Wyznaczanie współczynnika sztywności drutu metodą dynamiczną

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika sztywności drutu metodą dynamiczną, która tak naprawdę wykorzystuje okres drgań torsyjnych oraz moment bezwładności ciała zawieszonego na tym drucie. Drgania torsyjne są odpowiednikiem drgań harmonicznych liniowych tyle że dla kąta, gdy utwierdzony drut zostanie skręcony o pewien kąt, powstały moment siły będzie dążył do powrócenia drutu w stan równowagi.

Gdzie:

1. Krążek z mocowaniem drutu

2. Krążek bez mocowania drutu

3. Nakrętka mocująca

4. Badany drut

5. Śruba trzymająca drut

Rysunek Schemat stanowiska pomiarowego

Podczas ćwiczenia badaliśmy sztywność dwóch drutów: stalowego i aluminiowego. Wartość wyznaczonych okresów w zależności od ilości zawieszonych krążków oraz od długości drutu „h” (zaznaczono na Rysunku 1) zawierają poniższe tabele:

Drut aluminiowy o średnicy Φ 0,8 mm i długości h=327 mm
Dla krążka 1
Dla krążka 1 +2
Drut stalowy o średnicy Φ 0,8 mm i długości h=364 mm
Dla krążka 1
Dla krążka 1 +2

Tabela Wartości 30 okresów w zależności od : rodzaju drutu i obciążenia

Drut stalowy o średnicy Φ 0,8 mm i długości h=364 mm
Dla krążka 1
Dla krążka 1 +2
Drut aluminiowy o średnicy Φ 0,8 mm i długości h=327 mm
Dla krążka 1
Dla krążka 1 +2

Tabela Wartości średnie okresów

Krążek 1	Krążek 2
Φ wewnętrzne (otworu)	12,3 mm
Φ zewnętrzne krążka	110,9 mm
Masa	1366 g

Tabela Dane dotyczące krążków obciążających

Ponieważ drgania torsyjne wykorzystują obrót krążków trzeba wyznaczyć ich moment bezwładności względem osi obrotu pokazanej jak na Rysunku 2. Moment bezwładności najprościej mówiąc jest odpowiednikiem masy w ruchu obrotowym i określa się go następującym wzorem:

dV = 2πrHdr – objętość wyciętej warstwy

dm = ρ2πrHdr – masa wyciętej warstwy

m = ρπH(R_z²−R_w²)

I_z = ∫r²dm = ∫r²ρ2πrHdr

$I_{z} = \rho 2\pi H\int_{R_{w}}^{R_{z}}{r^{3}\text{dr}} = \rho 2\pi H\left\lbrack \frac{1}{4}r^{4} \right\rbrack_{R_{w}}^{R_{z}} =$

$= \frac{1}{2}\text{ρπH}\left( R_{z}^{2} - R_{w}^{2} \right)\left( R_{z}^{2} + R_{w}^{2} \right) = \frac{\mathbf{m}\left( \mathbf{R}_{\mathbf{z}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{R}_{\mathbf{w}}^{\mathbf{2}} \right)}{\mathbf{2}}$

$I_{z} = \frac{\mathbf{m}\left( \mathbf{R}_{\mathbf{z}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{R}_{\mathbf{w}}^{\mathbf{2}} \right)}{\mathbf{2}}$

Wykorzystując powyższy wzór obliczam moment bezwładności krążka 2 względem osi 0z:

$$I_{z} = \frac{1.184\left( \left( 0.1109 \right)^{2}\ - \ \left( 0.0123 \right)^{2} \right)}{2} = 0.0072\ kgm^{2}$$

Mając obliczone momenty bezwładności i okresy drgań, wyznaczmy sztywności drutów za pomocą wzoru:

$G = \frac{8\pi hI_{z}}{R_{d}^{4}(T_{k2}^{2} - T_{k1}^{2})}$

gdzie: h – długość drut, I_z – moment bezwładności krążka 2, R_d – promień drutu, T_k2 – okres drgań dla układu krążków 2 + 1, T_k1 – okres drgań układu tylko z krążkiem 1.

$$G_{\text{stal}} = \frac{8\pi \cdot 0,364 \cdot 0,0072}{\left( \frac{8 \cdot 10^{- 4}}{2} \right)^{4} \cdot \left( {4,5}^{2} - {3,2}^{2} \right)} = 257,04\ GPa$$

$$G_{\text{aluminium}} = \frac{8\pi \cdot 0,327 \cdot 0,0072}{\left( \frac{8 \cdot 10^{- 4}}{2} \right)^{4} \cdot \left( {7,5}^{2} - {5,3}^{2} \right)} = 82,08\ GPa$$

