1. TRYGONOMETRIA SFERYCZNA – DEFINICJE ODLEGŁOŚCI SFERYCZNEJ I KĄTA SFERYCZNEGO, KĄT SFERYCZNY A KĄT DWUŚCIENNY, DEFINICJA TRÓJKĄTA SFERYCZNEGO, WZÓR SINUSOWY, WZORY COSINUSOWE I TANGENSOWE, NADMIAR SFERYCZNY.

Odległością sferyczną punktów A i B leżących na sferze nazywamy kąt środkowy oparty na łuku AB koła wielkiego. Odległość sferyczna dowolnego punktu na łuku od bieguna wynosi $\frac{\pi}{2}$ rad. Jeżeli odległość sferyczna punktów A i B nie wynosi π, to punkty te można połączyć jednoznacznie jednym łukiem. Natomiast jeżeli odległość ta = π – występuje nieskończona ilość połączeń łukami kół wielkich.

Kąt sferyczny – kąt zawarty między stycznymi do łuków kół wielkich poprowadzonymi w miejscu przecięcia się tych łuków. Kąt sferyczny jest równy kątowi dwuściennemu utworzonemu przez płaszczyznę kół wielkich.

Trójkąt sferyczny – część sfery, ograniczona łukami trzech kół wielkich.

Wzór sinusowy: $\frac{\text{sina}}{\text{sinA}} = \frac{\text{sinb}}{\text{sinB}} = \frac{\text{sinc}}{\text{sinC}}$

Wzór cosinusowy: cosa = cosb • cosc + sinb • sinc • cosA (dla boków)

−cosA = cosB • cosC − sinB • sinC • cosa (dla kątów)

Wzór tangensowy: ctgA • sinB = ctga • sinc − cosB • cosc (6 wzorów)

Nadmiar sferyczny – eksces sferyczny – suma kątów w trójkącie sferycznym jest zawsze większa od 180^o.

ε  =  (A + B + C)−180^O 

$$\varepsilon = \frac{P_{}}{R^{2}}\ \left( \text{rad} \right)$$

Reguła: Nadmiar sferyczny jest wprost proporcjonalny do pola trójkąta sferycznego i odwrotnie proporcjonalny do kwadratu promienia sfery.

1. UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH NA KULI (DEFINICJE UKŁADÓW, PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH).

Układ współrzędnych geograficznych

Szerokość geograficzna φ – kąt zawarty między normalną do sfery w punkcie P i płaszczyzną równika. Rośnie od równika w kierunku bieguna północnego.

Długość geograficzna λ – kąt dwuścienny zawarty między półpłaszczyzną południka początkowego i półpłaszczyzną południka punktu P. Rośnie od południka początkowego na wschód aż do wartości + 180^o. Punkty leżące na zachód pd południka początkowego mają długości ujemne Az do – 180^o

Równik – koło wielkie, które leże w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu.

Układ współrzędnych prostokątnych prostoliniowych (kartezjańskich)

z  =  Rsinφ

x = Rcosφcosλ

y = Rcosφsinλ

r = Rcosφ

Początek układu umieszczony w punkcie O.

Oś x biegnie wzdłuż krawędzi przecięcia się półpłaszczyzny południka początkowego z płaszczyzną równika. Oś z biegnie w kierunku bieguna północnego. Oś y tworzy z osiami x i z układ prawoskrętny.

Zakładamy, że punkt P leży na sferze. Musi więc spełniać równanie sfery: x² + y² + z² = R²

Jedna wśród współrzędnych x, y, z jest funkcją dwóch pozostałych.

Układ współrzędnych azymutalnych

Współrzędnymi azymutalnymi są azymut α i odległość sferyczna ζ.

Azymut α to kąt sferyczny, którego lewym ramieniem jest północna gałąź południka

punktu głównego G, a prawym ramieniem łuk koła wielkiego GP. Azymut α narasta zgodnie z ruchem wskazówek zegara aż do wartości 360^o.

Azymut jest równy kątowi dwuściennemu utworzonemu przez półpłaszczyznę południka punktu G i płaszczyznę koła wielkiego punktu P. Krawędzią tego kąta dwuściennego jest normalna do sfery w punkcie G. Odległość sferyczna ζ mieści się w granicach od 0^o do 360^o.

ζ = arccos(sinφ₀sinφ+cosφ₀cosφcos(λ−λ₀))

$\alpha = arcsin\left( \frac{\sin{\left( \lambda - \lambda_{0} \right) \bullet cos\varphi}}{\text{sinζ}} \right)$

Układ współrzędnych prostokątnych sferycznych

Podstawą tego układu jest znany południk o znanej wartości λ₀. . Pkt. pomocniczy C powstaje przez przecięcie wybranego południka z kołem wielkim przechodzącym przez dany pkt. P i prostopadłym do wybranego południka. Współrzędnymi prostokątnymi są wielkości g i h wyrażone w mierze kątowej:

h = arcsin(sin(λ−λ₀)cosφ)

$$g = arctg\frac{\text{tgφ}}{\cos\left( \lambda - \lambda_{0} \right)}\ $$

1. GEOMETRIA ELIPSOIDY OBROTOWEJ (PARAMETRY ELIPSOIDY, WSPÓŁRZĘDNE ELIPSOIDALNE

PROSTOKĄTNE PUNKTÓW LEŻĄCYCH NA ELIPSOIDZIE, GŁÓWNE PROMIENIE KRZYWIZNY, ŚREDNIPROMIEŃ KRZYWIZNY, PROMIEŃ RÓWNOLEŻNIKA, OBLICZANIE DŁUGOŚCI POŁUDNIKA, WSPÓŁRZĘDNE IZOMETRYCZNE).

Parametry elipsoidy:

a, b – półosie

$f = \frac{a - b}{a}$ - spłaszczenie

$e^{2} = \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}}$ – kwadrat pierwszego mimośrodu

e² = f(2−f)

$({e')}^{2} = \frac{a^{2} - b^{2}}{b^{2}}$ - kwadrat drugiego mimośrodu

Sposoby określania kształtu elipsoidy:

1. a, b

2. a, f

3. a, e²

Współrzędne elipsoidalne:

Szerokość elipsoidalna B punktu P – kąt zawarty między normalną do elipsoidy w punkcie P, a płaszczyzną równika. Rośnie od równika w kierunku bieguna północnego.

Długość elipsoidalna L punktu P – kąt dwuścienny, utworzony przez półpłaszczyznę południka początkowego i półpłaszczyznę punktu P. Rośnie od południka początkowego w kierunku na wschód do wartości 180^o.

