Hipotezy naprężeniowe i odkształceniowe
1.Hip.najw.napr.normalnego(Galileusza).Wd.tej hip. o naprężeniu materiału decyduje najwiek.napr.normalne.Zniszczenie następuje wtedy,gdy najwięk. napr. normalne w zlożonym stanie napr.osiagnie wartość napr.niebezpiecznego w prostym rozciąganiu(ścisk.)σzr-napr.niszczące przy rozc., σzc-przy ściskaniu.Jeżeli stan naprężenia określony przez napr.główne σ1 > σ2 > σ3; −σzc ≤ σ1 ≤ σzr; −σzc ≤ σ2 ≤ σzr; −σzc ≤ σ3 ≤ σzr; Płaski stan naprężenia σ3 = 0; −σzc ≤ σ1 ≤ σzr; −σzc ≤ σ2 ≤ σzr; Hip.ta ma zastosowanie tylko dla materiałów kruchych.Przy ścinaniu σ1 = −σ2 Napr.niszczące przy ścinaniu τ2 = σzr , z dośw. τ2 = 0, 6σzr, dla rozciągania σ0 = σzr,
2.Hip.najw.odkształcenia(wydłużenia) liniowego de Saint Venant,wd.tej hip.o wyt.materiału decyduje najw.wydłużenie względne.Zniszczenie zachodzi wtedy gdy najw.wydłuż.wzg.w złożonym stanie napr.osiągnie wartość wydłuż. odpowiadającą napr.niebezpiecznemu w próbie rozciągania. ε1 > ε2 > ε3; εzr-odkształcenie niszczące; εzc≤ε1 ≤ εzr; εzc≤ε2 ≤ εzr; εzc≤ε3 ≤ εzr;
Pr.Hooke’a-hip.dotyczy mat.sprężystych. σ1 − ϑ(σ2+σ3) ≤ σzr; σ2 − ϑ(σ1+σ3) ≤ σzr; σ3 − ϑ(σ1+σ2) ≤ σzr;Płaski st napr. σ3 = 0; σ1 − ϑσ2 ≤ σzr; σ2 − ϑσ1 ≤ σzr; −ϑ(σ1 + σ2)≤σzr;
3.Hip.najw.napr. stycznego τmax-Coulomb. O wytężeniu decyduje najw.napr.styczne. Zniszczenie zachodzi wtedy,gdy najw.napr.st. w złożonym stanie napr.osiągnie wartość napr. stycznego odpowiadającą napr.niebezpiecznemu w prostym rozciąganiu(ścisk.) τmax = (σmax − σmin)/2; rozciąganieτmax = σ0/2; σmax − σmin = σ0; σmax − σmin = σred; σred ≤ σzr; σ1 > σ2 > σ3; −σzc ≤ σy − σ2 ≤ σzr; −σzc ≤ σ2 − σ3 ≤ σzr; −σzc ≤ σ3 − σ1 ≤ σzr; Płaski stan napr. σ3 = 0; −σzc ≤ σ1 − σ2 ≤ σzr; −σzc ≤ σ2 ≤ σzr; −σzc ≤ −σ1 ≤ σzr.
Hipotezy energetyczne
1.Hip.najw. energi sprężystej-Beltriami. Zniszczenie zachodzi wtedy, gdy całk.energia odkształcenia w złożonym stanie napr. osiągnie wartość całk.właściwej energi odkształcenia,która odpowiada napr. przy prostym rozc. σ1, σ2, σ3-stan naprężenia; $\varnothing = \left( \frac{1}{2E} \right)\lbrack\sigma_{1}^{2}$+σ22 + σ32-2ϑ(σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1)]; $\varnothing = \left( \frac{1}{2} \right)\lbrack\sigma_{1}\varepsilon_{1} + \sigma_{2}\varepsilon_{2} + \sigma_{3}\varepsilon_{3}\rbrack$; Rozciąg. $\varnothing = (\frac{1}{2E})\sigma_{0}^{2}$; $\left( \frac{1}{2E} \right)\sigma_{0}^{2} = \left( \frac{1}{2E} \right)\lbrack\sigma_{1}^{2}$+σ22 + σ32-2ϑ(σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1)]; $\sigma_{\text{red}} = \sqrt{\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} + \sigma_{3}^{2} - 2\vartheta(\sigma_{1}\sigma_{2} + \sigma_{2}\sigma_{3} + \sigma_{3}\sigma_{1})}$ ; σred ≤ σzr, Płaski stan napr. σ3 = 0; $\sigma_{\text{red}} = \sqrt{\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} - 2\vartheta(\sigma_{1}\sigma_{2})}$
2.Hip.najw.energii odkształcenia postaciowego(Huber)
