TEORIA MASZYN I MECHANIZMÓW

Analiza mechanizmu dźwigniowego

Mechanizm 5/A

Rok II C Grupa 22 Tatar	Automatyka i Robotyka Rok Akademicki 2012-2013 Semestr 3

1. Synteza strukturalna i geometryczna mechanizmu

Tabela przedstawia symboliczny zapis struktury i parametrów projektowanego mechanizmu.

1. Rysunek przedstawia schemat ideowy zadanego mechanizmu.

1. Wyznaczenie ruchliwości i klasy mechanizmu.

Dane mechanizmu do obliczenia ruchliwości:

n=3; p₄=0; p₅=4;

Ruchliwość mechanizmu wyraża się wzorem:

$$w = 3*n - \sum_{i = 4}^{5}{\left( i - 1 \right)*p_{i}} = 3*n - p_{4} - 2*p_{5} = 3*3 - 0 - 2*4 = 1$$

Klasa mechanizmu:

W celu zbadania klasy mechanizmu odłącza się człon napędzający od grupy strukturalnej:

Ruchliwość grupy strukturalnej złożonej z członów 2 i 3(n=2, p₄=3):

w = 3 * n − p₄ − 2 * p₅ = 3 * 2 − 0 − 2 * 3 = 0

Stąd wynika, że jest to grupa strukturalna klasy 2, a ponieważ mechanizm składa się tylko z tej grupy i członu napędzającego(1), to jest to mechanizm klasy 2.

Ze względu na strukturę mechanizmu kwalifikuje się on jako mechanizm jarzmowy.

1. Ograniczenia geometryczne.

Mechanizm jest ograniczony ze względu na długości członów:

CE > AB + AC

1. Model mechanizmu w programie SAM

1. Analiza kinematyczna mechanizmu

Przyjęte parametry mechanizmu:

AB=200[mm];

CE=650[mm];

BD=150[mm];

AC=412[mm];

1. Analiza kinematyczna mechanizmu metodą grafoanalityczną.

Na rysunku znajduje się łańcuch kinematyczny mechanizmu w zadanym położeniu

Dla przyjętych parametrów:

φ₁=126[^o]; ω₁=6.28$\left\lbrack \frac{\text{rad}}{s} \right\rbrack$ Ɛ₁=0;

BS₂=50[mm]; t₁=0,1[s]; BC=580[mm];

Podziałka rysunkowa $\ k_{l} = \ \ \frac{l_{1}}{(l_{1)}}\ \left\lbrack \frac{m}{\text{mm}} \right\rbrack$

ANALIZA PRĘDKOŚCI

Przyjęta podziałka prędkości: $k_{V} = \ \frac{V}{\left( V \right)} = \ \frac{V_{A}}{{(V}_{A)}}\ \left\lbrack \frac{ms^{- 1}}{\text{mm}} \right\rbrack$

Równanie dla analizy prędkości:

$$\begin{matrix} \ = \ + \ \\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\bot AB\text{\ \ \ }\begin{matrix} \ & \bot BC\ \ \ & \text{\ \ \ } \parallel BC\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$$

Przy czym

V_B2 = V_B1 = AB · ω₁ = 0,2 · 6,28 = 1,256 $\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$

(V_B2) = V_B2/k_v = 1256 $\left\lbrack \frac{\text{mm}}{s} \right\rbrack$

Ilość danych jest wystarczająca do rozwiązania równania wykreślnie:

Rysunek rozkładu prędkości

Odczytane z rysunku wartości:

(V_B3) = 1117 $\left\lbrack \frac{\text{mm}}{s} \right\rbrack$

(V_B2B3) = 574 $\left\lbrack \frac{\text{mm}}{s} \right\rbrack$

Stąd:

V_B3 = (V_B3) · k_V = 1,1174 $\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$

V_B2B3 = (V_B2B3) · k_V = 0,574 $\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$

ω_{3 =} ω_{2 =} V_B3 /BC = 1,937 $\left\lbrack \frac{\text{rad}}{s} \right\rbrack$

