1. Funkcje jednej zmiennej i ich własności

1.1. Określenie funkcji

Niech i będą dwoma zbiorami niepustymi.

Def. 1.1. Jeżeli każdemu elementowi przyporządkujemy dokładnie jeden element , to mówimy, że na zbiorze określona została funkcja przekształcająca zbiór w zbiór .

Fakt, że w zbiorze określona została funkcja o wartościach ze zbioru , zapisujemy jako:

lub , , .

W zapisie zmienną nazywa się zwykle argumentem funkcji , natomiast - wartością funkcji .

Zbiór , na którym określona jest funkcja nazywamy dziedziną tej funkcji i oznaczamy symbolem . Zbiór wartości funkcji nazywamy przeciwdziedziną i oznaczamy symbolem .

Jeśli zachodzi równość , to mówimy, że funkcja przekształca zbiór na zbiór .

Uwaga 1.1

Jeżeli zbiory i są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych , to funkcję nazywamy funkcją liczbową (funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej). W tym przypadku, w celu określenia funkcji najczęściej podajemy jej wzór . Za dziedzinę funkcji przyjmuje się wówczas zbiór tych , dla których wzór ma sens liczbowy.

Przykład 1.1

a) b)

Def. 1.2. Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych nazywamy wykresem funkcji ,.

1.2. Podstawowe własności funkcji

1.2.1. Różnowartościowość funkcji

Funkcję nazywamy różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy

(1.1)

lub

(1.1)`

Geometrycznie, warunek 1.1 (lub 1.1`) oznacza, że każda prosta równoległa do osi ma z wykresem funkcji tylko jeden punkt wspólny.

1.2.2. Monotoniczność funkcji

Def. 1.3. Mówimy, że funkcja jest

• ściśle rosnąca, wtedy i tylko wtedy, gdy:

. (1.2)

• ściśle malejąca, wtedy i tylko wtedy, gdy:

. (1.3)

• niemalejąca, wtedy i tylko wtedy, gdy:

. (1.4)

• nierosnąca, wtedy i tylko wtedy, gdy:

. (1.5)

Funkcję, która spełnia jeden z powyższych warunków nazywamy monotoniczną w swojej dziedzinie (w zbiorze ).

Zbiór X można zastąpić dowolnym przedziałem , Ø. Wówczas funkcję spełniającą jeden z warunków 1.2-2.5 nazywa się monotoniczną w zbiorze .

Uwaga 1.2

Każda funkcja ściśle rosnąca lub ściśle malejąca w zbiorze jest jednocześnie różnowartościowa w tym zbiorze.

1.2.3. Parzystość funkcji

Funkcję nazywamy parzystą, wtedy i tylko wtedy, gdy:

. (1.6)

Funkcję nazywamy nieparzystą, wtedy i tylko wtedy, gdy:

. (1.7)

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi , zaś wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Przykład 1.2

a) b) , .

1.2.4. Okresowość funkcji

Def. 1.4. Funkcję nazywamy okresową, jeśli istnieje liczba , taka, że

. (1.8)

Najmniejszą liczbę , dla której spełniony jest warunek 1.8 nazywamy okresem podstawowym funkcji .

1.2.5. Złożenie funkcji

Niech dane będą trzy niepuste zbiory oraz dwie funkcje i .

Def. 1.5. Złożeniem (superpozycją) funkcji oraz nazywamy funkcję określoną następująco:

. (1.9)

Funkcję występującą we wzorze 1.9 nazywamy funkcją wewnętrzną, zaś funkcję - funkcją zewnętrzną.

Uwaga 1.3

Składanie funkcji nie jest na ogół przemienne!!

Przykład 1.3

a) b)

Uwaga 1.4

Aby złożenie funkcji i było możliwe, to zbiór wartości funkcji wewnętrznej musi zawierać się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Jeśli warunek ten nie jest spełniony, to w celu złożenia funkcji należy zawęzić odpowiednio dziedzinę funkcji zewnętrznej.

Przykład 1.4

,

1.2.5. Odwrotność funkcji

Dla dowolnej funkcji różnowartościowej i spełniającej warunek istnieje dokładnie jedna funkcja , taka, że

, dla , . (1.10)

Funkcję nazywamy funkcją odwrotną do funkcji .

Uwaga 1.5

Wykres funkcji jest symetryczny do wykresu funkcji względem prostej o równaniu .

1.3. Własności wybranych funkcji elementarnych

1.3.1. Funkcja liniowa

, (1.11)

• wykresem funkcji liniowej jest linia prosta nachylona do osi pod kątem , gdzie

• funkcja jest rosnąca gdy , malejąca, gdy oraz stała, gdy

• jeśli , to funkcja ma jedno miejsce zerowe określone wzorem

• jeśli to funkcja jest różnowartościowa

• jeśli to funkcja jest nieparzysta (jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych).

1.3.2. Funkcja kwadratowa

, (1.12)

• wykresem jest parabola o wierzchołku i ramionach skierowanych do góry - gdy oraz do dołu – gdy

• ilość miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od znaku wyróżnika

  • - dwa miejsca zerowe: ,

  • - jedno miejsce zerowe

  • - brak miejsc zerowych

• funkcja kwadratowa nie jest różnowartościowa

• funkcja kwadratowa jest przedziałami monotoniczna (w zależności od położenia jej wykresu w układzie współrzędnych)

• jeśli , to funkcja kwadratowa jest parzysta (jej wykres jest symetryczny względem osi ).