Równanie elipsy:

$$\frac{u^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{b^{2}} = 1\ \land \ u \geq 0$$

z = z(u) = z(B)

$$u = \frac{a\cos B}{\sqrt{1 - e^{2}\operatorname{}B}}$$

$$z = \ \frac{a\ \left( 1 - e^{2} \right)\sin B}{\sqrt{1 - e^{2}\operatorname{}B}}$$

$$\left\{ \begin{matrix} x = OP_{0}\cos L = u\cos L = \frac{a\cos B}{\sqrt{1 - e^{2}\operatorname{}B}}\cos L\ \\ y = OP_{0}\sin L = u\sin L = \ \frac{a\cos B}{\sqrt{1 - e^{2}\operatorname{}B}}\sin L \\ z = \frac{a\ \left( 1 - e^{2} \right)\sin B}{\sqrt{1 - e^{2}\operatorname{}B}}\ \\ \end{matrix} \right.\ $$

Współrzędne X, Y, Z punktu leżącego na elipsoidzie muszą spełniać równanie elipsoidy:

$$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{b^{2}} = 1$$

r = P₂P = OP₀ = u

Przekroje normalne

W danym punkcie P elipsoidy można wystawić tylko jedną normalną do elipsoidy, leżącą w półpłaszczyźnie południka punktu P.

Przekrój normalny w punkcie P – przekrój elipsoidy płaszczyzną przechodzącą przez normalną w punkcie P. Jest on krzywą na elipsoidzie (krzywą płaską, leżącą w płaszczyźnie przechodzącej przez normalną w punkcie P). Np. południk punktu P. Przekroje mają różne promienie krzywizny w punkcie P.

Wyróżniamy dwa przekroje główne. Ich promienie osiągają wartości ekstremalne w punkcie P. Jeden z nich ma promień najkrótszy, drugi – najdłuższy spośród wszystkich promieni przekrojów normalnych w punkcie P. Przekrojem głównym jest przekrój południkowy (południk) o najkrótszym promieniu M. Drugi przekrój główny (poprzeczny) leży w płaszczyźnie prostopadłej do półpłaszczyzny punktu P i ma promień najdłuższy N. Przekroje główne są do siebie prostopadłe.

Promienie wszystkich przekrojów normalnych w punkcie P mieszczą się w granicach od M do N. Wszystkie te promienie należy odkładać na normalnej do elipsoidy w punkcie P.

$$M = \frac{a\ \left( 1 - e^{2} \right)}{\left( 1 - e^{2}\operatorname{}B \right)^{3/2}}$$

$$N = \frac{a}{\left( 1 - e^{2}\operatorname{}B \right)^{1/2}}$$

r = NcosB

Azymut A – kąt sferyczny równy kątowi dwuściennemu, utworzonemu przez półpłaszczyznę południka punktu P i płaszczyznę danego przekroju normalnego (krawędź przecięcia to normalna w punkcie P). Rośnie od północnej gałęzi południka punktu P zgodnie z ruchem wskazówek zegara aż do wartości 360^o.

Wzór Eulera, dotyczący promieni przekrojów normalnych:

$$\frac{1}{R_{A}} = \ \frac{\operatorname{}A}{M} + \frac{\operatorname{}A}{N}$$

Średni promień krzywizny w danym punkcie – stosujemy, gdy zadanie wokół punktu na elipsoidzie chcemy rozwiązać w sposób uproszczony na sferze. Promień sfery będzie równy średniemu promieniowi krzywizny:

$$Q = \ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}{R_{A}\left( A^{\text{rad}} \right)\ \text{dA}} = \sqrt{\text{MN}}$$

$$R_{A} = \ \frac{\text{MN}}{N\operatorname{}A + \ M\operatorname{}A}$$

OBLICZANIE DŁUGOŚCI RÓWNOLEŻNIKA

Równoleżnik – okrąg o promieniu r = N(B)cosB.

Długość równoleżnika: l = 2πr

Długość wycinka: l = (l₂−l₁)^radr

Długość południka:

ds = M db = M(B) dB (zwiększam B o db – nieskończenie małą wartość

=przesuwam się na elipsoidzie o ds.)

s₁₂ =  M_sr B₁₂^rad

• dla s ≤ 60 km:

s₁₂ = M(B_sr) B^rad

B = B₂ − B₁

$$B_{sr} = \ \frac{B_{1} + B_{2}}{2}$$

• dla s < 700 km:

$$s_{12} = \frac{M\left( B_{1} \right) + 4M\left( B_{sr} \right) + M\left( B_{2} \right)}{6}B^{\text{rad}}$$

Współrzędne izometryczne u, v – współrzędne krzywoliniowe, dla których długość elementarnego łuku ds na danej powierzchni można wyrazić wzorem:

ds = μ²(du²+dv²)

gdzie μ² to dowolna niezerowa funkcja u, v. A zatem dla współrzędnych izometrycznych muszą być spełnione warunki:

• $\overset{\overline{}}{E} = \overset{\overline{}}{G} = \mu^{2}$

• $\overset{\overline{}}{F} = 0$.

Czy B, L na elipsoidzie są współrzędnymi izometrycznymi:

ds² = M²dB² + r²dL²

$\overset{\overline{}}{F} = 0$, ale $\overset{\overline{}}{E} \neq \overset{\overline{}}{G}$, M ≠ r. Współrzędne B, L nie są współrzędnymi izometrycznymi.

1. OGÓLNA TEORIA ODWZOROWAŃ KARTOGRAFICZNYCH (DEFINICJA ODWZOROWANIA, FUNKCJE ODWZOROWAWCZE W OGÓLNEJ POSTACI, SKALA DŁUGOŚCI M – DEFINICJA, OD CZEGO ZALEŻY SKALA DŁUGOŚCI, SKALA DŁUGOŚCI W KIERUNKU POŁUDNIKÓW I RÓWNOLEŻNIKÓW, WYKORZYSTANIE SKALI DŁUGOŚCI DO REDUKOWANIA DŁUGOŚCI SKOŃCZONYCH, WARUNKI RÓWNOKĄTNOŚCI ODWZOROWANIA, WARUNEK RÓWNOPOLOWOŚCI ODWZOROWANIA, PIERWSZE I DRUGIE TWIERDZENIE TISSOTA).

Odwzorowanie jednej powierzchni na drugą – każda wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość punktowa między powierzchnią nazywaną oryginałem i powierzchnią nazywaną obrazem. Jednemu punktowi na oryginale odpowiada jeden i tylko jeden punkt na obrazie (jednemu punktowi na obrazie odpowiada jeden i tylko jeden punkt na oryginale). Zwykle każde odwzorowanie ma przyporządkowane odwzorowanie odwrotne.

Funkcje odwzorowawcze na przykładzie odwzorowania elipsoidy na sferę

oryginał: elipsoida, parametry (B, L)

obraz: sfera, parametry (φ, λ)

Funkcje odwzorowawcze – definiują sposób obliczania parametrów na obrazie jako funkcji parametrów na oryginale (przy znanych parametrach na oryginale B,  L chcemy obliczyć wartości parametrów na obrazie φ,  λ).

$$\left\{ \begin{matrix} \varphi = \varphi\left( B,\ L \right) \\ \lambda = \lambda\left( B,\ L \right) \\ \end{matrix} \right.\ $$

ELEMENTARNA SKALA DŁUGOŚCI

Elementarny – nieskończenie mały lub dotyczący wielkości nieskończenie małych.

