Wyznaczanie prędkości dźwięku

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości dźwięku, na podstawie pomiarów odległości źródła dźwięku (głośnik) od urządzenia odbierającego dźwięk (mikrofon) przy zadanej stałej częstotliwości tego dźwięku. Odległość głośnika od mikrofonu nie jest przypadkowa i musi spełniać warunek zmiany fazy częstotliwości dźwięku o wartość π, co odczytywane jest z ekranu oscyloskopu jako przejście figury Lissajous o kształcie linii prostej o dodatnim współczynniku kierunkowy, na linię prostą o ujemnym współczynniku kierunkowym (lub na odwrót).

Rysunek 1 Schemat układu pomiarowego

Częstotliwość	0,5 kHz	1 kHz	1,5 kHz	2 kHz	2,5 kHz
L1	315 mm	125 mm	150 mm	165 mm	195 mm
L2	657 mm	382 mm	230 mm	242 mm	255 mm
L3		550 mm	340 mm	330 mm	322 mm
L4		725 mm	455 mm	415 mm	392 mm
L5			570 mm	500 mm	460 mm
L6			690 mm	588 mm	530 mm
L7			800 mm	672 mm	610 mm
L8				760 mm	665 mm
L9					730 mm

Tabela 1 Wartości zmierzonych odległości w zależności od częstotliwości

Obliczenia prędkości dokonujemy za pomocą wzoru :

$$c = \frac{2lf}{n - 1}$$

Gdzie: c- prędkość dźwięku, f – częstotliwość, l – odległość między pomiarami które zmieniają fazę o π, n – ilość pomiarów które zmieniają fazę na odległości l.

Rachunek jednostek:

$$c = \frac{2 \cdot \left\lbrack \text{mm} \right\rbrack \cdot \lbrack kHz\rbrack}{n - 1} = \frac{2 \cdot 10^{- 3} \cdot \left\lbrack m \right\rbrack \cdot 10^{3} \cdot \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack}{n - 1} = \frac{\lbrack m\rbrack}{\lbrack s\rbrack}$$

1. Obliczenia prędkości dla częstotliwości 0,5 kHz

$$c_{1} = \frac{2 \cdot \left( 657 - 315 \right) \cdot 0,5}{2 - 1} = 342\frac{m}{s}$$

1. Obliczenia prędkości dla częstotliwości 1 kHz

$$c_{2} = \frac{2 \cdot \left( 725 - 125 \right) \cdot 1}{4 - 1} = 400\ \frac{m}{s}$$

1. Obliczenia prędkości dla częstotliwości 1,5 kHz

$$c_{3} = \frac{2 \cdot \left( 800 - 150 \right) \cdot 1,5}{7 - 1} = 325\ \frac{m}{s}$$

1. Obliczenia prędkości dla częstotliwości 2 kHz

$$c_{4} = \frac{2 \cdot \left( 760 - 165 \right) \cdot 2}{8 - 1} = 340\ \frac{m}{s}$$

1. Obliczenia prędkości dla częstotliwości 2,5 kHz

$$c_{5} = \frac{2 \cdot \left( 730 - 195 \right) \cdot 2,5}{9 - 1} = 334,375\ \frac{m}{s}$$

1. Obliczenia prędkości średniej

$$\overset{\overline{}}{c} = \frac{342 + 340 + 334,375}{3} = 338,792\ \frac{m}{s}$$

Prędkości dźwięku dla częstotliwości 1 kHz i 1,5 kHz obarczone są dużym błędem i zostały przeze mnie nie uwzględnione w obliczaniu wartości średniej prędkości.

1. Obliczenie błędu prędkości

$$u_{\left( c \right)} = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}\left( c_{i} - \overset{\overline{}}{c} \right)^{2}}$$

L.p	$$c_{i} - \overset{\overline{}}{c}$$	$$\left( c_{i} - \overset{\overline{}}{c} \right)^{2}$$
1	3,208	10,291264
2	odrzucone	odrzucone
3	odrzucone	odrzucone
4	1,208	1,459264
5	-4,417	19,509889
Suma	31,260417

$$u_{\left( c \right)} = \sqrt{\frac{1}{3(3 - 1)} \cdot 31,260417} = 2,28255766 = 2,283\frac{m}{s}$$

$$\mathbf{c = 338,275 \pm 2,283}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$

Wartość tablicowa prędkości dźwięku (340 m/s) mieści się w granicach błędu wartości tej prędkości, obliczonej na podstawie wykonanych pomiarów. Źródłem błędów podczas wykonywania pomiarów były przede wszystkim mało dokładne odczyty odległości głośnika od mikrofonu (dokładność podziałki wzorca odległości była równa 1 cm), ale także duży wpływ na błąd miał fakt określenia czy wyświetlana na ekranie oscyloskopu figura Lissajous możliwie najbardziej przypomina linię prostą.

Pomiary prędkości dźwięku były dokonywane w temperaturze 23,4 °C , wartość tej temperatury ma istotny wpływ na otrzymany przeze mnie wynik. Wynika to z faktu, że prędkość rozchodzenia się dźwięku w gazach jest zależna od zmian temperatury oraz wilgotności powietrza. Powietrze składa się z drgających cząsteczek, jeśli temperatura powietrza wzrośnie cząsteczki budujące je zaczną drgać silniej, co spowoduje wzrost prędkości rozchodzenia się fali dźwiękowej w tej mieszaninie gazów. Analogicznie jeśli temperatura zmaleje to i prędkość dźwięku zmaleje. Zmiany te są jednak małe i nie przekraczają kilkunastu metrów na sekundę.¹

Prędkości dźwięku dla poszczególnych częstotliwości można również odczytać z wykresu. Jeśli przyjrzymy się równaniu [1] i przekształcimy je do równania: 

$$l = c \cdot \frac{n - 1}{2f}$$

da się zauważyć, że wartość l zależy liniowo, a prędkość dźwięku jest współczynnikiem kierunkowym tej prostej.

Poniższa tabela zawiera wartości zależności $\frac{n - 1}{2f}\ \left\lbrack s \right\rbrack$

	Częstotliwość [ kHz]
n	0,5
1	0
2	1
3	2
4	3
5	4
6	5
7	6
8	7
9	8

Tabela 2 Wartość współczynnika (n-1)/2f

---

1. J. Blinowski, J. Trylski, „Fizyka dla kandydatów na wyższe uczelnie”, PWN, Warszawa 1976↩