1.3.3. Funkcje trygonometryczne

Do tej klasy należą funkcje , , , . Cechą charakterystyczną tych funkcji jest okresowość.

• funkcje i są funkcjami okresowymi o okresie podstawowym równym

• funkcja jest nieparzysta, zaś funkcja jest funkcją parzystą

• dla obu funkcji dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych zaś zbiorem wartości – przedział domknięty

• obie funkcje mają nieskończenie wiele miejsc zerowych i są przedziałami monotoniczne

• funkcje , są funkcjami okresowymi o okresie podstawowym równym i funkcjami nieparzystymi

• dziedziną funkcji jest zbiór , , zaś przeciwdziedziną – zbiór liczb rzeczywistych . Funkcja ta jest przedziałami rosnąca i ma nieskończenie wiele miejsc zerowych

• dziedziną funkcji jest zbiór , , przeciwdziedziną – również zbiór liczb rzeczywistych . Funkcja ta jest przedziałami malejąca i ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

1.3.4. Funkcja wykładnicza

, , gdzie i (1.13)

• wykresem funkcji wykładniczej jest krzywa wykładnicza

• funkcja ta jest rosnąca, gdy i malejąca – gdy

• dziedziną jest zbiór licz rzeczywistych , zbiorem wartości zbiór liczb rzeczywistych dodatnich

• funkcja wykładnicza nie jest parzysta ani nieparzysta jest natomiast różnowartościowa

• funkcja określona wzorem 1.13 nie posiada miejsc zerowych

Uwaga 1.6

Szczególnie ważnym w zastosowaniach ekonomicznych przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja , gdzie oznacza liczbę Eulera . Funkcja ta jest również zapisywana w postaci (exponens x).

1.3.5. Funkcja logarytmiczna

Funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej określonej wzorem 1.13 jest funkcja logarytmiczna:

, , gdzie i (1.14)

• wykresem funkcji logarytmicznej jest krzywa logarytmiczna

• funkcja ta jest rosnąca, gdy i malejąca – gdy

• dziedziną jest zbiór licz rzeczywistych dodatnich , zaś zbiorem wartości zbiór liczb rzeczywistych

• funkcja logarytmiczna określona wzorem 1.14 jest różnowartościowa w całej swojej dziedzinie i posiada jedno miejsce zerowe

• funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta

Uwaga 1.7

W szczególnym przypadku, gdy , funkcję nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy symbolem .

1.4. Ciągi liczbowe

Def. 1.6. Ciągiem nazywamy każdą funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych: .

Oznaczenia:

- pierwszy wyraz ciągu

- drugi wyraz ciągu

- wyraz ciągu.

- ciąg o wyrazach .

Jeżeli , to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.

- otoczenie liczby o promieniu , .

Def. 1.7. Liczbę nazywamy granicą ciągu , jeżeli każde otoczenie liczby zawiera prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Piszemy wówczas:

lub

i mówimy, że ciąg jest zbieżny do granicy lub że dąży do .

Innymi słowy:

(1.15)

Uwaga 1.8

Z definicji 1.7 wynika, że jeżeli g jest granicą ciągu , to dla dowolnego poza przedziałem postaci może znajdować się tylko skończona liczba wyrazów ciągu , (gdyż prawie wszystkie oznacza wszystkie poza skończoną ilością).

Uwaga 1.9

Każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę!!!

Ciąg, który nie ma granicy (nie jest zbieżny) nazywamy ciągiem rozbieżnym. Wśród ciągów rozbieżnych wyróżniamy te, które są rozbieżne do lub . Mówimy o nich, że mają granice niewłaściwą.

Def. 1.8. Ciąg jest rozbieżny do (), jeżeli dla każdej liczby dodatniej , prawie wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek:

, (). (1.16)

Twierdzenie 1.1 (O własnościach granicy ciągu liczbowego)

Jeżeli ciągi i są zbieżne oraz i , to:

a)

b)

c) ,

d) , gdy dla każdego oraz .

Granice wybranych ciągów

1. ,

5. ,

Twierdzenie 1.2

Jeżeli , to .

W szczególności: , .

Przykład 1.4

a) b) c)

1.5. Granica funkcji

Def. 1.9. Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu , takiego, że dla oraz , ciąg jest zbieżny do .

Piszemy wówczas: .

Uwaga 1.10

1. Jeżeli w definicji 1.9 przy obliczaniu granicy otrzymamy , to mówimy, że funkcja ma w punkcie granicę niewłaściwą.

2. Jeżeli w definicji 1.9 zastąpimy symbolem (), to otrzymamy definicję granicy w nieskończoności: ().

Twierdzenie 1.3 (O działaniach arytmetycznych na granicach funkcji)

Jeżeli i , to:

a)

b)

c) , gdy w pewnym otoczeniu oraz .

Granice niektórych funkcji

3. ,

Przykład 1.5

a) b)