Zniszczenie zachodzi wtedy,gdy energia odkształcenia post. w złożonym stanie napr.osiągnie wart. energii odpowiadającą napr.niebez.w prostym rozc. σx, σy, σz,τxy, τyz, τzx; $\varnothing = \lbrack(1 + \vartheta)/6E\rbrack\ {\lbrack(\sigma}_{x} - \sigma_{y})\hat{}2 + {(\sigma}_{y} - \sigma_{z})\hat{}2 + {(\sigma}_{z} - \sigma_{x})\hat{}2 +$6(τxy2+τyz2+τzx2)] ; ⌀ = [(1 + ϑ)/6E]2σ02; $\sigma_{\text{red}} = (1/\sqrt{2})\sqrt{{\lbrack(\sigma}_{x} - \sigma_{y})\hat{}2 + {(\sigma}_{y} - \sigma_{z})\hat{}2 + {(\sigma}_{z} - \sigma_{x})\hat{}2 + 6(\tau_{\text{xy}}^{2} + \tau_{\text{yz}}^{2} + \tau_{\text{zx}}^{2})\rbrack}$ ; σred ≤ σzr ; $\sigma_{\text{red}} = \sqrt{(\sigma_{x}^{2} + \sigma_{y}^{2} + \sigma_{z}^{2} - \sigma_{x}\sigma_{y} - \sigma_{y}\sigma_{z} - \sigma_{z}\sigma_{x} + 3\left( \tau_{\text{xy}}^{2} + \tau_{\text{yz}}^{2} + \tau_{\text{zx}}^{2} \right))}$; Napr.główne σ1, σ2, σ3 , ; $\sigma_{\text{red}} = \sqrt{(\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} + \sigma_{3}^{2} - \sigma_{1}\sigma_{2} - \sigma_{2}\sigma_{3} - \sigma_{3}\sigma_{1})}$ ; Płaski stan napr. σ3 = 0 , σ2 = 0 , τyz = τzx = 0 ; $\sigma_{\text{red}} = \sqrt{(\sigma_{x}^{2} + \sigma_{y}^{2} - \sigma_{x}\sigma_{y} + 3\left( \tau_{\text{xy}}^{2} \right))}$; dla $\sigma_{1},\sigma_{2}\ \sigma_{\text{red}} = \sqrt{(\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} - \sigma_{1}\sigma_{2})}$ ; dla ścinania σx = σy = 0; $\sigma_{\text{red}} = \sqrt{3}\tau_{\text{xy}}$; $\tau_{z} = (\frac{1}{\sqrt{3}})\sigma_{\text{zr}}$
Układy liniowo sprężyste Clapeyrona
ULSC nazywamy ukł,w którym przemieszczenie dowolnego punktu wywołane działaniem sił zewn.będących w równowadze jest liniową funkcją tych sił.W ukł.tych obowiązuje zas.superpozycji przemieszczeń, czyli przem.dowolnego punktu jest sumą przem.wywołanych przez poszczególne siły.
ULS gdy:1.MateriałLS.2.Ukł. jest w równowadze.3.Nie ma rozpraszania energi.4.Przemieszcz są małe.
TW.CASTIGLIANO-pochodna cząstk. En.sprężystej ukł.LS względem siły uogólnionej jest równa przemieszczeniu uogólnionemu odpowiadającemu tej sile a wywołanemu działaniem wszystkich sił obowiązujących układ. $\frac{\partial U}{\partial}Q_{K} = q_{K}$; y=(1/EI)$\sum_{i = 1}^{h}{\int_{}^{}{M_{\text{gi}}\frac{\partial M_{\text{gi}}}{\partial P}}}dx_{i}$ ; $\vartheta = (1/EI)\sum_{i = 1}^{h}{\int_{}^{}{M_{\text{gi}}\frac{\partial M_{\text{gi}}}{\partial M}dx_{i}}}$
TW.BETTIEGO jeżeli na ukł.LS działają 2 grupy sił to praca sił ukł.pierwszego Qj na odpowiadających im przemieszczeniach wywołanych działaniem sił ukł.drugiego QK jest równa sumie prac sił ukł.2 na odpowiadających im przemiesz.Wywołanych dział. sił ukł.1. $\sum_{k = 1}^{h}{\sum_{j = 1}^{m}q_{\text{jk}}}Q_{j} = \sum_{j = 1}^{m}{\sum_{k = 1}^{h}q_{\text{kj}}}Q_{K}$
Jeśli Qj = QK, qjk = qkj, kj * QK = jk * Qj − TW.MAXWELLA
Układy statycznie niewyznaczalne
TW.MENABRE-CASTIGLIANO o minimum en.sprężystej $\frac{\partial U}{\partial R_{i}} = 0$ - warunek ekstremum energii spręż.względem wielk.hiperstatycz., Ri-wielkość statycznie niewyzn. W ukł.LS.sztywno podpartym pochodna cząstkowa energii spręż.całego ukł.względem wielkości podporowej hiperstatycznej jest równa 0.
