Egzamin pisemny

Literatura:

1. P. Hurley, Concise introduction to logic, 2011, (11th edition).

2. W. Hodges Logic, an introduction to elementary logic, Penguin Books, 2001

3. K. Ajdukiewicz, Zarys logiki, PZWS, 1959.

Definicja Logiki:

Logika jest po to by wykształcić u nas krytyczne myślenie.

Logika - ustala zasady poprawnego wnioskowania (rozumowania)

Albo (równoważnie)

Logika – sprawdza niesprzeczność zdań z danego zbioru (są niesprzeczne, tzn. mogą być jednocześnie prawdziwe). To znaczy że istnieje możliwy świat w którym te wszystkie zdania są prawdziwe.

UWAGA!!! Logika NIE rozstrzyga co jest prawdziwe (jest tylko narzędziem).

Przykład:

Pojęcie logiki w poniższych zdaniach jest źle użyte. Logika tu nie ma nic do reczy

To nielogiczne jednego dnia być kibicem Wisły, a drugiego Cracovii. <- ponieważ jest to możliwe

To nielogiczne twierdzić, że ludzie nie wylądowali na Księżycu. <- jest to prawdopodobne i logicznie możliwe

To nielogiczne twierdzić, że obniżenie podatków zwiększy dochody Skarbu Państwa. <- logika nie ma z tym związku.

Logika zajmuje się ustalaniem co z czego wynika.

Przykład:

Każdy słoń jest serem.

Każdy ser jest marmoladą.

Słoń Trąbalski jest marmoladą.

Tutaj nie ma sprzeczności logicznej, bo jeżeli przyjmiemy układ, że słoń jest serem i jednocześnie ser jest marmoladą, to każdy jakiś słoń jest jednocześnie marmoladą.

1. Troszkę Historii

Starożytna Grecja

• Arystoteles (logika nazw - sylogistyka) – założyciel Liceum, nauczyciel Aleksandra Wielkiego. Rozpoczął naukę w której główną rolę pełniły nazwy.

• Chryzyp z Soli (logika zdań – rachunek zdań) filozof stoicki.

Średniowiecze

• P. Abelard

• Piotr Hiszpan

• W. Ockham

Logika współczesna, matematyczna

• Goglock Frege

• Bernard Russell

• Albert Whitehead

Szkoła Lwowsko-Warszawska

• A. Łukasiewicz

Problemy w podstawach matematyki – XIX/XX w.

1. Pojęcie zbioru (teoria mnogości)

Paradoks cyrulika (paradoks Russella)

Miasto z jednym cyrulikiem (mężczyzna), gdzie każdy mężczyzna:

- goli się sam

- albo chodzi do cyrulika.

Co z cyrulikiem?

Paradoks ciotki:

Ciotka, która lubi tylko tych, którzy sami siebie nie lubią.

1. Paradoks Kłamcy

„To zdanie jest fałszywe”

1. Zdania

Podziały zdań:

• Ze względu na występowanie

  • Twierdzące

  • Przeczące

• Ze względu na zakres orzekania

  • Jednostkowe – o jednym przedmiocie (ziemia jest planetą)

  • Szczegółowe – o podziale pewnego zbioru (Niektórzy ludzie są Chińczykami)

  • Ogólne – o całym zbiorze przedmiotów (każdy człowiek jest ssakiem)

Zdania kategoryczne

1. Zdania o budowie S jest P

SaP – Każdy człowiek jest ssakiem

SeP – Żaden człowiek nie jest płazem.

SiP – Niektórzy ludzie są Europejczykami

SoP – Niektórzy ludzie nie są Azjatami.

1. Modalne – musi, może

SaP – zdanie ogólno-twierdzące

SeP- zdanie ogólno-przeczące

SiP – zdanie szczegółowo twierdzące

SoP – zdanie szczegółowo przeczące

Affirro (twierdzić)

Nego (przeczyć)

1. Nazwy

Nazwa jest to wyrażenie, które w zdaniu o budowie S jest P (zdaniu kategorycznym, podmiotowo-orzecznikowym) może pełnić funkcję podmiotu lub orzecznika, tzn. może być podstawione w miejsce S lub P.

Przykłady:

Jaś jest człowiekiem.

