Wstęp teoretyczny oraz cel ćwiczenia.

Celem przeprowadzonego ćwiczenia było wyznaczenie pojemności kondensatorów radiowych, ich pojemności po połączeniu równoległym oraz szeregowym, wyznaczenie pojemności 1 metra bieżącego współosiowego kabla antenowego oraz pomiaru zależności pojemności kondensatora cylindrycznego w zależności od długości okładek, by na tej podstawie obliczyć współczynnik przenikalności elektrycznej próżni.

Jedną z właściwości przewodników jest zdolność do magazynowania energii elektrycznej. W przypadku odosobnionego przewodnika ( znajdującego się w nieskończonej odległości od innych ciał) pojemnością elektryczną C nazywamy stosunek ładunku zgromadzony na przewodniku do jego potencjału: $C = \frac{q}{V}$. Pojemność odosobnionego przewodnika nie ma zastosowania praktycznego. Inny sposób ujęcia pojemności elektrycznej to pojemność wzajemna, czyli układ dwóch przewodników w odległości d od siebie o powierzchniach oddziałujących wzajemnie po polu powierzchni S, oraz naładowanych elektrycznie odpowiednio ładunkami –q oraz q. W zależności od geometrii układu (kształt okładek) pojemność możemy obliczać z odpowiednich wzorów, który dla 2 najważniejszych rodzajów kondensatorów – płaskiego i cylindrycznego przedstawiają się następująco:

Gdzie:

ε₀ – przenikalność dielektryczna próżni

ε_r – względna przenikalność próżni dielektryka

S- pole powierzchni okładek kondensatora

d – odległość okładek kondensatora

l – długość kondensatora cylindrycznego

r₂, r₁ – promienie okładek kondensatora cylindrycznego.

W przypadku kondensatorów ładunki na okładkach utrzymują się za sprawą przyciągania elektromagnetycznego. W tym wypadku pojemnością nazywamy stosunek ładunku zgromadzonego na okładkach do różnicy napięć na tych okładkach $C = \frac{q}{U}$.

Przenikalność elektryczna jest wielkością skalarną dla ciał izotropowych (dla anizotropowych jest wielkością wektorową). Jest równa stosunkowi wartości indukcji pola elektrycznego do natężenia tego pola. Jednostką wygodną do obliczeń pojemności jest $\left\lbrack \frac{F}{m} \right\rbrack$. Zgodnie z danymi podanymi przez Komitet Danych dla Nauki i Techniki wartość ta jest równa 8, 854187817 × 10⁻¹² $\frac{F}{m}$.

Względną przenikalnością elektryczną dielektryka nazywamy współczynnik, mówiący ile razy przenikalność dielektryczna danego materiału jest większa od wartości uniwersalnej, czyli wspomnianej wartości przenikalności elektrycznej próżni.

Jednostką pojemności jest farad, lecz stosuje mniejsze jednostki, jak pikofarad, nanofarad czy mikrofarad.

Przeprowadzone pomiary

Początkowo przeprowadzono pomiary pojemności za pomocą elektronicznego miernika dla 4 kondensatorów radiowych, następnie zmierzono dla ich połączenia szeregowego i równoległego. Później dokonano pomiaru pojemności 3,5 metrowego odcinka koncentrycznego, współosiowego kabla antenowego. Przeprowadzono obliczenia:

, [μF]

, [μF]

, [μF]

, [μF]

, [μF]

, [μF]

Wyniki zebrano w tabeli:

Wielkość[uF]	Pojemność	Dokładność
C1	0,01044	0,00001
C2	13,48	0,01
C3	0,0955	0,0001
C4	0,00001899	0,00000001	Obliczone
Cszer	0,00001874	0,00000001	0,00001895
Crów	13,57	0,01	13,58
Ckab	0,00005355	0,00000001
l [m]	3,5	0,1
Ckab/mb		0,0000153	0,00000154

Uzyskano wyniki:

Następnie zbadano zależność pojemności kondensatora cylindrycznego w zależności od stopnia pokrycia się jego okładek. Pomiary wykonano dwukrotnie, a następnie wyciągnięto średnie z pomiarów zamieszczając wyniki w poniższej tabeli:

l [mm]	85	80	75	70	65	60	55	50	45
C1 [pF]	1,031	1,002	0,96	0,931	0,924	0,887	0,867	0,821	0,804
C2 [pF]	1,035	1,008	0,98	0,953	0,926	0,897	0,87	0,842	0,815
C [pF]	1,033	1,005	0,97	0,942	0,925	0,892	0,8685	0,8315	0,8095
l [mm]	40	35	30	25	20	15	10	5	0
C1 [pF]	0,777	0,755	0,732	0,703	0,674	0,658	0,616	0,586	0,56
C2 [pF]	0,786	0,758	0,73	0,701	0,673	0,646	0,616	0,587	0,559
C [pF]	0,7815	0,7565	0,731	0,702	0,6735	0,652	0,616	0,5865	0,5595