Równanie dla punktu D:

$$\begin{matrix} \left( {\overset{\overline{}}{V}}_{\mathrm{D}} \right)\ = \ + \ \\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\begin{matrix} \ & \bot AB\ \ \ & \text{\ \ \ }\bot\text{BD\ \ \ }\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$$

V_DB2 = ω₂ · BD = 1,93 · 0,15 = 0,29 $\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$

Odczytana z rysunku wartość:

(V_D)= 1361,78 $\left\lbrack \frac{\text{mm}}{s} \right\rbrack$, skąd V_D = 1,36178 $\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$,

Równanie, dla punktu S₂:

$$\begin{matrix} \left( {\overset{\overline{}}{V}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{2}}} \right)\ = \ + \ \\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\begin{matrix} \ & \bot AB\ \ & \text{\ \ \ } \parallel BD\ \ \ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$$

V_S2B2 = ω₂ · BS₂ = 0,9685 $\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$

Odczytana z rysunku wartość:

(V_S2)= 1385,6738 $\left\lbrack \frac{\text{mm}}{s} \right\rbrack$, skąd V_S2 = 1,38567 $\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$,

Prędkość punktu E:

V_E = ω₃ · CE = 1,93 · 0,65 = 1,255 $\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$

ANALIZA PRZYSPIESZEŃ

Przyjęta podziałka przyspieszeń: $k_{a} = \ \frac{a}{\left( a \right)} = \ \frac{a_{B2}}{{(a}_{B2})}\ \left\lbrack \frac{ms^{- 1}}{\text{mm}} \right\rbrack$

Równanie dla analizy przyspieszeń:

$$\text{\ \ }\begin{matrix} \ \ = + \ + \ + \ \\ \parallel AB\ \ \ \ \ \ \ \ \parallel BC\ \ \ \ \ \begin{matrix} \ \bot BC & \ \ \ \ \ \ \ \bot BC & \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel BC \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$$

${\overline{a}}_{B2}^{n}\ $= ω₁² · AB = 6,28² · 0,2 = 7,888$\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

${\overline{a}}_{B3}^{n}$ = ω₃² · BC = 1,93² · 0,58 = 2,160 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

${\overline{a}}_{B2B3}^{\text{cor}}$ = 2 · ω₃ · V_B2B3 = 2 · 1,93 · 0,573= 2,212 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

Odczytane z rysunku wartości:

(${\overline{a}}_{B3}^{\tau}$) = 1389,63 $\left\lbrack \frac{\text{mm}}{s^{2}} \right\rbrack$

(${\overline{a}}_{B2B3}^{\tau}$) = 4857,74 $\left\lbrack \frac{\text{mm}}{s^{2}} \right\rbrack$, stąd

${\overline{a}}_{B3}^{\tau}$ = (${\overline{a}}_{B3}^{\tau}$) · k_a = 1,39 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

${\overline{a}}_{B2B3}^{\tau}$ = (${\overline{a}}_{B2B3}^{\tau}$)) · k_a = 4,867 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

Ɛ_{3 =} Ɛ_{2 =} ${\overline{a}}_{B3}^{\tau}$ /BC = 2,397 $\left\lbrack \frac{\text{rad}}{s^{2}} \right\rbrack$

$${\overline{a}}_{B3} = \ \sqrt{{{\overline{a}}_{B3}^{\tau}\ }^{2} + {{\overline{a}}_{B3}^{n}}^{2}} = 2,56098$$

Równanie analizy przyspieszeń dla punktu D:

$$\begin{matrix} \left( {\overline{a}}_{D} \right)\ = \ + \ + \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel AB\ \ \begin{matrix} \ & \parallel BD & \ \ \ \ \ \ \ \bot BD \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$$

${\overline{a}}_{DB2}^{n}$ = ω₂² · BD = 1,93² · 0,15 = 0,559$\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

${\overline{a}}_{DB2}^{\tau}$ = Ɛ ₂ · BD = 2,4 · 0,15 = 0,36$\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

Odczytane z rysunku wartości:

$\left( {\overline{a}}_{D} \right)$ = 7851 $\left\lbrack \frac{\text{mm}}{s^{2}} \right\rbrack$, stąd

${\overline{a}}_{D}$ = $\left( {\overline{a}}_{D} \right)\ $· k_a = 7,851 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

Równanie analizy przyspieszeń dla punktu S2:

$$\begin{matrix} \left( {\overline{a}}_{S2} \right)\ = \ + \ + \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel AB\ \ \begin{matrix} \ & \ \ \ \parallel BD & \ \ \ \ \ \ \ \bot BD \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$$

${\overline{a}}_{S2B2}^{n}$ = ω₂² · BS₂ = 1,93² · 0,05 = 0,279$\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

${\overline{a}}_{S2B2}^{\tau}$ = Ɛ ₂ · BS₂ = 2,4 · 0,05 = 0,18$\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

Odczytane z rysunku wartości:

$\left( {\overline{a}}_{S2} \right)$ = 7862 $\left\lbrack \frac{\text{mm}}{s^{2}} \right\rbrack$, stąd

${\overline{a}}_{S2}$ = $\left( {\overline{a}}_{S2} \right)\ $· k_a = 7,869098 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

Równanie analizy przyspieszeń dla punktu E:

$$\begin{matrix} \left( {\overline{a}}_{E} \right)\ = \ + \ \\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\begin{matrix} \ & \parallel CE & \ \ \ \ \bot CE\ \ \ \ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$$

${\overline{a}}_{E}^{n}$ = ω₃² · CE = 1,93² · 0,65 = 2,421$\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

${\overline{a}}_{E}^{\tau}$ = Ɛ ₃ · CE = 2,4 · 0,65 = 1,56$\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

Odczytane z rysunku wartości:

$\left( {\overline{a}}_{E} \right)$ = 2880 $\left\lbrack \frac{\text{mm}}{s^{2}} \right\rbrack$, stąd

${\overline{a}}_{E}$ = $\left( {\overline{a}}_{S2} \right)\ $· k_a = 2,880 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

1. Analiza kinematyczna mechanizmu metodą analityczną.

Wielobok mechanizmu

Dane: I₁ = AB, φ₁ = φ₁(t), I₀ = AC, φ₀ = 0.

Szukane: I₃, φ₃, V_B2B3 = $\frac{\text{dI}_{3}}{\text{dt}}$, ω₃, a^t_B2B3 = $\frac{{d^{2}I}_{3}}{dt^{2}}$, Ɛ_3.

Rozwiązanie:

Zapis zamkniętego trójkąta wektorów:

$$\overline{\mathrm{I}_{\mathrm{1}}}\mathrm{+ \ }\overline{\mathrm{I}_{\mathrm{3}}}\mathrm{+ \ }\overline{\mathrm{I}_{\mathrm{0}}}\mathrm{= \ }\overline{\mathrm{0}}$$

Po zrzutowaniu na osie układu współrzędnych:

$\left\{ \begin{matrix} I_{1}\cos\varphi_{1} + \ I_{3}\cos\varphi_{3} + \ I_{0}\cos\varphi_{0} = \ 0 \\ \mathrm{I}_{\mathrm{1}}\sin\mathrm{\varphi}_{\mathrm{1}}\mathrm{+ \ }\mathrm{I}_{\mathrm{3}}\sin\mathrm{\varphi}_{\mathrm{3}}\mathrm{+ \ }\mathrm{I}_{\mathrm{0}}\sin\mathrm{\varphi}_{\mathrm{0}}\mathrm{= \ 0} \\ \end{matrix} \right.\ $ (1)

Po przekształceniu:

$\left\{ \begin{matrix} \ I_{3}\cos\varphi_{3}\ = \ - I_{1}\cos\varphi_{1} - I_{0}\cos\varphi_{0} \\ I_{3}\sin\varphi_{3}\ = \ - I_{1}\sin\varphi_{1} - I_{0}\sin\varphi_{0} \\ \end{matrix} \right.\ $ (2)