Wenecja jest wyjątkowym miastem

Znaczenie nazwy

• Znaczeniem nazwy jest pojęcie.

• Różnym nazwom może odpowiadać to samo pojęcie (bicz i bat; butelka i flaszka).

• Jednej nazwie może też odpowiadać kilka pojęć (zamek, pióro, para). To nie są zmienne.

WAŻNE: Nazwa N w znaczeniu Z oznacza przedmiot P wtw (wtedy i tylko wtedy gdy) nazwę N w znaczeniu Z można prawdziwie orzec o przedmiocie P.

Przykład: Nazwa „ostatni król Polski” oznacza Stanisława Augusta Poniatowskiego ponieważ zgodnie z prawdą nazwę tę można o nim orzec (zdanie: „Stanisław August Poniatowski był ostatnim królem Polski” jest prawdziwe).

Oznaczanie to coś innego niż znaczenie!

Desygnatem nazwy N w znaczeniu Z jest przedmiot P oznaczany przez nazwę N w znaczeniu Z.

Przykłady:

Desygnatem naszego miasta jest „Lublin”.

Denotacją (zakresem) nazwy N w znaczeniu Z jest zbiór wszystkich desygnatów nazwy N w znaczeniu Z.

Zbiór jest pojęciem abstrakcyjnym.

Przykłady:

Denotacją nazwy „miasto” jest zbiór wszystkich miast.

Denotacją nazwy „ostatni król Polski” jest zbiór jednoelementowy zawierający Stanisława Augusta Poniatowskiego.

Stosunki między denotacjami nazw

1. S jest zamienne z P (denotacja nazwy S jest równoważna (pokrywa się z...) denotacji nazwy P) wtw S a P oraz P a S

2. S jest podrzędne względem P (denotacja nazwy S jest podrzędna denotacji nazwy P) wtw S a P oraz nieprawda, że P a S

3. S jest nadrzędne względem P (denotacja nazwy S jest nadrzędna denotacji nazwy P) wtw nieprawda, że SaP oraz PaS

4. S krzyżuje się z P (denotacja nazwy S krzyżuje się z denotacją nazwy P) wtw istnieją S nie będące P, istnieją P nie będące S oraz istnieją S będące P

5. S wyklucza się z P (denotacja nazwy S wyklucza się z denotacją nazwy P) wtw istnieją S nie będące P, istnieją P nie będące S oraz nie istnieją S będące P

5a. Szczególny rodzaj wykluczania; S dopełnia się z P wtw S oraz P się wykluczają, a każdy przedmiot jest desygnatem S lub P

Nazwa jest to takie wyrażenie, które w zdaniu o budowie S jest P może pełnić funkcję podmiotu lub orzecznika, to znaczy może być podstawione w miejsce S lub P.

Desygnat – każdy przedmiot oznaczany przez nazwę.

Np. nazwa „owoce” – desygnat „jabłko”.

Definicja: Konotacją (treścią) nazwy N w znaczeniu Z jest zbiór cech przysługujących wszystkim desygnatom nazwy N w znaczeniu Z i tylko im.

Konotacja (charakterystyczna treść nazwy) – zestaw cech przedmiotów, oznaczanych łącznie przez daną nazwę.

Denotacja (zakres nazwy) – denotacją nazwy jest zbiór jej desygnatów.

Człowiek – nazwa

Myślenie abstrakcyjne

Przeciwstawny kciuk

Postawa Wyprostowana Konotacje – odrzucamy te, które pokrywają się z cechami innych

Dwunożność nazw (małpy też mogą być dwunożne, mają

Mowa przeciwstawny kciuk).

Im bardziej wzbogacamy treść nazwy, tym bardziej zmniejszamy zakres tej nazwy.

Ćw. Książka, podręcznik, druk, podręcznik do polskiego. – uporządkować względem zakresu:

Druk

Książka

Podręcznik

Podręcznik do polskiego

Tygodnik, czasopismo, Newsweek

Czasopismo

Tygodnik

Newsweek

Podział nazw:

• Ze względu na formę (ilość wyrazów)

  • Prosty - posiadają tylko jeden wyraz (np. kot)

  • Złożone – posiadają więcej niż jeden wyraz (np. Franciszek Smuda, Podręcznik do polskiego)

• Ze względu na ilość desygnatów:

  • Ogólne – mają więcej niż jeden desygnat.

