednik” jest przyczyna
„następnik” jest skutek
Najpierw jest przyczyna, a potem skutek.
„Wtedy i tylko wtedy, gdy” nazywamy spójnikiem równoważności i symbolicznie oznaczamy „↔” i rozumiemy zgodnie z tabelą:
| P | Q | P↔Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Zdam egzamin z prawa (P) i zdam egzamin z logiki (Q)
Wyrażenie „i” nazywamy spójnikiem koniunkcji i oznaczamy symbolem „^” i rozumiemy zgodnie z tabelką:
| P | Q | P ^ Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Koniunkcja o iloczyn dwóch zdań. Wartość logiczna koniunkcji dwóch zdań jest równa iloczynowi wartości logicznych zdań składowych.
Nie uczyłem się (P) i nie zdałem (Q)
~P ^ ~Q
Nie zdałem prawa (P) i nie zdałem logiki (Q)
~P ^ ~Q
Nie prawda, że zdałem prawo (P) i zdałem logikę (Q)
~P ^ ~Q
Nie prawda, że uczyłeś się systematycznie (P) i nie umiesz (Q)
~P ^ ~Q
Zdam egzamin z prawa (P) lub zdam egzamin z logiki (Q)
P v Q
Wyrażenie „lub” nazywamy spójnikiem alternatywnym i oznaczamy symbolem „v” i rozumiemy zgodnie z tabelką:
| P | Q | P v Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Alternatywa = alternatywa nierozłączna = alternatywa zwykła
To suma logiczna dwóch zdań.
Jesteś inteligentny (P) i nieprawda, że masz złą pamięć (Q)
P ^ ~Q
Jeśli myślisz jasno (P), to nieprawda, że nie potrafisz jasno wyjaśnić swoich myśli (Q)
P ~Q
Jeśli mówisz nieprawdę (P), to mylisz się (Q) lub kłamiesz (R)
P ( Q v R)
Jeśli byłeś w Paryżu (P), to zwiedziłeś Luwr (Q) i widziałeś wierzę Eiffla (R).
P (Q ^ R)
WYKŁAD 3
Jeśli czytasz swobodnie po angielsku (P), to o ile nie potrafisz mówić w tym języku (Q), to znasz angielski biernie (R).
P (~Q R), (P ^ Q) R
Nieprawda, że Einstein był genialny (P), to Newton był ograniczony (Q).
~(P Q)
Przeczytam kilka podręczników z logiki (P) lub wysłucham wykładów (Q) i rozwiążę kilkadziesiąt zadań (R)
(P v Q) ^ R, P v (Q ^ R) - wieloznaczność składniowa (amfibolia)
Wypuścić nie wolno (~P), rozstrzelać (Q)
~P ^ Q
Wypuścić (P), nie wolno rozstrzelać (Q)
P ^ ~Q
Polubisz logikę (P) i uznasz ją za łatwą (Q), jeśli nie masz złych wspomnień z lekcji matematyki (R)
~R (P ^ Q)
Nie posiadasz gruntownej wiedzy o języku (P), jeśli słabo znasz gramatykę (Q) i nigdy nie uczyłeś się logiki (R)
(Q ^ ~R) P
Prawo logiczne jest to schemat wyłącznie prawdziwych zdań.
Umiem – P
Nie umiem - ~P
Nie prawda, że nie umiem ~(~P) ↔ umiem (P)
~(~P) ↔ P – prawo podwójnego przeczenia
| P | ~P | ~(~P) | ~P(~P) ↔ P |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Prawo logiczne
Pada lub nie pada P v ~P – prawo wyłącznego środka
| P | ~P | P v ~P |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
Prawo logiczne
~(~P) ↔ P
P v ~P
~(p ^ ~P) – prawo niesprzeczności (byt jest niesprzeczny)
| P | ~P | (P ^ ~P) | ~(P ^ ~P) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
Zdam prawo i zdam logikę (P ^ Q)
Nieprawda, że oba zdasz ~(P^Q) ↔ (~P v ~Q)
Negacja koniunkcji dwóch zdań jest równoważna alternatywnie zanegowanych składników tej koniunkcji.
| P | Q | P ^ Q | ~(P ^Q) | ~P | ~Q | ~P v ~Q | ~P^Q↔(~Pv~Q) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Prawa de Morgana dla rachunku zdań:
~(P ^ Q)↔ (~P v ~Q)
~P (PvQ) ↔ (~P ^ Q)
Negacja alternatywy dwóch zdań jest równoważna koniunkcji zanegowanych składników tej alternatywy.
Jeśli wygram w totolotka (P), to kupię ci samochód (Q)
(P Q) ↔ (P ^ ~Q)
Negacja implikacji jest równoważna koniunkcji poprzednika i zarzegowanego następnika tej implikacji.
Zaprzeczenie implikacji:
| P | Q | P Q | ~(PQ) | ~Q | P^~Q | ~(PQ)↔(P^~Q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Koniunkcja jest prawdziwa, gdy oba są prawdziwe.
~(P↔Q)↔[(P^~Q)v(~P^q)]~(I↔II)↔[(I^~II)v(~I^II)] - zaprzeczenie równoważności
Jeżeli historia tłumaczy zdarzenia minione i pozwala przewidywać przyszłość, to jest nauką nomotetyczną. Jeżeli prawa dziejowe nie istnieją lub są niewykrywane to historia jest nauką idiograficzną.