Hipotezy naprężeniowe i odkształceniowe

1.Hip.najw.napr.normalnego(Galileusza).Wd.tej hip. o naprężeniu materiału decyduje najwiek.napr.normalne.Zniszczenie następuje wtedy,gdy najwięk. napr. normalne w zlożonym stanie napr.osiagnie wartość napr.niebezpiecznego w prostym rozciąganiu(ścisk.)σ_zr-napr.niszczące przy rozc., σ_zc-przy ściskaniu.Jeżeli stan naprężenia określony przez napr.główne σ₁ > σ₂ > σ₃; −σ_zc ≤ σ₁ ≤ σ_zr; −σ_zc ≤ σ₂ ≤ σ_zr; −σ_zc ≤ σ₃ ≤ σ_zr; Płaski stan naprężenia σ₃ = 0; −σ_zc ≤ σ₁ ≤ σ_zr; −σ_zc ≤ σ₂ ≤ σ_zr; Hip.ta ma zastosowanie tylko dla materiałów kruchych.Przy ścinaniu σ₁ = −σ₂ Napr.niszczące przy ścinaniu τ₂ = σ_zr , z dośw. τ₂ = 0, 6σ_zr, dla rozciągania σ₀ = σ_zr,

2.Hip.najw.odkształcenia(wydłużenia) liniowego de Saint Venant,wd.tej hip.o wyt.materiału decyduje najw.wydłużenie względne.Zniszczenie zachodzi wtedy gdy najw.wydłuż.wzg.w złożonym stanie napr.osiągnie wartość wydłuż. odpowiadającą napr.niebezpiecznemu w próbie rozciągania. ε₁ > ε₂ > ε₃; ε_zr-odkształcenie niszczące; ε_zc≤ε₁ ≤ ε_zr; ε_zc≤ε₂ ≤ ε_zr; ε_zc≤ε₃ ≤ ε_zr;

Pr.Hooke’a-hip.dotyczy mat.sprężystych. σ₁ − ϑ(σ₂+σ₃) ≤ σ_zr; σ₂ − ϑ(σ₁+σ₃) ≤ σ_zr;   σ₃ − ϑ(σ₁+σ₂) ≤ σ_zr;Płaski st napr. σ₃ = 0; σ₁ − ϑσ₂ ≤ σ_zr; σ₂ − ϑσ₁ ≤ σ_zr; −ϑ(σ₁ + σ₂)≤σ_zr;

3.Hip.najw.napr. stycznego τ_max-Coulomb. O wytężeniu decyduje najw.napr.styczne. Zniszczenie zachodzi wtedy,gdy najw.napr.st. w złożonym stanie napr.osiągnie wartość napr. stycznego odpowiadającą napr.niebezpiecznemu w prostym rozciąganiu(ścisk.) τ_max = (σ_max − σ_min)/2; rozciąganieτ_max = σ₀/2;  σ_max − σ_min = σ₀; σ_max − σ_min = σ_red; σ_red ≤ σ_zr; σ₁ > σ₂ > σ₃; −σ_zc ≤ σ_y − σ₂ ≤ σ_zr; −σ_zc ≤ σ₂ − σ₃ ≤ σ_zr; −σ_zc ≤ σ₃ − σ₁ ≤ σ_zr; Płaski stan napr. σ₃ = 0; −σ_zc ≤ σ₁ − σ₂ ≤ σ_zr; −σ_zc ≤ σ₂ ≤ σ_zr; −σ_zc ≤ −σ₁ ≤ σ_zr.

Hipotezy energetyczne

1.Hip.najw. energi sprężystej-Beltriami. Zniszczenie zachodzi wtedy, gdy całk.energia odkształcenia w złożonym stanie napr. osiągnie wartość całk.właściwej energi odkształcenia,która odpowiada napr. przy prostym rozc. σ₁, σ₂, σ₃-stan naprężenia; $\varnothing = \left( \frac{1}{2E} \right)\lbrack\sigma_{1}^{2}$+σ₂² + σ₃²-2ϑ(σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₃σ₁)]; $\varnothing = \left( \frac{1}{2} \right)\lbrack\sigma_{1}\varepsilon_{1} + \sigma_{2}\varepsilon_{2} + \sigma_{3}\varepsilon_{3}\rbrack$; Rozciąg. $\varnothing = (\frac{1}{2E})\sigma_{0}^{2}$; $\left( \frac{1}{2E} \right)\sigma_{0}^{2} = \left( \frac{1}{2E} \right)\lbrack\sigma_{1}^{2}$+σ₂² + σ₃²-2ϑ(σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₃σ₁)]; $\sigma_{\text{red}} = \sqrt{\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} + \sigma_{3}^{2} - 2\vartheta(\sigma_{1}\sigma_{2} + \sigma_{2}\sigma_{3} + \sigma_{3}\sigma_{1})}$ ; σ_red ≤ σ_zr, Płaski stan napr. σ₃ = 0; $\sigma_{\text{red}} = \sqrt{\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} - 2\vartheta(\sigma_{1}\sigma_{2})}$