Wyznaczenie długości wektora I₃ po podniesieniu układu równań (2) do kwadratu i dodaniu stronami:

$$\mathrm{I}_{\mathrm{3}}\mathrm{=}\sqrt{{\mathrm{(}\mathrm{I}_{\mathrm{1}}\cos\mathrm{\varphi}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}\mathrm{I}_{\mathrm{0}}\cos\mathrm{\varphi}_{\mathrm{0}}\mathrm{)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{(}\mathrm{I}_{\mathrm{1}}\sin\mathrm{\varphi}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}\mathrm{I}_{\mathrm{0}}\sin\mathrm{\varphi}_{\mathrm{0}}\mathrm{)}}^{\mathrm{2}}}$$

$$\mathrm{I}_{\mathrm{3}}\mathrm{=}\sqrt{{\mathrm{I}_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{I}_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+ 2}\mathrm{I}_{\mathrm{1}}\mathrm{I}_{\mathrm{0}}\cos{\mathrm{(}\mathrm{\varphi}_{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{\varphi}_{\mathrm{0}}\mathrm{)}}}$$

$\mathrm{I}_{\mathrm{3}}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{4,12}^{\mathrm{2}}\mathrm{+ 2*2*4,12*}\cos{\mathrm{(}126^{o}\mathrm{-}166^{o}\mathrm{)}}} = \ $5,8 [m]

Poprawność wyniku potwierdza długość wektora zmierzona na rysunku.

Wyznaczenie kąta φ₃ przez podzielenie przez siebie równań układu (2):

$$\tan\varphi_{3} = \ \frac{I_{1}\sin\varphi_{1} + I_{0}\sin\varphi_{0}}{I_{1}\cos\varphi_{1} + I_{0}\cos\varphi_{0}}$$

$$\varphi_{3} = \operatorname{}\frac{I_{1}\sin\varphi_{1} + I_{0}\sin\varphi_{0}}{I_{1}\cos\varphi_{1} + I_{0}\cos\varphi_{0}}$$

φ₃= − 26, 8 [ ^o]

Poprawność wyniku potwierdza wartość odmierzona na rysunku.

Wyznaczenie V_B2B3 i ω₃ poprzez zróżniczkowanie pierwszego z równań (1):

$$- \mathrm{I}_{\mathrm{1}}\mathrm{\omega}_{\mathrm{1}}\sin\mathrm{\varphi}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}\ \frac{\mathrm{\text{dI}}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{\text{dt}}}\cos\mathrm{\varphi}_{\mathrm{3}} - \ \mathrm{I}_{\mathrm{3}}\mathrm{\omega}_{\mathrm{3}}\sin\mathrm{\varphi}_{\mathrm{3}}\mathrm{= \ 0}$$

Oraz obrócenie układu o kąt φ_3:

$$= \mathrm{I}_{\mathrm{1}}\mathrm{\omega}_{\mathrm{1}}\sin{{\mathrm{(}\mathrm{\varphi}}_{\mathrm{1}} - \mathrm{\varphi}_{\mathrm{3}}\mathrm{)}}\mathrm{+}\ \frac{\mathrm{\text{dI}}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{\text{dt}}}\cos\mathrm{0} - \mathrm{I}_{\mathrm{3}}\mathrm{\omega}_{\mathrm{3}}\sin\mathrm{0}\mathrm{= \ 0}$$

Stąd:

V_B2B3 = $\frac{\mathrm{\text{dl}}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{\text{dt}}}\mathrm{=}\ \mathrm{I}_{\mathrm{1}}\mathrm{\omega}_{\mathrm{1}}\sin{\mathrm{(\varphi}_{\mathrm{1}} - \mathrm{\varphi}_{\mathrm{3}}\mathrm{)}}$

V_B2B3 = 0,574 $\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$

Poprawność wyniku potwierdza wynik uzyskany metodą grafoanalityczną.

