Kolokwium ALGEBRA II rok WMS ZADANIE 1 (10 ptk) Czy Z∗ 18 jest cykliczna? Wykaż, że istnieje izomorfizm ϕ: Zn → Z∗18 (należy wskazać konkretne odwzorowanie i udowodnić o nim, że jest izomorfizmem). Zbudować tabelkę wartości funkcji ϕ. Wykorzystując izomorfizm ϕ, rozwiązać w grupie Z∗ 18 równanie 11x 7 = 13. ZADANIE 2 (10 ptk) Udowodnij, że centrum grupy G, definiowane jako Z(G) = {g ∈ G : ∀a ∈ G, ag = ga} jest podgrupą grupy G. ZADANIE 3 (10 ptk) Stosując metodę RSA dla n = 11 · 12, e = 19 odszyfruj liczbę 27. ZADANIE 4 (10 ptk) Ile istotnie różnych naszyjników o 6 koralikach można utworzyć z 2 białych i 4 czerwonych koralików. Dwa naszyjniki uważamy za takie same, jeśli jeden z nich powstaje z drugiego przez obrót lub dowolne przekształcenie izometryczne. Rozwiąż to zadanie stosując Lemat Burnsidea ZADANIE 5 (10 ptk) Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe. Odpowiedź krotko uzasadnij: (a) Podgrupa alternująca A4 grupy S4 zawiera podgrupę rzędu 7 (b) Grupa której rząd nie jest liczbą pierwszą nie jest cykliczna (c) Dla każdej grupy G, każda jej podgrupa H jest cykliczna (d) Jeśli σ = (12345678//13247568), to σ−1 jest parzysta. (e) Grupa Z∗ 12 jest izomorficzna z grupą Z2×2 Powodzenia!!!

Kolokwium ALGEBRA II rok WMS ZADANIE 1 (10 ptk) Czy Z∗ 14 jest cykliczna? Wykaż, że istnieje izomorfizm ϕ: Zn → Z∗14 (należy wskazać konkretne odwzorowanie i udowodnić o nim, że jest izomorfizmem). Zbudować tabelkę wartości funkcji ϕ. Wykorzystując izomorfizm ϕ, rozwiązać w grupie Z∗ 14 równanie 9x 3 = 5. ZADANIE 2 (10 ptk) Wykazać, że dla dowolnego homomorfizmu grup f : G → H, Kerf jest podgrupą G. ZADANIE 3 (10 ptk) Stosując metodę RSA dla n = 11 · 13, e = 19 odszyfruj liczbę 3. ZADANIE 4 (10 ptk) Ile istotnie różnych naszyjników o 6 koralikach można utworzyć z 2 bia- łych, 2 fioletowych i 2 czerwonych koralików. Dwa naszyjniki uważamy za takie same, jeśli jeden z nich powstaje z drugiego przez obrót lub dowolne przekształcenie izometryczne. Rozwiąż to zadanie stosując Lemat Burnsidea ZADANIE 5 (10 ptk) Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe. Odpowiedź krotko uza- sadnij: (a) Podgrupa alternująca A5 grupy S5 zawiera podgrupę rzędu 7 (b) Grupa której rząd nie jest liczbą pierwszą nie jest cykliczna (c) Dla każdej grupy G istnieje podgrupa H, która jest cykliczna (d) Jeśli σ = (12345678//23147568), to σ−1 jest parzysta. (e) Grupa Z∗ 12 jest izomorficzna z grupą Z4