LABORATORIUM TEORII STEROWANIA I TECHNIKI REGULACJI	Imię Nazwisko: Seweryn Kwieciński
WYDZIAŁ EAIiE	Rok akademicki.: 2011/2012
Temat ćwiczenia: Analiza podstawowych układów dyskretnych
Data wykonania ćwiczenia: 28.05.2012r.	OCENA

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia było zapoznanie z podstawowymi pojęciami związanymi z analizą układów dyskretnych. Ważną częścią ćwiczenia było poznanie transformaty Z oraz wykorzystania Simulinka do symulacji w czasie ciągłym układów dyskretnych.

1. Część teoretyczna

Coraz częściej w układach sterowania stosowane są regulatory cyfrowe i stąd konieczność określania równań, które opisują sygnały cyfrowe i dyskretne. Rachunek operatorowy Laplace’a może być stosowany do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych zwyczajnych, natomiast transformata Z jest metodą wykorzystywaną do rozwiązywania liniowych równań różnicowych i układów liniowych z danymi dyskretnymi lub cyfrowymi.

Abu układ był dyskretny, przynajmniej jeden jego sygnał musi mieć charakter dyskretny, tzn. przyjmuje tylko określone wartości dla określonych argumentów. Dlatego teraz zajmę się sygnałami dyskretnymi.

Sygnał dyskretny najczęściej otrzymuje się w wyniku próbkowania w równych odstępach czasu t który jest czasem ciągłym sygnału ciągłego. Wtedy czas ciągły można zastąpić przez t=n*T gdzie T to odległość między kolejnymi próbkami lub inaczej przedział próbkowania lub okres próbkowania natomiast n to numerator n = 0 1, 2…. Po takim zabiegu mamy odpowiadające im wartości sygnału dla danej chwili czasu: Mając te wartości korzystając z przekształcenia z możemy przyporządkować danej funkcji f(t) funkcję zmiennej zespolonej z.

Wynika z tego że sygnał dyskretny powstaje z podziału funkcji ciągłej na równe odcinki. Zatem okres próbkowania musi być odpowiednio mały aby jakość sygnału była jak najbardziej zbliżona do sygnału ciągłego.

Jako przykład wezmę dowolną funkcje ciągłą np. f(t)=A*cos(wt)

Próbkowanie zamienia ciągły sygnał (a) na punkty (b) o współrzędnych w chwilach próbkowania i odpowiadających im wartościach sygnału ciągłego. Jeśli dysponujemy tylko sygnałem próbkowanym (b), to możemy ,,uzupełnić'' wartości spomiędzy próbek przyjmując, że sygnał pomiędzy nimi jest np. liniowy (c). Porównując funkcje otrzymaną po próbkowaniu (c) oraz funkcje ciągłą (a) wyraźnie widać że jest zniekształcona. Aby to poprawić należało by zwiększyć częstotliwość próbkowania.

Aby opisać funkcję dyskretną (pulsy na wykresie b) należy ją stabelaryzować:

x	f(x)
0	7
1	5
2	9
3	8
….	….

Przekształcenie Z pozwala opisać się zachowanie układu w postaci równań algebraicznych. Przekształceniem Z nazywamy przekształcenie przyporządkowujące danej funkcji f(t) funkcje zmiennej zespolonej według następującej zależności:

$$Z\left\lbrack f\left( t \right) \right\rbrack = F\left( z \right) = f\left( 0 \right) + f\left( T \right)*z^{- 1} + f\left( 2T \right)*z^{- 2} + ... = \sum_{n = 0}^{\infty}{f\left( \text{nT} \right)*z^{- n}}$$

gdzie:

Z – symbol operacji przekształcenia Z

z – funkcja dyskretna (operator funkcji dyskretnej)

T – ustalona liczba dodatnia

Przekształcenie Z możemy zrobić tylko na funkcjach dyskretnych !