Jeżeli oryginałem będzie elipsoida lub sfera, a obrazem płaszczyzna lub jej część, to muszą wystąpić deformacje figur przenoszonych z oryginału na obraz. Opisując te deformacje, posługiwać się będziemy m. in. elementarną skalą długości m – iloraz długości nieskończenie małego łuku na obrazie ($d\overset{\overline{}}{s}$) do długości odpowiadającego mu łuku na oryginale (ds):

$$m = \ \frac{d\overset{\overline{}}{s}}{\text{ds}}$$

Chcielibyśmy, aby m = 1 lub była zbliżona do jedności, ale taka sytuacja występuje w niektórych odwzorowaniach w wybranych kierunkach.

m=m(f.odwzorowawcze, wspolrzedne, kierunek)

W odwzorowaniach równokątnych skala długości m nie zależy od kierunku – jest funkcją punktu.

$$m = \left( m_{B},\ m_{L},\ \overset{\overline{}}{\Theta},\ A \right)$$

Zniekształcenie długości:

z_m = m − 1

Wykorzystanie elementarnej skali długości:

1. badanie istniejących odwzorowań

2. konstruowanie odwzorowań spełniających różne warunki, opisanych za pomocą skali m

3. redukowanie długości przy przejściu z oryginału na obraz (w geodezji).

Skala długości w kierunku południków:

$$m_{B} = \ \frac{d{\overset{\overline{}}{s}}_{1}}{ds_{1}} = \ \frac{\sqrt{E}\ \text{dB}}{M\ \text{dB}} = \ \frac{\sqrt{E}}{M}$$

$$d{{\overset{\overline{}}{s}}_{2}}^{2} = G\ dL^{2}\ \Rightarrow \ d{\overset{\overline{}}{s}}_{2} = \ \sqrt{G}\ \text{dL}$$

Skala długości w kierunku równoleżników:

$$m_{L} = \ \frac{d{\overset{\overline{}}{s}}_{2}}{ds_{2}} = \ \frac{\sqrt{G}\ \text{dL}}{r\ \text{dL}} = \ \frac{\sqrt{G}}{r} = \ \frac{\sqrt{G}}{N\cos B}$$

Odwzorowanie równokątne – gdy w każdym punkcie odwzorowanego obszaru dowolny azymut A odwzorowuje się bez zniekształceń ($\overset{\overline{}}{A} \equiv A$). $m_{B} = m_{L}\ \land \ \overset{\overline{}}{\Theta} = 90^{o}$. Nie ma kierunków głównych.

Warunki równokątności odwzorowania:

• F = 0

$$\frac{E}{H}\frac{r}{M} = 1$$

$$\text{ctg\ }\overset{\overline{}}{A} = \ \frac{m_{B}}{m_{L}\sin\overset{\overline{}}{\Theta}}\ \text{ctg}\ A + \text{ctg\ }\overset{\overline{}}{\Theta}$$

• obrazy południków przecinają się z obrazami równoleżników pod kątem prostym – $\overset{\overline{}}{\Theta} = \ 90^{o}$

w każdym punkcie skala w kierunku południka musi być równa skali w kierunku równoleżnika – m_B = m_L

• $\frac{\partial x}{\partial L} = \ - r\frac{\partial y}{\partial B}$

$\frac{\partial y}{\partial L} = \ + \frac{r}{M}\frac{\partial x}{\partial B}$.

Odwzorowanie równopolowe – gdy w każdym punkcie odwzorowywanego obszaru skala pól p = 1. Warunek:

$$p = 1\ \Leftrightarrow \ m_{B}m_{L}\sin\overset{\overline{}}{\Theta} = 1$$

$$\overset{\overline{}}{\Theta} = \ 90^{o} \Leftrightarrow \text{\ \ }m_{B}m_{L} = 1\ \Leftrightarrow \ m_{L} = \frac{1}{m_{B}}$$

I twierdzenie Tissota – w każdym regularnym odwzorowaniu, które nie jest odwzorowaniem równokątnym, istnieje na oryginale dokładnie jedna siatka ortogonalnych linii parametrycznych, której obrazem jest także siatka ortogonalna. Jeśli F = 0, to siatka południków i równoleżników jest tą siatką, o której mówi I twierdzenie Tissota. Wtedy kierunki południków i równoleżników to kierunki główne.

II twierdzenie Tissota – obrazem graficznym skal długości we wszystkich kierunkach wyprowadzonych z danego punktu jest elipsa, której półosiami są skale długości w kierunkach głównych.

1. KLASYFIKACJA ODWZOROWAŃ. WSPÓLNE CECHY ODWZOROWAŃ (KSZTAŁT SIATKI KARTOGRAFICZNEJ, POSTAĆ FUNKCJI ODWZOROWAWCZYCH) NALEŻĄCYCH DO RODZIN ODWZOROWAŃ AZYMUTALNYCH NORMALNYCH, WALCOWYCH NORMALNYCH, STOŻKOWYCH NORMALNYCH.

Podział:

1. cechy użytkowe (równokątność, równopolowość) – równokątne, równopolowe i dowolne (wyróżniamy jeszcze równoodległościowe w jednym kierunku, np. w kierunku południków)

2. postać funkcji odwzorowawczych i wynikający z nich kształt siatki kartograficznej – rodzina odwzorowań azymutalnych (bezpośrednie rzutowanie na płaszczyznę), walcowych (na powierzchnię boczną walca) i stożkowych (na powierzchnię boczną stożka). Prócz tego są jeszcze rodziny odwzorowań pseudoazymutalnych, pseudowalcowych, pseudostożkowych, wielostożkowych i kolistych. W każdej z tych rodzin wyróżniamy odwzorowania normalne, ukośne i poprzeczne. W geodezji najczęściej azymutalne i walcowe.

ODWZOROWANIE AZYMUTALNE NORMALNE SFERY

Płaszczyzna rzutowania styczna w biegunie, prostopadła do osi obrotu.

Obrazem równoleżnika przechodzącego przez P jest okrąg o promieniu ρ, zatoczony wokół obrazu bieguna. Obrazem południka przechodzącego przez P jest półprosta zaczynająca się w obrazie bieguna.

Współrzędne biegunowe δ, ρ. Początek układu – obraz bieguna. Oś podstawowa – λ = 0. Funkcje odwzorowawcze:

$$\left\{ \begin{matrix} \delta = \lambda \\ \rho = \rho\left( \varphi \right) \\ \end{matrix} \right.\ $$

We wszystkich odwzorowaniach tej rodziny δ = λ. Poszczególne odwzorowania tej rodziny różnią się tylko postacią funkcji ρ = ρ(φ), która wiąże odległość ρ z szerokością φ.

$$\frac{\rho}{R + D} = \frac{r}{W + D}\ \Rightarrow \ \rho = \left( R + D \right)\frac{r}{W + D}$$

r = Rcosφ

w = Rsinφ

$\rho = \left( R + D \right)\frac{R\cos\varphi}{R\sin\varphi + \ D}$ – ogólna postać wzoru na ρ w odwzorowaniach uzyskanych przez rzutowanie

We wszystkich odwzorowaniach tej rodziny F = 0 dla każdego z odwzorowanych punktów, zatem siatka południków i równoleżników to siatka, o której mówi I twierdzenie Tissota. Południki i równoleżniki określają kierunki główne odwzorowania.