METODA MAXWELLA MOHRA WYZNACZANIA WIELKOŚĆI HIPERSTAT. 1)Układ podstawowy:stat.wyznaczalny, odrzucenie reakcji hiperst. 2)stan „0”-ukł.podst.obciążony obciążeniem zewn. 3)stan „i” i=1…n-stopień stat.niewyzn.:układ podst.obciążony i-tą reakcją hiperst.
Siła Krytyczna Pkr-nazywamy graniczną wart.siły przy której ściskany pręt traci stateczność prostoliniowej postaci.Wyboczeniem nazywamy zjaw. Niestabilności prostoliniowej pręta osiowo ściskanego przy obciąż. go siła P osiąg.wartość Pkr. EJ(d2y/dx2)=-Mg ; Mg=P*y ; EJ(d2y/dx2)+P*y=0; (d2y/dx2)+k2y=0; k2=P/EI; y=Asinkx+Bcoskx; z war.brzegowych otrzymujemy Pkr=(π2EI)/L2;y=Asin(πx/L)
Powłoki(Założenia teorii błonowej):1)Grubość powłoki σ jest mała w porów. z pozostał. wymiarami.
2) Ugięcia powłoki są małe w stosunku do jej grubości 3)Naprężenia w przekrojach poprzecz. Mają rozkład równom. i są równoległe do powierzch. środkowej powłoki.; ρt-promień krzywizny równoleżnikowy; ρp-pr.krz.południkowej; σt-napr.obwodowe; σp-napr.południkowe; Wyprowadzenie r.Laplace’a: 2$\sigma_{t}\delta d_{\text{sp}}\sin\left( \frac{d\varphi_{t}}{2} \right) + 2\sigma_{p}\delta d_{\text{st}}\sin\left( \frac{d\varphi_{p}}{2} \right)$=pdstdsp = L; d$\varphi_{t} = \frac{d_{\text{st}}}{\rho_{t}};\ $
dφp = dsp/ρp; sin$\frac{d\varphi_{t}}{2}$=$\frac{d\varphi_{t}}{2} = d_{\text{st}}/2\rho_{t}$; sin$\frac{d\varphi_{p}}{2}$=$\frac{d\varphi_{p}}{2} = d_{\text{sp}}/2\rho_{p}$; 2$\sigma_{t}\delta d_{\text{sp}}(\frac{d_{\text{st}}}{2\rho_{t}}) + 2\sigma_{p}\delta d_{\text{st}}{(d}_{\text{sp}}/2\rho_{p})$=pdstdsp = L; ost: $\left( \frac{\sigma_{t}}{\rho_{t}} \right) + \left( \frac{\sigma_{p}}{\rho_{p}} \right) = p/\ \delta$; Zbiornik Kulisty ρt = ρp=R; σt = σp = σ; $\sigma = \frac{\text{PR}}{2\delta};$ Zbiornik walcowy ρt=R, ρp = ∞; $\left( \frac{\sigma_{t}}{R} \right) + \left( \frac{\sigma_{p}}{\infty} \right) = p/\ \delta$; σt=PR/δ; σp=PR/2δ; σt = 2σp
Hipotezy wytężeniowe:1)największego rozciągania,miarą wytęż.jest najw.napr. rozciągające 2)największego napr.normalnego σzc < σ1 < σzr; σzc < σ2 < σzr; σzc < σ3 < σzr 3)odkształceń właściwych, żadne z odkszt.wł. nie może być większe od najw. Wydłużenia właś.przy rozciąganiu. ε1 < εzr, ε2 < εzr, ε3 < εzr 4)najw. Naprężeń stycznych 5)energetyczna-miarą wytężenia materiału jest en.właściwa odkształcenia postaciowego