Obliczenie błędu okresów ze wzoru:

$$u_{\left( T \right)} = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}\left( T_{i} - \overset{\overline{}}{T} \right)^{2}}$$

Drut stalowy o średnicy Φ 0,8 mm i długości h=364 mm
Dla krążka 1
$$T_{i} - \overset{\overline{}}{T}$$ $$\left( T_{i} - \overset{\overline{}}{T} \right)^{2}$$ 96 -0,2 0,04 96 -0,2 0,04 95 0,8 0,64 97 -1,2 1,44 95 0,8 0,64 SUMA 2,8
U(T)=±0,37 s

Drut aluminiowy o średnicy Φ 0,8 mm i długości h=327 mm
Dla krążka 1
$$T_{i} - \overset{\overline{}}{T}$$ $$\left( T_{i} - \overset{\overline{}}{T} \right)^{2}$$ 134 0 0 135 -1 1 133 1 1 134 0 0 134 0 0 SUMA 2
U(T)=±0,20 s

Obliczenie błędu sztywności drutu stalowego:

$$G = \sqrt{\left( - \frac{16\pi hI_{z}T_{k2}}{{R_{d}}^{4}\left( {T_{k2}}^{2}\ - \ {T_{k1}}^{2} \right)^{2}} \right)^{2} \cdot \left( T_{k2} \right)^{2} + \left( \frac{16\pi hI_{z}T_{k1}}{{R_{d}}^{4}\left( {T_{k2}}^{2}\ - \ {T_{k1}}^{2} \right)^{2}} \right)^{2} \cdot \left( T_{k1} \right)^{2}}$$

$$G = \sqrt{\left( - \frac{16\pi \cdot 0,364 \cdot 0,0072 \cdot 4,5}{{(4 \cdot 10^{- 4})}^{4}\left( {4,5}^{2}\ - \ {3,2}^{2} \right)^{2}} \right)^{2} \cdot \left( 0.32 \right)^{2} + \left( \frac{16\pi \cdot 0,364 \cdot 0,0072 \cdot 3,2}{\left( 4 \cdot 10^{- 4} \right)^{4}\left( {4,5}^{2}\ - \ {3,2}^{2} \right)^{2}} \right)^{2} \cdot \left( 0.37 \right)^{2}}$$

$$G = \sqrt{\left( - 231104354682.38 \right)^{2} \cdot \left( 0.32 \right)^{2} + \left( 164340874440.81 \right)^{2} \cdot \left( 0.37 \right)^{2}}$$

$$G = \sqrt{5.47 \cdot 10^{21} + 3.70 \cdot 10^{21}} = 95,75\ GPa$$

G_stal=257, 04  ± 95, 75 GPa (wartość tablicowa ok. 80 GPa)

Obliczenie błędu sztywności drutu aluminiowego:

$$G = \sqrt{\left( - \frac{16\pi \cdot 0,327 \cdot 0,0072 \cdot 7,5}{{(4 \cdot 10^{- 4})}^{4}\left( {7,5}^{2}\ - \ {5,3}^{2} \right)^{2}} \right)^{2} \cdot \left( 0,24 \right)^{2} + \left( \frac{16\pi \cdot 0,327 \cdot 0,0072 \cdot 5,3}{\left( 4 \cdot 10^{- 4} \right)^{4}\left( {7,5}^{2}\ - \ {5,3}^{2} \right)^{2}} \right)^{2} \cdot \left( 0,20 \right)^{2}}$$

$$G = \sqrt{\left( - 43722612268.34 \right)^{2} \cdot \left( 0.24 \right)^{2} + \left( 30897312669.63 \right)^{2} \cdot \left( 0,20 \right)^{2}}$$

$$G = \sqrt{1.10 \cdot 10^{20} + 3.82 \cdot 10^{19}} = 12.18\ GPa$$

G_aluminium=82, 08  ± 12, 18 GPa (wartość tablicowa ok. 25,5 GPa)

Tablicowe wartości sztywności drutów, w żaden sposób nie są bliskie wartością przeze mnie obliczonym. Jedyne co się zgadza to fakt, że moduł Kirchhoffa dla drutu stalowego jest o wiele większy, niż dla drutu wykonanego z glinu. Jeśli rozbieżności tych wartości nie wynikają z błędów obliczeniowych, to oznaczałoby to, że wykorzystywane przez nas druty podczas ćwiczenia są wykonane z innych materiałów niż nam powiedziano (chociaż szczerze w to wątpię). Istnieje również możliwość że pomiary okresów drgań zostały źle wykonane, co pociągnęło za sobą błędne obliczenia modułów.