Przykład:

Dokonać transformaty Z skoku jednostkowego

Transformata Z funkcji skokowej jest wyznaczana jako suma następującego szeregu:

$$Z\left\lbrack f\left( t \right) \right\rbrack = F\left( 1(t) \right) = 1 + z^{- 1} + z^{- 2} + z^{- 3} + \ldots = \sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n}$$

Teraz pozostało mi obliczyć ile wynosi suma szeregu geometrycznego$\sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n}$. Skorzystam tutaj z wzoru na sumę szeregu:

Zatem:

$$\sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{z^{2}} + ... = \frac{1}{1 + \frac{1}{z}} = \frac{z}{z - 1}$$

Ostatecznie transformata skoku jednostkowego wynosi:

$$F\left( 1(t) \right) = \frac{z}{z - 1}$$

Wykres skoku jednostkowego oraz pulsy w dziedzinie dyskretnej.

Przykład:

Dokonać transformaty Z sygnału liniowo narastającego f(t)=t dla t(0, +∞)

Transformata Z funkcji liniowo narastającej wyznaczana jest następująco:

Na początku z t podstawiam n*T czyli f(nT)=nT

Dalszym krokiem będzie skorzystanie z definicji $F\left( z \right) = \sum_{n = 0}^{\infty}{f\left( \text{nT} \right)*z^{- n}}$ zatem:

F(z) = 0 + Tz⁻¹ + 2Tz⁻² + 3Tz⁻³ + ...

Otrzymanie transformaty Z tego wyrażenia nie będzie proste, gdyż otrzymaliśmy szereg potęgowy, należy zrobić jego sumę. Można to zrobić korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego oraz z wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

Łatwo zauważyć że otrzymane wyrażenie można zwinąć w następującą sumę (zgodnie z twierdzeniem o transformacie)

$$F\left( z \right) = \ T\sum_{n = 0}^{\infty}{n*z^{- n}}\ $$

Z twierdzenia o różniczkowaniu wynika że $\sum_{n = 0}^{\infty}{f'\left( x \right) =}(\sum_{n = 0}^{\infty}{f(x))'}$

Chciałbym otrzymać teraz takie wyrażenie żeby po zwinięciu go do pochodnej nie zmieniło mi mojej sumy.

$$F\left( z \right) = \ T\sum_{n = 0}^{\infty}{n*z^{- n}} = T\sum_{n = 0}^{\infty}{- n*\left( - z \right)*z^{- n - 1} = - zT\sum_{n = 0}^{\infty}{- n*z^{- n - 1} = - zT\sum_{n = 0}^{\infty}{\left( z^{- n} \right)^{'}}}}$$

$$- zT\left( \sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n} \right)^{'}$$

Sumę wyrażenia $\sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n}$ mam już policzoną wcześniej (podczas liczenia transformaty skoku jednostkowego). Podstawiając ją do pochodnej otrzymam:

$$F\left( z \right) = \ - zT\left( \sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n} \right)^{'} = - zT*\left( \frac{z}{z - 1} \right)^{'} = - zT*\frac{\left( z - 1 \right) - z}{({z - 1)}^{2}} = \frac{\text{Tz}}{{(z - 1)}^{2}}$$

Wykres funkcji liniowej f(t)=t oraz pulsy w dziedzinie dyskretnej.

Powyższe przykłady pokazały że liczenie transformaty z definicji jest uciążliwe dlatego w przyszłości (podobnie jak przy transformacie Laplace) będę korzystał z tablicy transformat

­Oto kilka najważniejszych transformat:

Transformata odwrotna.

Podobnie jak w przypadku transformaty Laplace’a, wprowadzenie transformaty Z ma na celu umożliwienie wykonywania matematycznych operacji algebraicznych co może być wykonywane

w dziedzinie zmiennej zespolonej z, ostateczna odpowiedź czasowa wyznaczana jest przez

zastosowanie odwrotnej transformaty Z.

Transformata odwrotna z może być przeprowadzona jedną z trzech poniższych metod:

1. przez rozkład na sumę ułamków zwykłych;

2. przez podział licznika przez mianownik;

3. przez zastosowanie całki odwrotnej.

Przykład rozkładu na sumę ułamków zwykłych

Dla transformaty Z funkcji

należy znaleźć odwrotną transformatę Z.

Najpierw funkcja F(z) jest rozkładana na sumę ułamków zwykłych, a następnie korzysta się z tablicy

transformat Z w celu określenia funkcji f(kT). Rozkładając F(z) na sumę ułamków zwykłych otrzymałem:

Korzystając z tabeli zawierającej transformaty Z najpopularniejszych funkcji znajduje odwrotną transformatę Z funkcji F(z).