2.Hip.najw.energii odkształcenia postaciowego(Huber)

Zniszczenie zachodzi wtedy,gdy energia odkształcenia post. w złożonym stanie napr.osiągnie wart. energii odpowiadającą napr.niebez.w prostym rozc. σ_x, σ_y, σ_z,τ_xy, τ_yz, τ_zx; $\varnothing = \lbrack(1 + \vartheta)/6E\rbrack\ {\lbrack(\sigma}_{x} - \sigma_{y})\hat{}2 + {(\sigma}_{y} - \sigma_{z})\hat{}2 + {(\sigma}_{z} - \sigma_{x})\hat{}2 +$6(τ_xy²+τ_yz²+τ_zx²)] ; ⌀ = [(1 + ϑ)/6E]2σ₀²; $\sigma_{\text{red}} = (1/\sqrt{2})\sqrt{{\lbrack(\sigma}_{x} - \sigma_{y})\hat{}2 + {(\sigma}_{y} - \sigma_{z})\hat{}2 + {(\sigma}_{z} - \sigma_{x})\hat{}2 + 6(\tau_{\text{xy}}^{2} + \tau_{\text{yz}}^{2} + \tau_{\text{zx}}^{2})\rbrack}$ ; σ_red ≤ σ_zr ; $\sigma_{\text{red}} = \sqrt{(\sigma_{x}^{2} + \sigma_{y}^{2} + \sigma_{z}^{2} - \sigma_{x}\sigma_{y} - \sigma_{y}\sigma_{z} - \sigma_{z}\sigma_{x} + 3\left( \tau_{\text{xy}}^{2} + \tau_{\text{yz}}^{2} + \tau_{\text{zx}}^{2} \right))}$; Napr.główne σ₁, σ₂, σ_3 , ; $\sigma_{\text{red}} = \sqrt{(\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} + \sigma_{3}^{2} - \sigma_{1}\sigma_{2} - \sigma_{2}\sigma_{3} - \sigma_{3}\sigma_{1})}$ ; Płaski stan napr. σ₃ = 0 , σ₂ = 0 , τ_yz = τ_zx = 0 ; $\sigma_{\text{red}} = \sqrt{(\sigma_{x}^{2} + \sigma_{y}^{2} - \sigma_{x}\sigma_{y} + 3\left( \tau_{\text{xy}}^{2} \right))}$; dla $\sigma_{1},\sigma_{2}\ \sigma_{\text{red}} = \sqrt{(\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} - \sigma_{1}\sigma_{2})}$ ; dla ścinania σ_x = σ_y = 0;   $\sigma_{\text{red}} = \sqrt{3}\tau_{\text{xy}}$; $\tau_{z} = (\frac{1}{\sqrt{3}})\sigma_{\text{zr}}$

Układy liniowo sprężyste Clapeyrona

ULSC nazywamy ukł,w którym przemieszczenie dowolnego punktu wywołane działaniem sił zewn.będących w równowadze jest liniową funkcją tych sił.W ukł.tych obowiązuje zas.superpozycji przemieszczeń, czyli przem.dowolnego punktu jest sumą przem.wywołanych przez poszczególne siły.

ULS gdy:1.MateriałLS.2.Ukł. jest w równowadze.3.Nie ma rozpraszania energi.4.Przemieszcz są małe.

TW.CASTIGLIANO-pochodna cząstk. En.sprężystej ukł.LS względem siły uogólnionej jest równa przemieszczeniu uogólnionemu odpowiadającemu tej sile a wywołanemu działaniem wszystkich sił obowiązujących układ. $\frac{\partial U}{\partial}Q_{K} = q_{K}$; y=(1/EI)$\sum_{i = 1}^{h}{\int_{}^{}{M_{\text{gi}}\frac{\partial M_{\text{gi}}}{\partial P}}}dx_{i}$ ; $\vartheta = (1/EI)\sum_{i = 1}^{h}{\int_{}^{}{M_{\text{gi}}\frac{\partial M_{\text{gi}}}{\partial M}dx_{i}}}$

TW.BETTIEGO jeżeli na ukł.LS działają 2 grupy sił to praca sił ukł.pierwszego Q_j na odpowiadających im przemieszczeniach wywołanych działaniem sił ukł.drugiego Q_K jest równa sumie prac sił ukł.2 na odpowiadających im przemiesz.Wywołanych dział. sił ukł.1. $\sum_{k = 1}^{h}{\sum_{j = 1}^{m}q_{\text{jk}}}Q_{j} = \sum_{j = 1}^{m}{\sum_{k = 1}^{h}q_{\text{kj}}}Q_{K}$