  • Jednostkowe – mają tylko jeden desygnat.

  • Puste – nie mają desygnatów.

• Ze względu na sposób istnienia desygnatów w nazwie:

  • Nazwy konkretne – desygnaty są przedmiotami materialnymi, lub byłyby takie gdyby istniały (np. kot, prokurator).

  • Nazwy abstrakcyjne – w których desygnaty wyznaczono na drodze do abstrahowania. (np. kształt, miłość)

• Ze względu na sposób wskazywania desygnatów:

  • Indywidualne – przyporządkowane danemu przedmiotowi na mocy arbitralnej decyzji, niezależnie od przysługujących temu przedmiotowi cech.

  • Generalne – przysługują przedmiotom ze względu na jakieś cechy.

• Ze względu na ostrość:

  • Jednoznaczność (Ostre) – ostrość zakresu. Da się jednoznacznie określić ich zakres a więc oddzielić ich desygnaty od przedmiotów nimi nie będących.

  • Nieostre – nie istnieje jednoznaczna, obiektywna granica dzieląca przedmioty i ich desygnaty od przedmiotów i ich desygnatów takimi nie będącymi.

Ćwiczenie

Ustawa – prosta, ogólna, konkretna, generalna, ostra

Pijak – prosta, ogólna, nieostra, generalna, konkretna

Przyroda ożywiona – złożone, konkretne, indywidualne, ostre, jednostkowe.

1. Zbiory

Zbiory dzielimy ze względu na charakter zbiorów:

• Kolektywny – agregat, pewna całość złożona z części składowych.

• Dystrybutywny – klasa elementów charakteryzująca się danymi cechami.

Przykład:

Zbiór kolektywny

Las – drzewa, krzaki, grzyby, itd.

Zbiór dystrybutywny

Las – liściasty, iglasty, wymarły

Wisła, najdłuższa rzeka świata

Supozycje

• Wąż jest długi.

• „Wąż” jest krótki.

Szympans jest ssakiem.

„Szympans” jest rzeczownikiem.

1. Formalna (in suppositione formali) – zwyczajne użycie nazwy; oznacza swój „normalny” desygnat

2. Materialna (in suppositione materiali) – nazwa cudzysłowowa; nazwa oznacza samą siebie.

1. Funktory

Definicja: Funktor jest to wyrażenie, które nie jest ani zdaniem ani nazwą ale które w połączeniu z innymi wyrażeniami – zwanymi jego argumentami – tworzy wyrażenie złożone.

Przykłady:

Jaś kocha Małgosię.

Wenecja jest wyjątkowym.

Typy funktorów:

Ze względu na rolę w wyrażeniu:

1. Funktor główny – Definicja: Funktor F jest funktorem głównym wyrażenia wtw wyrażenie W daje się bez reszty rozłożyć na F i wyrażenia A₁, ... , ... A_n będące argumentami F.

2. Funktor, który nie jest główny.

Podział Logiczny

Definicja: Podział logiczny pojęcia P jest to zbiór pojęć względem pojęcia P:

1. Parami wzajemnie rozłącznych (warunek rozłączności);

2. I takich, że suma ich zakresów jest identyczna z zakresem dzielonego pojęcia P (warunek adekwatności).

Rodzaje funktorów:

• Funktor nazwotwórczy (wysoki zamek)

• Funktor zdaniotwórczy (Jaś kocha Małgosię)

• Funktor funktorotwórczy (ciemno zielony samochód)

1. Definicje

Definicja jest to krótkie określenie czegoś, które służy:

1. Nadawcy lub odbiorcy do ustalenia znaczenia używanych wyrażeń

2. Do precyzowania zakresu lub treści nazw, a dzięki temu sprawniejszego posługiwania się językiem oraz regulowania życia społecznego

3. Wprowadzania nowych wyrazów.

Typy definicji

Ze względu na rodzaj znaków użytych do sformułowania definicji:

1. Ostensywne – przez wskazanie

2. Językowe – tworzone wyłącznie za pomocą znaków językowych.

Dalej – o ile nie zaznaczono inaczej – mówimy tylko o definicjach językowych.