ODWZOROWANIA WALCOWE NORMALNE

$$\left\{ \begin{matrix} x = x\left( \varphi \right) \\ y = C\lambda \\ \end{matrix} \right.\ $$

dla walca stycznego: C = R  ⇒ y = Rλ

dla walca siecznego: C = r₀ = Rcosφ₀

r₀ – promień równoleżnika sieczności

Poszczególne odwzorowania należące do tej rodziny różnią się postacią funkcji x = x(φ).

$$E = \left( \frac{\partial x}{\partial\varphi} \right)^{2}$$

F = 0

$$G = \left( \frac{\partial y}{\partial\lambda} \right)^{2} = R^{2}$$

F = 0, a zatem krzywymi głównymi w tej rodzinie odwzorowań są południki i równoleżniki.

$$m_{\varphi} = \frac{1}{R}\frac{\partial x}{\partial\varphi}$$

$$m_{\lambda} = \frac{1}{\cos\varphi}$$

we wszystkich odwzorowaniach tej rodziny $m_{\lambda} = \frac{1}{\cos\varphi}$

ODWZOROWANIE STOŻKOWE NORMALNE?

1. ODWZOROWANIA ELIPSOIDY NA POWIERZCHNIĘ KULI. ODWZOROWANIE RÓWNOKĄTNE CAŁEJ ELIPSOIDY NA CAŁĄ POW. KULI.

ODWZOROWANIE ELIPSOIDY NA SFERĘ

Odwzorowanie elipsoidy na sferę:

1. R₁ – objętość sfery ma być równa objętości elipsoidy

$$\frac{4}{3}\pi{R_{1}}^{3} = \frac{4}{3}\pi ab\ \Rightarrow \ R_{1} = \sqrt[3]{a^{2}b} = a\left( 1 - \frac{1}{6}e^{2} - \frac{5}{72}e^{4} - \frac{55}{1296}e^{6} - \ \ldots \right)$$

1. R₂ – pole powierzchni sfery jest takie samo, jak pole powierzchni elipsoidy

$$R_{2} = a\left( 1 - \frac{1}{6}e^{2} - \frac{17}{360}e^{4} - \frac{67}{3024}e^{6} - \ \ldots \right)$$

1. R₃ – długość południka na sferze ma być równa długości południka na elipsoidzie

$$R_{3} = a\left( 1 - \frac{1}{4}e^{2} - \frac{3}{64}e^{4} - \frac{5}{256}e^{6} - \frac{175}{16384}e^{8} - \frac{441}{65536}e^{10} - \ \ldots \right)$$

Dla elipsoidy GRS80:

R₁ = 6371000, 790 m

R₂ = 6371007, 181 m

R₃ = 6367449, 14577 m

W geodezji dodatkowo R₄:

$$R_{4} = Q\left( B_{0} \right) = \sqrt{M\left( B_{0} \right)N\left( B_{0} \right)}$$

Zakładamy, że promień sfery jest równy średniemu promieniowi krzywizny.

Elementarny czworobok Elementarny czworobok
krzywoliniowy na elipsoidzie krzywoliniowy na sferze

(oryginał): (obraz):

Kąt $\Theta = \overset{\overline{}}{\Theta} = 90^{o}$, zatem krzywymi głównymi w przypadku odwzorowania elipsoidy na sferę będą południki i równoleżniki. Odwzorowanie przeprowadzimy w ten sposób, aby południki odwzorowały się na południki, a równoleżniki na równoleżniki.

$$\left\{ \begin{matrix} \lambda = \lambda\left( L \right) \\ \varphi = \varphi\left( B \right) \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$m_{B} = \frac{d{\overset{\overline{}}{s}}_{1}}{ds_{1}} = \frac{\text{R\ dφ}}{\text{M\ dB}}$$

$$m_{L} = \frac{d{\overset{\overline{}}{s}}_{2}}{ds_{2}} = \frac{R\cos\varphi\text{\ dλ}}{M\cos B\text{\ dL}}$$

Odwzorowanie równokątne (Lagrange’a):

I warunek równokątności jest spełniony ($\overset{\overline{}}{\Theta} = 90^{o}$).

II warunek: m_B = m_L w każdym punkcie obszaru.

$$\frac{\text{R\ dφ}}{\text{M\ dB}} = \frac{R\cos\varphi\text{\ dλ}}{M\cos B\text{\ dL}}$$

$$\frac{\text{dφ}}{\cos\varphi} = \frac{\text{M\ dB}}{N\cos B}\left( \frac{\text{dλ}}{\text{dL}} \right)$$

φ może zależeć od B, więc $\frac{\text{dλ}}{\text{dL}}$ musi być stałą:

$$\frac{\text{dλ}}{\text{dL}} = \alpha\ \Rightarrow d\lambda = \ \alpha\ dL\ \Rightarrow \ \lambda = \alpha L + C_{\lambda}$$

dla L = 0 chcemy otrzymać λ = 0:

0 = α • 0 + C_λ  ⇒  C_λ = 0  ⇒  λ = αL

$$\frac{\text{dφ}}{\cos\varphi} = \alpha\frac{\text{M\ dB}}{N\cos B}$$

$$\ln\left\lbrack \text{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2} \right) \right\rbrack = \alpha\ln\left\lbrack \text{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{B}{2} \right)\left( \frac{1 - e\sin B}{1 + e\sin B} \right)^{e/2} \right\rbrack - \ln k = \ln\left\lbrack \frac{1}{k}\text{tg}^{\alpha}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{B}{2} \right)\left( \frac{1 - e\sin B}{1 + e\sin B} \right)^{\alpha e/2} \right\rbrack$$

$$\text{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2} \right) = \ \frac{1}{k}\text{tg}^{\alpha}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{B}{2} \right)\left( \frac{1 - e\sin B}{1 + e\sin B} \right)^{\alpha e/2}$$

e – mimośród elipsoidy

Mamy dwie stałe: k, α. Jeżeli przyjmiemy, że α = 1, to cała elipsoida będzie odwzorowana na całą sferę (cały zakres L przechodzi na cały zakres λ). Dla α < 1 kawałek sfery nie będzie pokryty obrazem. Dla α > 1 dwa kawałki się na siebie nałożą w okolicach antygreenwich.