Jeśli Q_j = Q_K, q_jk = q_kj, kj * Q_K = jk * Q_j − TW.MAXWELLA

Układy statycznie niewyznaczalne

TW.MENABRE-CASTIGLIANO o minimum en.sprężystej $\frac{\partial U}{\partial R_{i}} = 0$ - warunek ekstremum energii spręż.względem wielk.hiperstatycz., R_i-wielkość statycznie niewyzn. W ukł.LS.sztywno podpartym pochodna cząstkowa energii spręż.całego ukł.względem wielkości podporowej hiperstatycznej jest równa 0.

METODA MAXWELLA MOHRA WYZNACZANIA WIELKOŚĆI HIPERSTAT. 1)Układ podstawowy:stat.wyznaczalny, odrzucenie reakcji hiperst. 2)stan „0”-ukł.podst.obciążony obciążeniem zewn. 3)stan „i” i=1…n-stopień stat.niewyzn.:układ podst.obciążony i-tą reakcją hiperst.

Siła Krytyczna P_kr-nazywamy graniczną wart.siły przy której ściskany pręt traci stateczność prostoliniowej postaci.Wyboczeniem nazywamy zjaw. Niestabilności prostoliniowej pręta osiowo ściskanego przy obciąż. go siła P osiąg.wartość P_kr. EJ(d²y/dx²)=-M_g ; M_g=P*y ; EJ(d²y/dx²)+P*y=0; (d²y/dx²)+k²y=0; k²=P/EI; y=Asinkx+Bcoskx; z war.brzegowych otrzymujemy P_kr=(π²EI)/L²;y=Asin(πx/L)

Powłoki(Założenia teorii błonowej):1)Grubość powłoki σ jest mała w porów. z pozostał. wymiarami.

2) Ugięcia powłoki są małe w stosunku do jej grubości 3)Naprężenia w przekrojach poprzecz. Mają rozkład równom. i są równoległe do powierzch. środkowej powłoki.; ρ_t-promień krzywizny równoleżnikowy; ρ_p-pr.krz.południkowej; σ_t-napr.obwodowe; σ_p-napr.południkowe; Wyprowadzenie r.Laplace’a: 2$\sigma_{t}\delta d_{\text{sp}}\sin\left( \frac{d\varphi_{t}}{2} \right) + 2\sigma_{p}\delta d_{\text{st}}\sin\left( \frac{d\varphi_{p}}{2} \right)$=pd_std_sp = L;   d$\varphi_{t} = \frac{d_{\text{st}}}{\rho_{t}};\ $

dφ_p = d_sp/ρ_p; sin$\frac{d\varphi_{t}}{2}$=$\frac{d\varphi_{t}}{2} = d_{\text{st}}/2\rho_{t}$; sin$\frac{d\varphi_{p}}{2}$=$\frac{d\varphi_{p}}{2} = d_{\text{sp}}/2\rho_{p}$; 2$\sigma_{t}\delta d_{\text{sp}}(\frac{d_{\text{st}}}{2\rho_{t}}) + 2\sigma_{p}\delta d_{\text{st}}{(d}_{\text{sp}}/2\rho_{p})$=pd_std_sp = L; ost: $\left( \frac{\sigma_{t}}{\rho_{t}} \right) + \left( \frac{\sigma_{p}}{\rho_{p}} \right) = p/\ \delta$; Zbiornik Kulisty ρ_t = ρ_p=R; σ_t = σ_p = σ; $\sigma = \frac{\text{PR}}{2\delta};$ Zbiornik walcowy ρ_t=R, ρ_p = ∞; $\left( \frac{\sigma_{t}}{R} \right) + \left( \frac{\sigma_{p}}{\infty} \right) = p/\ \delta$; σ_t=PR/δ; σ_p=PR/2δ; σ_t = 2σ_p

Hipotezy wytężeniowe:1)największego rozciągania,miarą wytęż.jest najw.napr. rozciągające 2)największego napr.normalnego σ_zc < σ₁ < σ_zr; σ_zc < σ₂ < σ_zr; σ_zc < σ₃ < σ_zr 3)odkształceń właściwych, żadne z odkszt.wł. nie może być większe od najw. Wydłużenia właś.przy rozciąganiu.  ε₁ < ε_zr,  ε₂ < ε_zr, ε₃ < ε_zr 4)najw. Naprężeń stycznych 5)energetyczna-miarą wytężenia materiału jest en.właściwa odkształcenia postaciowego