Ze względu na strukturę:

1. Równościowe

Definiendum Copula Definiens

1. Wyraźne – wyraz definiowany występuje samodzielnie (centymetr t setna część metra)

2. Kontekstowe – wyraz definiowany występuje w typowym kontekście (dziadek x-a to ojciec jednego z rodziców x-a; x=log_b a b^x=a

1. Nierównościowe

Przykładowo przez postulaty – przez podanie zestawu kilku zdań prawdziwych zawierających definiowany termin, nie określających warunków koniecznych ani wystarczających.

(A1) 0≤ P(p) ≤ 1

(A2) P(t) = 1 (gdzie t – tautologia – prawo logiki)

(A3) P(p v q) = P)p + P(q) (jeżeli zdania p oraz q są rozłączne: p ^ q ≡ ⌐ t)

1. Ze względu na rolę w budowaniu języka:

1. Sprawozdawcze – określa dotychczas przyjęte znaczenie wyrażenia (definicje w słowniku j.polskiego)

2. Projektujące – nowemu lub dotychczas używanemu wyrażeniu nadaje nowe znaczenie (tygrys)

3. Regulujące – zachowuje dotychczasowe znaczenie wyrażenia, częściowo je modyfikując (często żeby była dokładniejsza) (sól jako NaCl)

Techniki Definicyjne

• Przez określenie zakresu

• (Definicja enumeratywna) Przez wyliczenie wszystkich lub niektórych desygnatów. (planety to wenus etc)

• (definicja przez podzbiory) Przez wyliczenie lub niektórych podzbiorów zakresu definiowanego terminu (rodzaj literacki to epika, liryka i dramat)

• (definicja tautologiczna) Przez podanie wyrażenia o takim samym znaczeniu co definiendum (flaszka to butelka)

• (definicja operacyjna) Przez podanie wskaźnika definiendum lub określenie czynności pozwalających stwierdzić, czy dany przedmiot jest desygnatem definiendum (jakiś roztwór jest kwasem jeżeli zabarwia papierek lakmusowy na czerwono)

Operacjonalizacja pojęcia – podanie jego definicji operacyjnej

Przez określenie zakresu

Definicja klasyczna

Kryteria poprawności definicji:

1. Powinna być poprawna gramatycznie

Wszyć znaczy, że szyjąc wstawiasz coś

„Wszyć”” znaczy „wstawić coś szyjąc”

1. Powinna wskazywać istotną treść definiendum

Człowiek to dwunóg bezpióry

Nie wymienia cechy istotnej dla człowieka, która odróżnia go od innych zwierząt

Np. człowiek to zwierzę rozumne

1. Powinna być adekwatna:

Zakres definiendum i definiensa powinien być ten sam (definiendum i definiens są równoważne)

Błędy: za szeroka

Ptak to zwierzę mające skrzydła (np. nietoperz)

Błędy: za wąska

Ptak to zwierzę zdolne do latania (np. struś)

1. Nie może być kołowata (idem per idem):

- w definiensie występuje wyraz definiowany

(bezpośrednie błędne koło)

Np. funktor to wyrażenie służące do tworzenia nazw, zdań i funktorów złożonych.

Kryteria poprawności definicji

- pośrednie błędne koło – w kilku definicjach:

A definiowany przez B, B przez C, C przez A

Np. waga jest rzetelna jeżeli daje taki sam pomiar dla dwóch ciał o tym samym ciężarze

Dwa ciała mają taki sam ciężar jeżeli mają takie same wskazania na rzetelnej wadze

- lub w sposób ukryty:

Np. konkubina to kobieta żyjąca w konkubinacie

1. Nie powinna być negatywna, gdy może być pozytywna

Np. neutralny to nie popierający żadnej ze stron

Np. neutralny to bezstronny

- ale:

Np. ciemność to stan braku światła

1. Nie powinna być sformułowana figuratywnie, niezrozumiale, niewyraźnie czy wieloznacznie

1. Sformułowanie jest figuratywne jeżeli występują w nim wyrażenia analogiczne (zamiast wskazywać istotne cechy podaje się metaforę lub obraz):

np. architektura to skamieniała muzyka

np. wielbłąd to pustynny statek

1. Sformułowanie jest niezrozumiałe (ignotum per ignotum) jeżeli odbiorca nie zna znaczeń poszczególnych słów (zwłaszcza przy nadmiarze języka specjalistycznego):

Np. tarmakadam to markadam kryty smołą

Np. tarmakadam to droga asfaltowa, pod którą jest nawierzchnia tłuczniowa

1. Sformułowanie jest niewyraźne, gdy (mimo intuicyjnej zrozumiałości) nie potrafimy wskazać składowych znaczenia poszczególnych słów.