Przyjmując k = 1, zapewniamy, że równik elipsoidy odwzoruje się na równik sfery. Po przyjęciu α = 1 i k = 1 odwzorowanie jest równokątne:

$$\left\{ \begin{matrix} \lambda = L \\ \text{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2} \right) = \text{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{B}{2} \right)\left( \frac{1 - e\sin B}{1 + e\sin B} \right)^{e/2} \\ \end{matrix} \right.\ $$

φ = B + a₂sin2B + a₄sin4B + a₆sin6B + a₈sin8B

Dla danej elipsoidy wartości a_n mają określone wartości. Dla GRS80:

φ = B − 692, 339092^″sin2B + 0, 968325^″sin4B − 0, 001690sin6B + 0, 000003^″sin8B

(φ, λ) →  (B, L):

$$\left\{ \begin{matrix} L = \lambda \\ B = \varphi + {692,338442}^{''}\sin{2\varphi} + {1,355546}^{''}\sin{4\varphi} + 0,003640\sin{6\varphi} + {0,000011}^{''}\sin{8B} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Przyjmujemy, że promień sfery wynosi R₃.

Skala długości:

$$m = \frac{R\cos\varphi}{N\cos B}$$

Skala długości m zależy tylko od B, a więc równoleżniki są liniami jednakowych skal długości.

Istnieje odwzorowanie równopolowe elipsoidy na sferę:

$$\left\{ \begin{matrix} \lambda = \lambda\left( L \right) \\ \varphi = \varphi\left( B \right) \\ \end{matrix} \right.\ $$

W odwzorowaniu równopolowym liniami jednakowych skal długości m są także równoleżniki.

1. ODWZOROWANIA AZYMUTALNE NORMALNE (OGÓLNA POSTAĆ FUNKCJI ODWZOROWAWCZYCH, OGÓLNY KSZTAŁT SIATKI KARTOGRAFICZNEJ, KIERUNKI GŁÓWNE, SKALE DŁUGOŚCI W KIERUNKACH GŁÓWNYCH). WYPROWADZENIE FUNKCJI ODWZOROWAWCZYCH ODWZOROWANIA AZYMUTALNEGO NORMALNEGO RÓWNOKĄTNEGO, RÓWNOPOLOWEGO I RÓWNOODLEGŁOŚCIOWYCH.

ODWZOROWANIE AZYMUTALNE NORMALNE SFERY

Płaszczyzna rzutowania styczna w biegunie, prostopadła do osi obrotu.

Obrazem równoleżnika przechodzącego przez P jest okrąg o promieniu ρ, zatoczony wokół obrazu bieguna. Obrazem południka przechodzącego przez P jest półprosta zaczynająca się w obrazie bieguna.

Współrzędne biegunowe δ, ρ. Początek układu – obraz bieguna. Oś podstawowa – λ = 0. Funkcje odwzorowawcze:

$$\left\{ \begin{matrix} \delta = \lambda \\ \rho = \rho\left( \varphi \right) \\ \end{matrix} \right.\ $$

We wszystkich odwzorowaniach tej rodziny δ = λ. Poszczególne odwzorowania tej rodziny różnią się tylko postacią funkcji ρ = ρ(φ), która wiąże odległość ρ z szerokością φ.

$$\frac{\rho}{R + D} = \frac{r}{W + D}\ \Rightarrow \ \rho = \left( R + D \right)\frac{r}{W + D}$$

r = Rcosφ

w = Rsinφ

$\rho = \left( R + D \right)\frac{R\cos\varphi}{R\sin\varphi + \ D}$ – ogólna postać wzoru na ρ w odwzorowaniach uzyskanych przez rzutowanie

D (położenie środka rzutów S) decyduje o charakterze odwzorowania – szczególne przypadki wyboru S:

1. gnomoniczne – środek rzutów w środku sfery:

ρ = r ctg φ

Nie ma innych szczególnych cech. Jest odwzorowaniem najprostszym.

1. stereograficzne – środek rzutów w przeciwległym biegunie; odwzorowanie równokątne:

$\rho = 2R\ \text{tg}\left( 45^{o} - \frac{\varphi}{2} \right)$

D = R

1. ortograficzne – środek rzutów na osi obrotu w nieskończoności; odwzorowanie równoodległościowe w kierunku równoleżników:

ρ = r = Rcosφ

$$E_{\varphi} = \left( \frac{\partial\rho}{\partial\varphi} \right)^{2} \Rightarrow \ m_{\varphi} = \frac{1}{R}\sqrt{\left( \frac{\partial\rho}{\partial\varphi} \right)^{2}} = - \frac{1}{R}\frac{\partial\rho}{\partial\varphi}$$

ρ_gn = R ctgφ

$$\rho_{\text{st}} = 2R\ \text{tg}\left( 45^{o} - \frac{\varphi}{2} \right)$$

ρ_or = Rcosφ

ρ_gn > ρ_st > ρ_or

We wszystkich rozważanych dotychczas przypadkach funkcja ρ(φ) była funkcją malejącą. Teraz zastąpimy szerokość φ odległością biegunową σ:

$\left\{ \begin{matrix} \delta = \lambda \\ \rho = \rho\left( \sigma \right) \\ \end{matrix} \right.\ $

Układ współrzędnych prostokątnych:

$$\left\{ \begin{matrix} x = \rho\left( \sigma \right)\cos\lambda \\ y = \rho\left( \sigma \right)\sin\lambda \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$E = \left( \frac{\partial\rho}{\partial\sigma} \right)^{2}$$

F = 0

G = ρ²

We wszystkich odwzorowaniach tej rodziny F = 0 dla każdego z odwzorowanych punktów, zatem siatka południków i równoleżników to siatka, o której mówi I twierdzenie Tissota. Południki i równoleżniki określają kierunki główne odwzorowania.

Skala długości w kierunku południków:

$$m_{\sigma} = \ \frac{1}{R}\frac{\partial\rho}{\partial\sigma}$$

Skala długości w kierunku równoleżników:

$$m_{\lambda} = \ \frac{\rho\left( \sigma \right)}{R\sin\sigma}$$

Są to skale długości w kierunkach głównych.

Odwzorowania równoodległościowe w kierunku równoleżników:

Warunek: m_λ =  1 w każdym punkcie, niezależnie od współrzędnych.

$$\frac{\rho\left( \sigma \right)}{R\sin\sigma} = 1\ \Rightarrow \ \rho\left( \sigma \right) = R\sin\sigma$$

$$\frac{\rho\left( \varphi \right)}{R\cos\varphi} = 1\ \Rightarrow \ \rho\left( \varphi \right) = R\cos\varphi$$

Odwzorowanie równoodległościowe w kierunku południków:

Warunek: m_φ = 1.

$$\frac{1}{R}\frac{\partial\rho}{\partial\sigma} = 1\ \Rightarrow \ \partial\rho = R\ \partial\sigma\ \Rightarrow \ \rho = R\sigma + C$$

dla obrazu bieguna σ = 0 otrzymamy ρ = 0:

0 = R • 0 + C  ⇒ C = 0

ρ = Rσ

Odwzorowanie równokątne (Merkatora):

Pierwszy warunek równokątności jest spełniony (Θ = 90^o, bo F = 0) we wszystkich odwzorowaniach tej rodziny.