Za pomocą metody najmniejszych kwadratów obliczono równanie prostej, współczynnik korelacji, współczynnik kierunkowy a i wyraz wolny b. Obliczono odchylenie standardowe wartości a w celu wyznaczenia błędu wyznaczenia współczynnika przenikalności elektrycznej próżni. W obliczeniach przyjęto, że przenikalność elektryczna suchego powietrza jest równa przenikalności próżni, promienie cylindrów kondensatora były równe R₂=0,01648m, R₁=0,015m. Obliczenia i tabele zamieszczono poniżej:

, ,

l.p.	x	y	x^2	xy	y^2	x+y	(y-ax-b)^2
1.	85	1,033	7225	87,805	1,06709	86,033	7,912E-06
2.	80	1,005	6400	80,4	1,01003	81,005	0,3191224
3.	75	0,97	5625	72,75	0,9409	75,97	0,2146631
4.	70	0,942	4900	65,94	0,88736	70,942	0,3101605
5.	65	0,925	4225	60,125	0,85563	65,925	0,3219725
6.	60	0,892	3600	53,52	0,79566	60,892	0,3157674
7.	55	0,8685	3025	47,7675	0,75429	55,8685	0,3202853
8.	50	0,8315	2500	41,575	0,69139	50,8315	0,3096291
9.	45	0,8095	2025	36,4275	0,65529	45,8095	0,3157866
10.	40	0,7815	1600	31,26	0,61074	40,7815	7129,868
11.	35	0,7565	1225	26,4775	0,57229	35,7565	0,2181261
12.	30	0,731	900	21,93	0,53436	30,731	0,2199929
13.	25	0,702	625	17,55	0,4928	25,702	0,2195188
14.	20	0,6735	400	13,47	0,4536	20,6735	1555,2393
15.	15	0,652	225	9,78	0,4251	15,652	0,0430633
16.	10	0,616	100	6,16	0,37946	10,616	0,0506301
17.	5	0,5865	25	2,9325	0,34398	5,5865	0,0495088
18.	0	0,5595	0	0	0,31304	0,5595	0,3130403
suma	765	14,335	44625	675,87	11,783	779,335	8688,6485

Aby obliczyć błąd wyznaczenia wartości przenikalności elektrycznej korzystając z metody różniczki zupełnej należy zauważyć, że , następnie obliczając błąd względny możemy przyrównać: i obliczyć błąd bezwzględny wyznaczonej wartości przenikalności próżni. Końcowy wynik możemy zapisać jako: .

Poniżej przedstawiono wykres zależności pojemności kondensatora cylindrycznego zastosowanego w doświadczeniu od długości pokrywania się okładek:

Wnioski

Obliczone wartości pojemności zastępczej dla połączenia równoległego po porównaniu z wartością zmierzoną mieszczą się w granicach obliczonego błędu, gdzie wartość mierzona to 13,57 μF. Inaczej jest w przypadku połączenia szeregowego, gdzie błąd wynosi (względem środka przedziału) około 1,12% i tym samym wartość pojemności nie mieści się w wyznaczonym przedziale niepewności -, przy wartości mierzonej wynoszącej . Jest to zapewne suma wielu czynników, w tym niedokładności urządzenia pomiarowego, leżących blisko siebie przewodów łączących kondensatory tworzących dodatkowe układy posiadające własną pojemność i indukcyjność. Ponadto układ zawierał wiele połączeń, w skutek czego istnieje prawdopodobieństwo, że nie wszystkie styki były dokładne, co mogło zaburzać pomiar.

Porównując wartość pojemności zastępczej dla kondensatorów połączonych równolegle z wartością pojemności przypadającej na 1 metr bieżący kabla antenowego możemy zauważyć, że taki przewód ma dość nieznaczną pojemność () biorąc pod uwagę długości okładek. Jest to wartość porównywalna z baterią 4 kondensatorów połączonych szeregowo () gdzie wartość pojemności zastępczej jest mniejsza od pojemności najmniejszego kondensatora.

Analizując badany kondensator cylindryczny możemy zauważyć, że jego pojemność jest wprost proporcjonalna do długości okładek, co możemy wnioskować po wysokim współczynniku korelacji równym 0,999677. Wynik wyznaczania przenikalności elektrycznej próżni nie pokrywa się z wartością tabelaryczną równą 8, 854187817 × 10⁻¹² $\frac{F}{m}$. Może być to spowodowane przez szereg czynników, przede wszystkim niedoskonałość urządzeń pomiarowych (miernika, śruby mikrometrycznej), niedoskonała geometria kondensatora (brak współosiowości, nierówny przekrój na całej długości, przyjęte zaokrąglenie współczynnika przenikalności elektrycznej powietrza do przenikalności elektrycznej próżni. Błąd względny wynosi około 7,45% (dla środka przedziału) co jest dość znaczną wartością.