N demokracja to rodzaj rządu, gdzie kontrolę sprawuje ludność – co znaczy ludność co to znaczy kontrola jak jest realizowana w stosunku do czego

1. Sformułowanie jest wieloznaczne jeżeli ma więcej niż 1 znaczenie

Np. trójkąt to figura składająca sie z 3 prostych odcinków, w której wszystkie mają 180^o. – każdy osobno? Czy wszystkie razem?

VIa. Definicja klasyczna

Szczególnym rodzajem definicji równościowej jest definicja klasyczna. Ma postać:

„A jest to B, które jest C”

A – zbiór = gatunek przedmiotów

B – rodzaj najbliższy (genus proximum) – najmniejszy zbiór zawierający A

C – różnica gatunkowa (differentia specifica) – cecha jednoznacznie wyodrębniająca A spośród wszystkich B

Przykład:

Kwadrat to prostokąt równoboczny.

1. Argumenty

Definicja: Argument jest to zbiór zdań (co najmniej 2), z których jedno, zwane wnioskiem wynika z pozostałych, zwanych przesłankami.

3 elementy:

1. Przesłanki

2. Wnioski

3. Wynikanie

Przykłady:

Jeśli zdasz maturę dostaniesz samochód. Zdałeś maturę, zatem dostaniesz samochód – dobrze.

Jeśli zdasz maturę dostaniesz samochód. Nie zdałeś matury, zatem nie dostaniesz samochodu. – źle, bo argument odnosi się tylko do warunku zdania matury. Tu nie ma mowy o nie zdaniu.

Wskaźniki wniosku (często poprzedzają wniosek):

• Zatem

• A więc

• Stąd

• Czyli

• Wobec tego

• W konsekwencji

• W rezultacie

• Można wywnioskować, że

• Implikuje

• Otrzymujemy

• Wynika, że

Jeśli nie ma wskaźników:

1. Które ze zdań ma wynikać z których?

2. Do czego zmierza autor argumentu?

3. Co jest zasadniczym twierdzeniem danej wypowiedzi?

Typowe wypowiedzi nie będące argumentami

1. Ostrzeżenia i rady – Uważaj bo tu jest ślisko!

2. Wyrażanie przekonań i opinii – Uważam, iż aby poprawić sytuacją gospodarczą w Europie, należy obniżyć podatki.

3. Sprawozdania (również z czyjegoś argumentu) – Przedstawiciel rządu USA uważa, że produkcja żywności modyfikowanej genetycznie nie stanowi zagrożenia dla środowiska naturalnego, gdyż nie zaburza procesu ewolucji

4. Ilustracje – Pierwiastki i substancje chemiczne można reprezentować symbolicznie, a więc np. chlorek sodu przestawiamy jako NaCl.

5. Pojedyncze zdania warunkowe – jeśli zdasz maturę to dostaniesz samochód.

6. Wyjaśnienia – Jadwiga skłamała, bo bała się przyznać do winy.

Rodzaje argumentów:

Argumenty

Definicja: Dedukcyjny argument – taki, którego przesłanki mają dostarczać niezawodnego potwierdzenia wniosku.

Wskaźniki argumentu dedukcyjnego:

• Oczywiście

• Z pewnością

• Koniecznie

• Wynika

• Wydedukować,

• Musi być tak, że

Typy argumentów dedukcyjnych:

1. Argument oparty na matematyce – Wymiana jednej opony kosztuje 20 PLN. Wymieniłem cztery opony więc zapłaciłem 80 PLN.

2. Argument z definicji – Jan jest kawalerem więc może się żenić.

3. Sylogizmy – Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates jest człowiekiem, zatem Sokrates jest śmiertelny.