Drugi warunek: m_σ = m_λ.

$$\frac{1}{R}\frac{\partial\rho}{\partial\sigma} = \ \frac{\rho}{R\sin\sigma}$$

$$\frac{\partial\rho}{\rho} = \frac{\partial\sigma}{\sin\sigma}$$

$$\ln{\rho = \ln\left( \text{tg}\ \frac{\sigma}{2} \right)} + \ln C = \ln\left( \text{C\ }\text{tg}\frac{\sigma}{2} \right)$$

$$\rho = C\ \text{tg}\ \frac{\sigma}{2}$$

$$m = m_{\sigma} = \frac{1}{R}\text{C\ }\frac{1}{\operatorname{}\frac{\sigma}{2}}\frac{1}{2}$$

$$m = m_{\lambda} = C\ \text{tg}\ \frac{\sigma}{2}\frac{1}{R\sin\sigma}$$

$$m = \frac{C\sin\frac{\sigma}{2}}{R\cos\frac{\sigma}{2}\ 2\sin\frac{\sigma}{2}\cos\frac{\sigma}{2}} = \frac{C}{2R\operatorname{}\frac{\sigma}{2}}$$

Stawiamy warunek: skala długości w biegunie powinna wynosić 1 (dla σ = 0 chcemy otrzymać m = 1).

$$m_{\sigma = 0} = \frac{C}{2R} = 1\ \Rightarrow C = 2R$$

$$\rho = 2R\ \text{tg}\frac{\sigma}{2}\ \land \ \delta = \lambda$$

$$\sigma = 90^{o} - \varphi\ \Rightarrow \ \frac{\sigma}{2} = 45^{o} - \frac{\varphi}{2}$$

$$\rho = 2R\ \text{tg}\left( 45^{o} - \frac{\varphi}{2} \right)$$

Potwierdziliśmy, że odwzorowanie stereograficzne jest odwzorowaniem równokątnym.

Odwzorowanie równopolowe:

Warunek: p = 1.

m_σm_λ = 1

$$\frac{1}{R}\frac{\partial\rho}{\partial\sigma}\ \frac{\rho}{R\sin\sigma} = 1$$

ρ ∂ρ = R²sinσ ∂σ

1. ODWZOROWANIA WALCOWE NORMALNE (OGÓLNA POSTAĆ FUNKCJI ODWZOROWAWCZYCH, OGÓLNY KSZTAŁT SIATKI KARTOGRAFICZNEJ, KIERUNKI GŁÓWNE, SKALE DŁUGOŚCI W KIERUNKACH GŁÓWNYCH). ODWZOROWANIE WALCOWE POPRZECZNE RÓWNOKĄTNE (ZAŁOŻENIA, KSZTAŁT SIATKI KARTOGRAFICZNEJ).

ODWZOROWANIA WALCOWE NORMALNE

$$\left\{ \begin{matrix} x = x\left( \varphi \right) \\ y = C\lambda \\ \end{matrix} \right.\ $$

dla walca stycznego: C = R  ⇒ y = Rλ

dla walca siecznego: C = r₀ = Rcosφ₀

r₀ – promień równoleżnika sieczności

Poszczególne odwzorowania należące do tej rodziny różnią się postacią funkcji x = x(φ).

$$E = \left( \frac{\partial x}{\partial\varphi} \right)^{2}$$

F = 0

$$G = \left( \frac{\partial y}{\partial\lambda} \right)^{2} = R^{2}$$

F = 0, a zatem krzywymi głównymi w tej rodzinie odwzorowań są południki i równoleżniki.

$$m_{\varphi} = \frac{1}{R}\frac{\partial x}{\partial\varphi}$$

$$m_{\lambda} = \frac{1}{\cos\varphi}$$

we wszystkich odwzorowaniach tej rodziny $m_{\lambda} = \frac{1}{\cos\varphi}$

Odwzorowanie równoodległościowe w kierunku południków:

m_φ = 1

$$\frac{1}{R}\frac{\partial x}{\partial\varphi} = 1\ \Rightarrow \ \partial x = R\ \partial\varphi\ \Rightarrow x = R\varphi + C_{x}$$

dla φ = 0 chcemy otrzymać x = 0 (równik ma się odwzorować na osi Y):

$$0 = R \bullet 0 + C_{x} \Rightarrow \ C_{x} = 0\ \Rightarrow \ \left\{ \begin{matrix} x = R\varphi \\ y = R\lambda \\ \end{matrix} \right.\ $$

W tym odwzorowaniu obrazem bieguna jest odcinek (jest ono regularne dla wszystkich punktów sfery z wyjątkiem bieguna).

m_λ = 1

$$\frac{1}{\cos\varphi} = 1\ \Rightarrow \cos\varphi = 1\ \Rightarrow \ \varphi = 0$$

Równik odwzorowuje się bez zniekształceń. Odwzorowania równoodległościowego w kierunku równoleżników nie ma.

Odwzorowanie równokątne:

I warunek równokątności jest spełniony (obrazy równoleżników przecinają się z obrazami południków pod kątem prostym).

II warunek: m_φ = m_λ w każdym punkcie

$$\frac{1}{R}\frac{\partial x}{\partial\varphi} = \frac{1}{\cos\varphi}$$

$$\partial x = R\ \frac{\partial\varphi}{\cos\varphi}$$

$$x = R\ln\left\lbrack \text{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2} \right) \right\rbrack + C_{x}$$

chcemy dla φ = 0 dostać x = 0:

$$0 = R\ln\left\lbrack \text{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{0}{2} \right) \right\rbrack + C_{x}\ \Rightarrow \ C_{x} = 0$$

$$\left\{ \begin{matrix} x = R\ln\left\lbrack \text{tg\ }\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2} \right) \right\rbrack \\ y = R\lambda \\ \end{matrix} \right.\ $$

Dla φ = 90^o x = ∞.

Loksodroma – krzywa na sferze, dla której w każdym punkcie azymut α jest taki sami (stały). Ułatwia ona nawigowanie, bo na mapie w odwzorowaniu walcowym normalnym równokątnym jej obrazem jest odcinek linii prostej.

Ortodroma – najkrótsze połączenie dwóch punktów na sferze (wycinek łuku koła wielkiego), odwzorowujące się jako krzywa.

W odwzorowaniu tym $m = m_{\lambda} = \frac{1}{\cos\varphi}$ w dowolnym punkcie. To odwzorowanie nie jest regularne w przypadku bieguna.

1. ODWZOROWANIE GAUSSA-KRÜGERA (ZAŁOŻENIA, KSZTAŁT SIATKI KARTOGRAFICZNEJ WRAZ Z UKŁADEM WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH, RÓŻNE POSTACI FUNKCJI ODWZOROWAWCZYCH, SKALA DŁUGOŚCI – WZÓR I OMÓWIENIE, MODYFIKACJE TEGO ODWZOROWANIA).

Odwzorowanie Gaussa–Krügera:

• stosowane w Polsce do tworzenia układów płaskich x, y,

• odwzorowanie równokątne elipsoidy obrotowej,

• należy do rodziny walcowych poprzecznych.

