Transformata Laplace’a

Przekształcenie Laplace’a zalicza się do tzw. Metod operatorowych, a zespół twierdzeń i reguł związanych z zastosowaniem przekształcenia Laplace’a nazywa się rachunkiem operatorowym. Założenia:

1) Funkcja argumentu rzeczywistego f(t) jest nieujemna, tzn. f(t)=0 dla t<0.

2) Funkcja f(t) jest jednoznacznie określona w całym przedziale od 0 do ∞.

3) Funkcja f(t) w przedziale od 0 do ∞ jest ciągła z wyjątkiem co najwyżej punktów nieciągłości w każdym skończonym przedziale; w punktach tych następuje skok funkcji o skończoną waty ość (punkty nieciągłości pierwszego rodzaju)

4) Funkcja f(t) wzrasta co do wartości bezwzględnej nie szybciej niż funkcja wykładnicza, tzn. do danej funkcji f(t) można dobrać taką liczbę M oraz taką stałą nieujemną α, że dla wszelkich wartości argumentu zachodzi |f(t)|<Mexp(αt)

!!!!! s=σ+jw. !!!!!

Transformata Laplace’a: F(s)= ∫(od0do∞)f(t)e^-stdt

Odwrotna transformata Laplace’a f(t)=1/2π∫(od-∞do∞)F(σ+jw)e^(σ+jw)tdw

Własności:

-liniowość: α{λ₁f₁(t)+λ₂f₂(t)}= λ₁F₁(s)+λ₂F₂(s)

-splot: α{f₁(t)¤f₂(t)}= F₁(s)*F₂(s)