4. Argumenty z implikacji – Jeśli jutro będzie ładna pogoda to pójdziemy na spacer. Jutro będzie ładna pogoda, zatem jutro pójdziemy na spacer.

5. Argument z alternatywy – Te pieniądze ukradła Kasia albo Basia. Basia ich nie ukradła zatem ukradła je Kasia.

Argument Prawomocny – argument dedukcyjny w którym jeżeli przesłanki są prawdziwe, to wniosek musi być prawdziwy.

Argument Konkluzywny – argument prawomocny, którego przesłanki są prawdziwe.

	Prawomocny	Nieprawomocny
P P	Wszystkie wódki to alkohole Wyborowa to wódka Zatem wyborowa to alkohol	Wszystkie wódki to alkohole. Wyborowa to alkohol. Zatem Wyborowa to wódka.
P F	Nie ma	Wszystkie wódki to alkohole. Perła to alkohol. Zatem perła to wódka.
F P	Wszystkie wódki to napoje bezalkoholowe. Coca-cola to wódka. Zatem Coca-cola to napój bezalkoholowy.	Wszystkie wódki to piwa. Wyborowa to piwo. Zatem wyborowa to wódka.
F F	Wszystkie wódki to piwa. Coca-cola to wódka. Zatem Coca-cola to piwo.	Wszystkie wódki to piwa. Coca-cola to piwo. Zatem Coca-cola to wódka.

Argumenty Indukcyjne – takie argumenty, których przesłanki mają dostarczać prawdopodobnego potwierdzenia wniosku.

Wskaźniki argumentu indukcyjnego:

• Prawdopodobnie

• Przypuszczalnie

• Chyba

• Rozsądnie byłoby przyjąć, że

Typy argumentów indukcyjnych:

1. Argument z przewidywania – On zaczyna wykład od „Dzień dobry”. Zatem dzisiaj będzie tak samo.

2. Argument z analogii – Obniżenie podatków w USA spowodowało wzrost gospodarczy, zatem u nas też go spowoduje.

3. Uogólnienie indukcyjne – Wszystkie bociany, które dotąd widziałem były białe i miały czerwony dziób, zatem wszystkie bociany w ogóle są białe i mają czerwone dzioby.

4. Argument z autorytetu – Jutro będą godziny rektorskie, bo tak powiedział mi znajomy z rektoratu.

5. Argument na podstawie – Na najbliższych 25 km drogi odbywają się roboty drogowe, bo na to wskazuje znak.

Żaden uczony nie przeczytał wszystkich książek

S – uczony, człowiek uczony

E - żaden

P – człowiek który przeczytał wszystkie książki.

Gdy prawdziwe jest zdanie górne to prawdziwe jest też dolne

Przeciwieństwo zdania nie mogą być zarazem prawdziwe, gdy jedno jest prawdziwe drugie jest fałszywe. Nie mogą być jednocześnie fałszywe.

Pod przeciwieństwo. Zdania nie mogą być zarazem fałszywe. Gdy jedno jest fałszywe drugie musi być prawdziwe. Mogą być jednocześnie prawdziwe.

Sprzeczność. Zdania nie mogą być zarazem prawdziwe ani fałszywe.

1. Błędy kołowatości

Przesłanki zakładają to, co ma być udowodnione.

1. Petitio principii (przesądzanie kwestii).

2. Pytanie złożone.

3. Pozorna alternatywa.

4. Zatajone dowody

W przesłankach lub wniosku pojawiają się wieloznaczności

1. Ekwiwokacja

2. Amfibolia

Argumenty są gramatycznie podobne do pewnych dobrych argumentów, chociaż same pozostają pseudo argumentami

1. Błąd złożenia (pars pro toto)

2. Błąd podziału

Klasyczny Rachunek Zdań – KRZ

Podstawową cegiełką budującą rachunek zdań jest zdanie pojedyncze.