Trzy założenia:

• jest to odwzorowanie równokątne,

• obrazem wybranek południka o długości geodezyjnej L₀ jest odcinek linii prostej,

• południk środkowy odwzorowuje się bez zniekształceń. Siatka kartograficzna

Funkcje odwzorowawcze:

$$x = S + \frac{l^{2}}{2}NsinBcosB + \ldots$$

y = l • NcosB + …

S – odległość punktu od równika,

N – promień przekroju poprzecznego,

l = L-L₀ (rad)

x = (a₀₀+a₀₁b+a₀₂b²+a₀₃b³+…) + (a₂₀+a₂₁ b+a₂₂ b²+a₂₃ b³+⋯)l² + …

y = (a₁₀+a₁₁ b+a₁₂ b²+a₁₃ b³+⋯)l + (a₃₀+a₃₁  b+a₃₂ b²+a₃₃ b³+⋯)l³ + …

l = L-L₀

b = B-B₀

Południk środkowy o długości geodezyjnej L₀ powinien przechodzić przez środek odwzorowanego obszaru. Zniekształcenie długości i pól rosną wraz z oddalaniem się od południka środkowego. Aby ograniczyć zniekształcenia odwzorowania stosujemy wąskie pasy południkowe. Stosując ten rodzaj odwzorowania do tworzenia map wielkoskalowych należy wykorzystywać wąskie pasy południkowe. Dla map średnioskalowych stosuje się pasy szersze, bo w przypadku map średnioskalowych akceptujemy większe zniekształcenia. Każdy pas ma własny układ współrzędnych x, y. W Polsce stosuje się pasy 3^o_.

Zbieżność południków w odwzorowaniu Gaussa-Krugera.

Zbieżnością południków w odwzorowaniu nazywamy kąt zawarty między styczną do obrazu południka w danym punkcie a linią prostą przechodzącą przez ten punkt równolegle do osi x.

Zbieżność południków γ mierzona jest od stycznej do obrazu południka w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. We wszystkich punktach odwzorowania G-K, leżących na północ od obrazu równika i na wschód od obrazu południka jest dodatnia.

Odwzorowanie G-K jako rzut potrójny.

Odwzorowanie to składa się z trzech kolejnych odwzorowań:

• odwzorowania Lagrange’a (B, L) →(φ, λ),

• odwzorowanie poprzeczne Merkatora (φ, λ) → (x_TM, y_TM),

• odwzorowanie płaszczyzny w odwzorowaniu TM na płaszczyznę w odwzorowaniu G-K.

Skala długości:

$$\mathbf{m = 1 +}\frac{\mathbf{y}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{R}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{y}^{\mathbf{4}}}{\mathbf{24}\mathbf{R}^{\mathbf{4}}}$$

R – średni promień krzywizny w danym punkcie na elipsoidzie.

Na południku środkowym (y=0) skala m=1. Poza południkiem środkowym m>1. Odcinki na obrazie są dłuższe niż odcinki na oryginale. Liniami jednakowych skal długości są linie równoległe do osi x.

Modyfikacja odwzorowania Gaussa-Krugera

Zastosowano współczynnik m₀<1. Jest to skala długości na południku środkowym w zmodyfikowanym odwzorowaniu. Stosując m₀ nieco mniejsze od 1 zapewniamy mniejszy rozkład zniekształceń.

Zastosowano stałą dodawania Y₀, aby uniknąć ujemnych współczynników Y:

X = X₀ + m₀x

Y = Y₀ + m₀y

x, y – współrzędne w odwzor. G-K,

X, Y – współrzędne w odwzor. zmodyfikowanym,

$$y = \frac{Y - Y_{0}}{m_{0}}$$

$$m_{0} = \frac{1}{srednia\ skala\ m\ w\ odwzorowaniu\ klasycznym\ GK}$$

$$m_{0} = \frac{2}{1 + m_{\max}}$$

Skala długości w odwzorowaniu zmodyfikowanym:

m_xy = m₀m

m – skala długości w klasycznym odwzorowaniu

$$m_{\text{xy}} = m_{0}\left( 1 + \frac{y^{2}}{2R^{2}} + \frac{y^{4}}{24R^{4}} \right) = m_{0} + \frac{\left( Y - Y_{0} \right)^{2}}{2m_{0}R^{2}} + \frac{\left( Y - Y_{0} \right)^{4}}{24m_{0}^{3}R^{4}}$$

1. ODWZOROWANIE QUASI-STEREOGRAFICZNE (ZAŁOŻENIA, KSZTAŁT SIATKI KARTOGRAFICZNEJ WRAZ Z UKŁADEM WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH, FUNKCJE ODWZOROWAWCZE, SKALA DŁUGOŚCI – WZÓR I OMÓWIENIE, MODYFIKACJE TEGO ODWZOROWANIA).

Odwzorowanie quasi-stereograficzne (odwzorowanie Roussilha)

• odwzorowanie elipsoidy,

• ukośne azymutalne,

• równokątne.

Założenia:

• odwzorowanie jest równokątne,

• obrazem południka przechodzącego przez wybrany punkt P₀ jest odcinek linii prostej,

• współrzędna x_m punktu leżącego na południku środkowym wyraża się następującym wzorem:

$$x_{m} = 2R_{0}\text{tg}\frac{s}{2R_{0}}$$

s = S − S₀

R₀ – średni promień krzywizny w punkcie P₀

Skala długości w punkcie P­₀ jest równa 1, a im dalej od P₀ tym jest większa. Zatem punkt P₀ będziemy umieszczać w środku odwzorowywanego obszaru.
Funkcje odwzorowawcze:

I

$$x = N_{0}\left( 1 - \eta_{0}^{2} + \eta_{0}^{4} - \eta_{0}^{6} \right)b + \frac{3}{2}N_{0}t_{0}\left( \eta_{0}^{2} - 2\eta_{0}^{4} \right)b^{2} + \ldots$$

y = (1−η₀²+η₀⁴−η₀⁶)l − (η₀²−2η₀⁴)bl + …

b = B-B₀

l = L-L₀

η² = (e’)²cos²B

t₀ = tgB₀

II

x = (a₀₁b+a₀₂b²+a₀₃b³+a₀₄b⁴+a₀₅b⁵) + (a₂₀+a₂₁ b+a₂₂ b²+a₂₃ b³)l² + (a₄₀+a₄₁b)l⁴

y = (a₁₀+a₁₁ b+a₁₂ b²+a₁₃ b³+a₁₄b⁴)l + (a₃₀+a₃₁  b+a₃₂ b²)l³ + a₅₀l⁵

III

x = (w₀₁s+w₀₂s²+w₀₃s³+…) + (w₂₀+w₂₁s+w₂₂s³+…)u² + (w₄₀+w₄₁s+…)u⁴ + …

y = (w₁₀+w₁₁s+w₁₂s²+…)u + (w₃₀+w₃₁s+w₃₂s³+…)u³ + (w₅₀+w₅₁s+…)u⁵ + …

IV – jakieś dziwne coś

Skala długości

$$m = 1 + \frac{x^{2} + y^{2}}{4R_{0}^{2}}$$

Liniami jednakowych skal długości będą okręgi współśrodkowe, których środek znajduje się w obrazie punktu P­₀.