Transmitancją dyskretną G(z) danego członu nazywamy stosunek dyskretnego sygnału wyjścia Y(z) danego członu do dyskretnego sygnału podawanego na wejście X(z) danego obiektu.

Transmitancję G(z) podobnie jak w przypadku transformaty Laplace’a możemy przedstawić na dwa sposoby:

a) Postać dyskretna wymierna (DTF) transmitancji:

b) oraz jako transmitancje w postaci zero-biegunowej (Discret Zero-Pole)

gdzie:

z₁ , z₂ , z₃ , ... – zera

z_p1 , z_p2 , z_p3 , ... – bieguny

Dla tej postaci widoczne są bieguny i miejsca zerowe transmitancji co pozwala na szybką ocenę zachowania

się danego układu i jego stabilności.

1. Część symulacyjna

1. Badanie członu opóźniającego o transmitancji dyskretnej (Unit Delay):

Schemat przedstawia sposób badania członu o transmitancji dyskretnej (Unit Delay), który opóźnia sygnał wyjściowy w stosunku do wejściowego o jednostkę czasu.

Schemat blokowy :

Poniżej przedstawiono sygnał wejściowy oraz sygnał wyjściowy w postaci wykresów.

Można zaobserwować, że sygnał wyjściowy jest opóźniony względem wejściowego o 1s (przy czym kształt sygnału pozostał niezmieniony). Człon opóźnienia spełnia swoje zadanie.

1. Badanie członu opisanego dyskretną transmitancją czynnikową (zero – biegunową) :

Do bloku Discrete Zero-Pole wprowadzono transmitancje i doprowadzono wymuszenie w postaci skoku jednostkowego.

Schemat blokowy :

Poniżej przedstawiono sygnał wejściowy oraz sygnał wyjściowy w postaci wykresów.

Przebieg sygnału wyjściowego wskazuje na to, że badany człon realizuje operację różniczkowania rzeczywistego. Kształt sygnału wyjściowego w dużej mierze zależy od wyrażenia znajdującego się w mianowniku w nawiasie (od jednego z biegunów transmitancji). Sygnał też jest przesunięty o 1s (wpływ zerowego bieguna transmitancji).

1. Badanie odpowiedzi członu dyskretnego DTF na wymuszenie skokiem jednostkowym.

Do bloku DTF wprowadzono transmitancje i doprowadzono wymuszenie w postaci skoku jednostkowego.

Schemat blokowy :

Poniżej przedstawiono sygnał wejściowy oraz sygnał wyjściowy w postaci wykresów.

Analizując przebieg sygnału wyjściowego można zauważyć że po początkowych oscylacjach układ osiąga jednak stabilność. Wynika to z położenia pierwiastków mianownika transmitancji tego układu. Ponieważ pierwiastek równania charakterystycznego jest rzeczywisty i ujemny , nasz układ jest stabilny (posiada stan ustalony).W ynika z tego że od wartości biegunów zależy kształt przebiegu wyjściowego.

1. Badanie działania dyskretnego członu całkującego Discrete-Time Integrator :

Badanie członu dyskretnego całkującego polegało na zbadaniu jego odpowiedzi na wymuszenie sygnałem impulsowym prostokątnym przy T=0.1

Poniżej przedstawiono sygnał wejściowy oraz sygnał wyjściowy w postaci wykresów.

Całkowanie odbywa się poprawnie. Podczas skoku sygnału wejściowego do wartości 1 następuje całkowanie sygnału wejścia co 0,1s (wartość stałej). Trwa to do zaniku impulsu na wejściu (co następuje dla chwili t = 1s). Widzimy, że integrator w tym momencie na swoim wyjściu utrzymuje sygnał na poziomie 1. W momencie pojawienia się następnego impulsu następuje całkowanie do następnego poziomu. Im mniejsza stała tym całkowanie staje się bardziej dokładne.

1. Wnioski

Dzięki narzędziu simulink możliwa była symulacja dowolnych schematów blokowych. Podczas symulacji zauważyłem że ważnym elementem jest dobranie odpowiedniego czasu próbkowania gdyż jeśli ten czas jest zbyt mały wyniki będą obarczony dużym błędem. Postać dyskretna transmitancji pozwala określić zachowanie układu co odzwierciedlają przeprowadzone symulacje.