Alfabet KRZ:

1. Zmienne zdaniowe: p,q,r,s ... (może ich być nieskończenie wiele)

2. Stałe (funktory zdaniotwórcze):

~ (¬) (negacja), ᶺ (koniunkcja), ᵥ (alternatywa) → (implikacja) ↔ (tylko wtedy i tylko wtedy)

1. Znaki pomocnicze: (,),{,}

Każdy skończony ciąg znaków z alfabetu KRZ jest wyrażeniem KRZ.

p v q, (p v q) <-> (r ^ s)

Formuły (Wyrażenia sensowne, poprawnie zbudowane wyrażenia) KRZ

1. Pojedyncze zmienne zdaniowe są formułami KRZ

2. Jeśli α oraz β są formułami KRZ to są nimi także:

~α, α^β, αvβ, α->β, α<->β,

Funktory KRZ

Negacja

~p (¬p)

Nieprawda, że p

p	~p
1	0
0	1

Koniunkcja

p ᶺ q

p i q

p	q	p ᶺ q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Alternatywa

p ᵥ q

P albo q

p	q	p ᵥ q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Implikacja

p → q

Jeśli p, to q

p	q	p → q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Równoważność

p ↔ q

p wtedy i tylko wtedy, gdy q

p	q	p↔q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Jaka jest wartość logiczna formuły „(p ᶺ q) → p”?

p	q	p ᶺ q	(p ᶺ q) → p
1	1	1	1
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	0	1

Jaka jest wartość logiczna formuły „[(p → q) ᵥ q ↔ p”?

p	q	(p → q)	(p → q) ᵥ q	[(p → q) ᵥ q ↔ p
1	1	1	1	1
1	0	0	0	0
0	1	1	1	0
0	0	1	1	0

Jaka jest wartość logiczna formuły „[p → (q → r)] ↔ [(p ᶺ q) → r]”?

p	q	r	q → r	p → (q → r)	p ᶺ q	(p ᶺ q) → r	[p → (q → r)] ↔ [(p ᶺ q) → r]
1	1	0	0	0	1	0	1

A co gdyby sprawdzić wszystkie kombinacje?

(p ᶺ q) → p

p	q	P ᶺ q	(p ᶺ q) → p
1	1	1	1
1	0	0	1
0	1	0	1
0	1	0	1

p	q	r	q → r	p → (q → r)	p ᶺ q	(p ᶺ q) → r	[p → (q → r)] ↔ [(p ᶺ q) → r]
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	0	1	0	1
1	0	1	1	1	0	1	1
1	0	0	1	1	0	1	1
0	1	1	1	1	0	1	1
0	1	0	0	1	0	1	1
0	0	1	1	1	0	1	1
0	0	0	1	1	0	1	1

Tautologia

Każdą formułę klasycznego rachunku zdań, która jest prawdziwa przy każdym wartościowaniu (przy każdej kombinacji wartości logicznych zmiennych) nazywa się tautologią.

Kontrtautologia – zawsze fałszywe.

KRZ – argumenty

1. Zapisujemy argument symbolicznie

2. Z przesłanek oraz wniosku formujemy jedną implikację w następujący sposób: w poprzedniku umieszczamy koniunkcję przesłanek, natomiast w następniku – wniosek.

3. Sprawdzamy czy taka implikacja jest tautologią.

Łopatologiczne tłumaczenie sposobu na ustawienie literek o którym mówił dr. Lipiński.
Załóżmy że mamy ileś tam kombinacji (zawsze jest ich 2ⁿ – gdzie ⁿ to ilość tych literek typu p, q, r itd.) i chcemy je rozpisać.

Weźmy za przykład że mamy 4 literki, czyli liczymy 2⁴ z czego wychodzi że łącznie mamy 16 kombinacji.

Piszemy te literki (tu w tabelce by było wygodniej). I dzielimy tą liczbę która wychodzi z potęgowania przez kolejne liczby parzyste. Jeżeli mamy w tym przypadku liczbę 16, to przy każdej literze będziemy dzielić przez kolejne potęgi 2, czyli 2, 4, 8 aż do tej liczby kombinacji.

P (dzielimy liczbę jedynek i zer (16) przez 2. Wychodzi że będzie 8 jedynek i 8 zer)	Q (tu przez 4, piszemy więc na przemian po 4 jedynki i 4 zera)	R (przez 8 – i tak dalej)	S (przez 16 i mamy gotową tabelkę)
1	1	1	1
1	1	1	0
1	1	0	1
1	1	0	0
1	0	1	1
1	0	1	0
1	0	0	1
1	0	0	0
0	1	1	1
0	1	1	0
0	1	0	1
0	1	0	0
0	0	1	1
0	0	1	0
0	0	0	1
0	0	0	0

Jak to wykorzystać do sprawdzania prawomocności i argumentów?