W tym odwzorowaniu występuje zjawisko zbieżności południków (podobnie jak w GK).

Modyfikacja odwzorowania quasi-stereograficznego.

X, Y – współrzędne po modyfikacji

x, y – typowe współrzędne w odwzor. quasi-stereograficznym

X = X₀ + m₀x

Y = Y₀ + m₀y

m₀ - skala długości w pkt. głównym po modyfikacji

$$x = \frac{X - X_{0}}{m_{0}}$$

$$y = \frac{Y - Y_{0}}{m_{0}}$$

Wzór na skale długości w odwzor. zmodyfikowanym:

$$m_{\text{xy}} = m_{0}m = m_{0}\left( \frac{\left( X - X_{0} \right)^{2} + \left( Y - Y_{0} \right)^{2}}{4m_{0}} \right)\text{\ \ \ }$$

$m_{0} = \frac{2}{1 + m_{\text{ρmax}}}$; m₀ – dopasowane do wielkości obszaru.

1. UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH PŁASKICH STOSOWANE W POLSCE (1942, 1965, GUGIK80, 1992, 2000). JAKĄ SIEĆ GEODEZYJNĄ STOSOWANO, JAKĄ ELIPSOIDĘ ODNIESIENIA, JAKIE ODWZOROWANIE, JAKI BYŁ ZASIĘG PASÓW/STREF, JAKIE BYŁY/SĄ DŁUGOŚCI POŁUDNIKÓW ŚRODKOWYCH KOLEJNYCH PASÓW W PRZYPADKU STOSOWANIA ODWZOROWANIA GAUSSA-KRÜGERA, ILE WYNOSIŁA SKALA DŁUGOŚCI M₀ W PUNKCIE GŁÓWNYM ODWZOROWANIA LUB NA POŁUDNIKU ŚRODKOWYM.

1942

• oparty na odwzorowaniu G-K, niezmodyfikowane,

• na obszarze Polski były dwa pasy południkowe o południkach 15⁰ i 21⁰ – pasy 6⁰, N-3, N-4;

• współrzędne :

X = x

Y = N * 1 000 000 + 500 000 + y

• pasy 6⁰ – dla map średnioskalowych,

• pasy 3⁰ – produkcja map wielkoskalowych, południki: 15^o, 18^o, 21^o, 24^o, N=5 .. N=8,

• elipsoida Krasowskiego.

1965

• obszar Polski podzielono na 6 stref, w każdej strefie był oddzielny układ współrzędnych,

• B i L te same co wcześniej,

• w strefach I-V – zmodyfikowane odwzor. quasi-stereograficzne, współrzędne liczono:

X = X₀ + m₀x

Y = Y₀ + m₀y

m₀ = 0,9998

• strefa V – zmodyfikowane odwzor. G-K, m₀ = 0,999983, południk środkowy: L₀ = 18⁰57’30’’

• układ ten wprowadzono pod koniec lat 60,

• podział wg siatki kilometrowej.

GUGiK 80

• B i L te same co wcześniej,

• układ zaprojektowany dla map 1:100 000, zrobiono także mapy 1:500 000 w tym układzie,

• odzwor. quasi-stereograficzne ,

• B₀ = 52^o10’, L₀ = 19^o10’,

• skala długości w punkcie głównym po modyfikacji: m₀ = 0,9997.

1992

• zmodyfikowane odwzor. G-K,

• elipsoida GRS-80,

• cała Polska w jednym pasie południkowym L₀ = 19⁰ - 1 strefa,

• m₀ = 0,9993,

• stosowany do produkcji map średnioskalowych i do obliczania współrzędnych sieci podstawowej.

2000

• zmodyfikowane odwzorowanie G-K, m₀ = 0,999923

• 4 pasy południkowe: L₀ =15^o, L₀ =18^o, L₀ =21^o, L₀ =24^o,

• numery pasów: N=5, N=6, N=7, N=8,

• granice między pasami biegną wzdłuż granic powiatów,

• współrzędne:

X = m₀x

Y = N • 1 000 000 + 500 000 + m₀y.

1. TRANSFORMACJA RÓWNOKĄTNA STOPNIA PIERWSZEGO I WYŻSZYCH STOPNI (JAKO RÓWNOKĄTNE ODWZOROWANIE PŁASZCZYZNY NA PŁASZCZYZNĘ) – OGÓLNE WZORY, PROCEDURA WYZNACZANIA WARTOŚCI PARAMETRÓW TRANSFORMACYJNYCH, W TYM DOBÓR PUNKTÓW ŁĄCZNYCH, DOBÓR STOPNIA TRANSFORMACJI.

Transformacja równokątna I stopnia – transformacja Helmerta

Stosowana dla niewielkich obszarów.

Funkcje transformacyjne:

X = a₀ + a₁U − b₁W

Y = b₀ + a₁W + b₁U

(transformacja 4-parametrowa)

Transformacja ta potrafi

• przesunąć początek układu starego do początku układu nowego,

• obrócić osie starego układu, aby pokryły się z osiami nowego,

• poprawić skalę starej sieci, aby zgadzała się ze skalą w nowym układzie,

• dopasować jednostki długości, by stary „metr” nie był dokładnie metrem.

Parametry transformacji wyznaczamy metodą najmniejszych kwadratów w oparciu o punkty łączne.

Można przeliczać zbiory współrzędnych, nie należy jednak stosować do przetwarzania dokumentów papierowych.

Transformacja równokątna wyższych stopni

Stosujemy, gdy oba układy – stary i nowy – powstały poprzez zastosowanie odwzorowań równokątnych. Można ją traktować jako odwzorowanie równokątne.

Stosujemy układy lokalne u, w i x, y:

x = a₀+u+a₁^′w−b₁w + a₂(u²−w²) − b²(2uw) + … (pogrubione I stopień, reszta II)

y = b₀+w+a₁^′w+b₁u + a₂(2uw) + b₂(u²−w²) + …

tutaj zamiast a₁=1 zastosowano a₁=1+a₁’.

Stopień transformacji	Liczba parametrów	Liczba punktów łącznych dających rozwiązanie bez kontroli
I	4	2
II	6	3
III	8	4
IV	10	5

Stopień transformacji określimy doświadczalnie badając najmniejsze wartości przy najniższym stopniu transformacji. Ponieważ pracujemy w układzie lokalnym x, y to wyprowadzając na ekran poprawki v oraz wartość m₀ należy je pomnożyć przez D_max:

V_x(wyprowadzana) = v_x • Dmax

V_y(wyprowadzana) = v_y • Dmax

X = X₀ + x • Dmax

Y = Y₀ + y • Dmax

Na obszarze Polski tej transformacji nie należy stosować, jeżeli na transformowanym obszarze wysokości punktów różnią się od średniej wysokości tego obszaru więcej niż 50m.