Obrócenie układu jeszcze o kąt -90^o pozwoli obliczyć wartość ω_3:

$$\mathrm{- I}_{\mathrm{1}}\mathrm{\omega}_{\mathrm{1}}\sin{\mathrm{(\varphi}_{\mathrm{1}} - \mathrm{\varphi}_{\mathrm{3}}\mathrm{+}\mathrm{90}^{\mathrm{o}}\mathrm{)}}\mathrm{+ \ }\frac{\mathrm{\text{dI}}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{\text{dt}}}\cos\mathrm{90}^{\mathrm{o}} - \mathrm{I}_{\mathrm{3}}\mathrm{\omega}_{\mathrm{3}}\sin\mathrm{90}^{\mathrm{o}}\mathrm{= \ 0}$$

Stąd

$$\omega_{3}\ = \ - \frac{I_{1}\omega_{1}\sin{{(\varphi}_{1} - \varphi_{3} + 90^{o})}}{I_{3}}$$

ω₃ = 1,93 $\left\lbrack \frac{\text{rad}}{s} \right\rbrack$

Poprawność wyniku potwierdza wynik uzyskany metodą grafoanalityczną.

Aby obliczyć przyspieszenia różniczkujemy ponownie różniczkowane równanie:

$$- I_{1}E_{1}\sin\varphi_{1} - I_{1}\omega_{1}^{2}\cos\varphi_{1} + \mathrm{\ }\frac{{d^{2}I}_{3}}{dt^{2}}\cos\varphi_{3} - 2\frac{\text{dI}_{3}}{\text{dt}}\omega_{3}\sin\varphi_{3} - \mathrm{\ }I_{3}E_{3}\sin\varphi_{3} - I_{3}\omega_{3}^{2}\cos\varphi_{3} = \ 0$$

Obracając układ o kąt φ_3:

$$- I_{1}*0*\sin{(\varphi_{1} - \varphi_{3})} - I_{1}\omega_{1}^{2}\cos{(\varphi_{1} - \varphi_{3})} + \ \frac{{d^{2}I}_{3}}{dt^{2}}\cos 0 - 2\frac{\text{dI}_{3}}{\text{dt}}\omega_{3}\sin 0 - \ I_{3}E_{3}\sin 0 - I_{3}\omega_{3}^{2}\cos 0 = \ 0$$

Stąd:

a_B2B3^τ = I₁ω₁²cos(φ₁ − φ₃) + I₃ω₃²

$$a_{B2B3}^{\tau} = - 4,863\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack\ $$

Obrócenie układu jeszcze o kąt -90^o pozwoli obliczyć wartość Ɛ_3:

$$- I_{1}*0*\sin{(\varphi_{1} - \varphi_{3} + \mathrm{90}^{\mathrm{o}})} - I_{1}\omega_{1}^{2}\cos{(\varphi_{1} - \varphi_{3} + \mathrm{90}^{\mathrm{o}})} + \ \frac{{d^{2}I}_{3}}{dt^{2}}\cos\mathrm{90}^{\mathrm{o}} - 2\frac{\text{dI}_{3}}{\text{dt}}\omega_{3}\sin\mathrm{90}^{\mathrm{o}} - \ I_{3}E_{3}\sin\mathrm{90}^{\mathrm{o}} - I_{3}\omega_{3}^{2}\cos{\mathrm{90}^{\mathrm{o}}0} = \ 0$$

Stąd:

$$E_{3} = \frac{- I_{1}\omega_{1}^{2}\cos{(\varphi_{1} - \varphi_{3} + \mathrm{90}^{\mathrm{o}})} - 2V_{B2B3}\omega_{3}}{I_{3}}$$

E₃= 2,4 $\left\lbrack \frac{\text{rad}}{s^{2}} \right\rbrack$

Obliczone wartości są zgodne z wartościami uzyskanymi metodą grafoanalityczną.

1. Wykresy kinematyczne.

Wykresy kinematyczne w programie SAM

Wykorzystując zbudowany w programie SAM model mechanizmu wyznaczamy wykresy kinematyczne poszukiwanych parametrów kinematycznych w funkcji czasu.