Argument prawomocny – niemożliwe aby przesłanki były prawdziwe a wniosek fałszywy

Implikacja prawdziwa – niemożliwe, aby poprzednik był prawdziwy a następnik fałszywy.

Krok po kroku:

1. Zapisujemy argument symbolicznie

2. Z przesłanek oraz wniosku formujemy jedną implikację w następujący sposób: w poprzedniku umieszczamy koniunkcję przesłanek, natomiast w następniku – wniosek.

3. Sprawdzamy czy taka implikacja jest tautologią.

Jeśli zdasz maturę dostaniesz samochód.

Nie zdałeś matury.

Zatem nie dostaniesz samochodu. – wniosek

P → q

~p

~q

((p → q) ᶺ ~p) → ~q

p	q	p → q	(p → q) ᶺ ~p	((p → q) ᶺ ~p) → ~q
1	1	1	0	1
1	0	0	0	0
0	1	1	0	1
0	0	1	0	0

Spalenie Biblioteki Aleksandryjskiej

W 642 roku Kalif Omar I spalił Bibliotekę argumentując tak: „Albo te księgi zawierają to samo co Koran, więc są niepotrzebne, albo coś innego, więc są szkodliwe”.

1. Księgi zawierają to samo co Koran (p), albo nie zawierają tego samego co Koran (~p).

2. Jeśli księgi zawierają to samo to są niepotrzebne (q – niepotrzebne).

3. Jeśli księgi nie zawierają tego samego, to są szkodliwe (r).

4. Jeśli księgi są szkodliwe lub niepotrzebne to trzeba je spalić (s).

5. Zatem trzeba spalić księgi (biblotekę).

Elementy argumentu do przykładu powyżej wyglądają tak:

1. P ᵥ ~p

2. P → q

3. ~p → r

4. (r ᵥ q) → s

5. S

Zatem wszystko razem:

[(p ᵥ ~p)¹ ᶺ (p → q)² ᶺ (~p → r)³ ᶺ ((r ᵥ q) → s)⁴] → s

^{potęgi przy nawiasach oznaczają numer działania w nawiasie – mam nadzieję że zrozumiecie :v literka c oznacza całą lewą stronę}

p	q	r	S	p ᵥ ~p	p → q	~p → r	r ᵥ q	(r ᵥ q) → s	1 ^ 2 ^ 3 ^ 4	c → s
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	1	0	1	1	1	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1	0	0	1
1	0	1	1	1	0	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1
1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1	1	1	0	0	1
0	1	0	1	1	1	0	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	1	0	0	1
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0	0	1	0	1	1	1	1	0	0	1
0	0	0	1	1	1	0	0	1	0	1
0	0	0	0	1	1	0	0	1	0	1

To było wprost – długa metoda – działa zawsze

Teraz nie wprost:

Bierzemy zdanie – alfę

I negujemy ją. Jeżeli udowodnimy że z negacji wychodzi fałsz to zdanie jest nieprawdziwe.

[(P → q) ᶺ (q → r)] → (p → r)

[(p → q) ᶺ (q → r)] – zakładamy że to jest prawdziwe

(p → r) to musi być fałszywe

[(P → q) ᶺ (q → r)] → (p → r)

Koniunkcja jest prawdziwa tylko w jednym przypadku – tutaj - gdy oba nawiasy są prawdziwe. Możemy więc przyjąć na podstawie nawiasu ,którego wartość logiczna ma być fałszywa, że „p” ma wartość 1, a „r” 0, opierając się o właściwości implikacji (też jest nieprawdziwa tylko w jednym przypadku).

Teraz: skoro całe to wyrażenie (P → q) ᶺ (q → r) ma być prawdziwe, a p = 1, r = 0, to z (P → q) wychodzi nam, że q musi być równe 1 by spełnić warunek. Sprawdzamy drugi nawias: (q → r) i jeżeli cały nawias ma być prawdziwy i r = 0, to q też musi być 0.
Mamy więc sprzeczność, bo q musiałoby być jednocześnie prawdziwe i fałszywe by (P → q) ᶺ (q → r) było prawdziwe.