Ortogonalizacja Grama-Schmidta

Zastosowanie metody przedstawimy na przykładach. Teorię można znaleźć w podręcznikach z algebry liniowej czy w internecie (np.http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Grama-Schmidta).

Spis przykładów

• Przykład 1 w 

• Przykład 2 w 

• Przykład 3 w 

• Przykład 4 w 

• Przykłady z Forum

Przykład 1
Dane są wektory 

w przestrzeni wektorowej  ze standardowym iloczynem skalarnym. Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako  i zapisujemy:

Obliczamy iloczyny skalarne:

Nową bazę stanowią wektory:

Przykład 2
Dane są wektory

w przestrzeni wektorowej  ze standardowym iloczynem skalarnym. Przeprowadź ortonormalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy (na razie tylko ortogonalnej, normalizację przeprowadzimy później) oznaczamy jako  i zapisujemy:

Wpierw wyznaczamy wektor , w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:

Zapisujemy wektor :

Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na :

Możemy zatem zapisać wektor :

Następnie obliczamy normy wektorów :

Bazę ortonormalną oznaczamy przez  i zapisujemy:

Przykład 3
Dane są wektory

w przestrzeni wektorowej  z iloczynem skalarnym . Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako  i zapisujemy:

Wpierw wyznaczamy wektor , w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:

Zapisujemy wektor :

Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na :

Możemy zatem zapisać wektor :

Przykład 4
Dane są wektory

w przestrzeni funkcji ciągłych  z iloczynem skalarnym

Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako  i zapisujemy:

Wpierw wyznaczamy wektor , w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:

Zapisujemy wektor :

Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na :

Możemy zatem zapisać wektor :