W rozważanym mechanizmie są to przebiegi:

φ₂ = φ₂(t),   ω₂ = ω₂(t),   E₂ = E₃(t),   φ₃ = φ₃(t),   ω₃ = ω₃(t),   E₃ = E₃(t) 

Przebiegi w funkcji czasu oraz przemieszczenia mają w tym wypadku taki sam charakter, ze względu na stałą prędkość kątową członu napędzającego.

Dodatkowo wyznaczamy np. prędkość i przyspieszenie całkowite punktów E, D i S₂ tzn.

V_B(t), V_D(t), V_E(t), V_S2(t), a_B(t), a_D(t), a_E(t), a_S2(t):

Porównanie wyników analizy kinematycznej dla zadanego położenia mechanizmu:

Lp.	Parametr	SAM	Metoda Grafoanalityczna	Metoda Analitczna
1	φ3	153,292	153	153,186
2	ω3[ ]	1,93	1,927	1,927
3	Ɛ3	2,372	2,397	2,4
4	VB2	1,2545	1,256	-
5	VB3	-	1,1174	-
6	VB3B2	-	0,574	0,574
7	VD	1,3922	1,36178	-
8	VE	1,2538*	1,2545	-
9	VS2	1,3796*	1,3856	-
10	aB3	7,8823	7,888	-
11	a^tB3B2	-	4,867	−4, 863
12	aD	7,7936	7,8509	-
13	aE	2,8738*	2,8801	-
14	aS2	7,8456*	7,8623	-

*Dane z programu SAM dla punktów E i S₂ mogą być obarczone dużym błędem z powodu sposobu modelowania w programie.

Porównanie wyników obliczeń w tabeli wskazuje na ich zgodność, to znaczy że nie popełniono błędów obliczeniowych. Niewielkie błędy mogą wynikać z przybliżeń, oraz z metody modelowania w programie SAM.

1. Analiza kinetostatyczna mechanizmu

1. Założenie mas i momentów bezwładności członów.

Przyjmuję: m₂ = 2[kg], J_S2 = 3[kg*m²], P₂ = 30[N], M₃ = 40[N·m].

1. Obliczenie mas i momentów bezwładności członów.

G₂ = m₂*g = 19,613 [N]

B₂ = m₂*a_S2 = 15,7246 [N]

M_B2 = J_S2*Ɛ₂ = 7,202 [Nm]

1. Wyznaczenie reakcji w parach kinematycznych oraz siły równoważącej metodą grafoanalityczną.

1. Dla grupy strukturalnej(2,3):

Warunki równowagi sił:

$$\sum_{}^{}\overset{\overline{}}{\mathbf{R}_{\mathbf{i(2)}}}\mathbf{= \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{R}_{\mathbf{12}}^{\mathbf{n}}}\mathbf{+}\overset{\overline{}}{\mathbf{R}_{\mathbf{12}}^{\mathbf{\tau}}}\mathbf{+}\overset{\overline{}}{\mathbf{G}_{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\overset{\overline{}}{\mathbf{B}_{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\overset{\overline{}}{\mathbf{P}_{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\overset{\overline{}}{\mathbf{R}_{\mathbf{32}}}\mathbf{= 0}$$

$$\sum_{}^{}\overset{\overline{}}{\mathbf{R}_{\mathbf{i(3)}}}\mathbf{= \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{R}_{\mathbf{03}}^{\mathbf{n}}}\mathbf{+}\overset{\overline{}}{\mathbf{R}_{\mathbf{03}}^{\mathbf{\tau}}}\mathbf{+}\overset{\overline{}}{\mathbf{R}_{\mathbf{23}}}\mathbf{= 0}$$

Stąd wynika:

R₀₃^τ= −R₂₃

R₀₃ⁿ=0

R₁₂ⁿ+R₁₂^τ+G₂+B₂+P₂+R₃₂=0

Warunki równowagi momentów:

$$\sum_{}^{}\mathbf{M}_{\mathbf{i(B)}}\mathbf{= \ -}\mathbf{M}_{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{M}_{\mathbf{B}\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{G}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{h}_{\mathbf{G}}\mathbf{+}\mathbf{B}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{h}_{\mathbf{B}}\mathbf{-}\mathbf{P}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{h}_{\mathbf{P}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{03}}^{\mathbf{\tau}}\mathbf{*}\mathbf{h}_{\mathbf{R}\mathbf{03}}\mathbf{= 0}$$

Stąd

$$\mathbf{\ }\mathbf{R}_{\mathbf{03}}^{\mathbf{\tau}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{M}_{\mathbf{B}\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{G}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{h}_{\mathbf{G}}\mathbf{-}\mathbf{B}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{h}_{\mathbf{B}}\mathbf{+}\mathbf{P}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{h}_{\mathbf{P}}}{\mathbf{h}_{\mathbf{R}\mathbf{03}}}$$

Przy czym:

h_G=0,02257[m]; h_R03=0,580[m]; h_P=0,15[m];

R₀₃^τ=−R₂₃=−R₃₂=-101,72481[N]

(ujemny znak wskazuje na przeciwny zwrot dzialania sily do zalozonego)

W wyniku tych rozważań otrzymujemy równanie:

 +++++=0

Z którego należy wyznaczyć nieznane siły metodą graficzną:

Odczytane z rysunku:

R₁₂ⁿ= - 25,0694[N]

R₁₂^τ= - 91,79174[N]

R₁₂=R₂₁= - 95,29482

1. Dla członu napędzającego:

Warunki równowagi sił:

$$\sum_{}^{}\overset{\overline{}}{\mathbf{R}_{\mathbf{i(1)}}}\mathbf{= \ }\mathbf{+}\mathbf{+}\mathbf{= 0}$$

Warunki równowagi momentów:

$$\sum_{}^{}\mathbf{M}_{\mathbf{i(A)}}\mathbf{= \ -}\mathbf{M}_{\mathbf{R}\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{21}}\mathbf{*}\mathbf{h}_{\mathbf{R}\mathbf{21}}\mathbf{= 0}$$

Stąd:

Dla h_R21=0, 15645[m]

 M_R1=R₂₁*h_R21= - 14,9089[Nm]

Z równania sił należy wyznaczyć nieznane siły metodą graficzną:

Odczytane z rysunku:

R₀₁ⁿ= 19,608[N]

R₀₁^τ= 93,1113[N]

1. Obliczenie siły równoważącej metodą mocy chwilowych:

$$\overset{\overline{}}{M_{R1}}*\overset{\overline{}}{\omega_{1}} + \overset{\overline{}}{G_{2}}*\overset{\overline{}}{V_{S2}} + \overset{\overline{}}{P_{2}}*\overset{\overline{}}{V_{D}} + \overset{\overline{}}{M_{B3}}*\overset{\overline{}}{\omega_{3}} + \ \overset{\overline{}}{M_{3}}*\overset{\overline{}}{\omega_{3}} = 0$$

stąd:

M_R1 * ω₁ * cos180^o + G₂ * V_S2 * cosα_G + P₂ * V_D * cosα_P + M_B3 * ω₃ * cos180^o +  M₃ * ω₃ * cos180^o = 0

oraz:

α_G= 51^o

α_P=117^o

stąd:

$M_{R1} = - \frac{G_{2}*V_{S2}*\cos\alpha_{G} + P_{2}*V_{D}*\cos\alpha_{P} + M_{B3}*\omega_{3}*\cos 180^{o} + \ M_{3}*\omega_{3}*\cos 180^{o}}{\omega_{1}*\cos 180^{o}}$

M_R1 = −14, 7174[Nm]

1. Wyznaczenie siły równoważącej w programie SAM:

Schemat mechanizmu z zadanymi J2, m2, G2, P2 i M3

_{Wykres zależności momentu równoważącego od czasu}

1. Porównanie wyników obliczeń siły równoważącej:

Metoda	grafoanalityczna	mocy chwilowych	Program SAM
PR1 [Nm] =	- 14,9089	−14, 7174	-14,462

Porównanie wyników wskazuje na poprawność obliczeń. Tym kończę analizę mechanizmu dźwigniowego.