LAB1

Zadanie 1

Pewna gra polega na 6-krotnym rzucaniu symetryczną monetą. Wygrywa ta osoba, która uzyska w rzutach najwięcej orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo pojawienia się w sześciu rzutach samych reszek (zero orłów), 1, 2, 3, 4, 5, 6 orłów? (X - zmienna losowa - określająca liczbę orłów (liczbę sukcesów) w sześciu rzutach symetryczną monetą).

n=liczba prób p=prawdopodobieństwo(np.: dla monety p=0,5)

a)rozkład prawdopodobieństwa

k	P(X=k)	P(X<=k)	F(x)=P(X<k)
Od 0 do n rzutów	Rozkład dwumianowy K N P 0	Rozkład dwumianowy K N P 1	P(X<=k) - P(X=k)

b) rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanty

k(P(X=k)) i k(F(x)=P(X<k))

c) prawdopodobieństwo otrzymania (np: 1 orła w 6 rzutach monetą = P(X=1))

d)Wartość oczekiwana E(X)=(n*p) wariacja V(X)=(n*p*(1-p))

Zadanie 2

Przemysłowe urządzenie elektryczne na skutek przeciążenia sieci zasilającej wymaga ponownego uruchomienia średnio 2 razy w ciągu doby, a rozkład liczby ponownych uruchomień może być opisany za pomocą rozkładu (Poissona).

Lambda=średnia ilość wystąpień w okresie czasu

k	P(X=k)	P(X<=k)	F(x)=P(X<k)
Od 0 do n rzutów	Rozkład Poissona K lambda 0	Rozkład Poissona K lambda 1	P(X<=k) - P(X=k)

Prawdopodobieństwo k(P(X=k)) dystrybuanta k(F(x))

Zadanie 3

Zaobserwowano, że 20% sztuk w określonej partii towaru posiada wady. Z partii o liczebności 50 sztuk pobieramy zależnie (losując bez zwracania) próbę 3 sztuk. Niech zmienną losową X będzie liczba sztuk wadliwych.

N=liczebność R=ile z wadami n=liczba pobranych p=R/N q=(N-R)/N

k	P(X=k)	P(X<=k)	F(x)=P(X<k)
Od 0 do n próbek	Rozkład HIPERGEOM K n R N	0=P(X=0) 1=P(X=1)+ P(X<=0)	P(X<=k) - P(X=k)

E(X)=(n*R)/N V(X)=npq(1-n/N)/(1-1/N)

LAB2

Zadanie 1.

Czas oczekiwania na wydruk książki w pewnym wydawnictwie jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale [6 miesięcy, 18 miesięcy].

a=6 b=18

x	f(x)	F(x)
Od 0 do 20 co 0.25	f(x<6)=0 f(6 do 18)=1/(b-a) f(x>18)=0	f(x<6)=0 f(6 do 18)=1/(b-a) f(x>18)=1

E(x)=(a+b)/2 V(x)=((b-a)^2)/12 Me=(a+b)2

Zadanie 2.

Produkcja kondensatorów w pewnej fabryce jest całkowicie zautomatyzowana. W okresie dwuletniej obserwacji zauważono, że rozkład czasu między zejściem z taśmy produkcyjnej dwóch kolejnych kondensatorów można zapisać za pomocą zmiennej losowej X o rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną równą 20 sekund (E(X)=20).

E(x)=20=1/lambda V(x)=1/lambda^2 Me=(-ln0.5)/lambda

x	f(x)	F(x)
Od 0 do 30 co 0.5	ROZKŁAD.EXP X lambda 0	ROZKŁAD.EXP X lambda 1

P(x<10)=F(10)

Zadanie 3.

Do wypełniania pojemników z olejem transformatorowym wykorzystywany jest automat. Waga oleju w wypełnionych pojemnikach ma rozkład N (1000g, 50g).

Jakie jest prawdopodobieństwo, że :

a) waga losowo wybranego wypełnionego pojemnika jest mniejsza niż 0,95 kg,

b) waga losowo wybranego wypełnionego pojemnika przekroczy 1,05 kg .

x	f(x)	F(x)
Od 0,85 do 1,15 co 0.1	ROZKŁAD.NORMALNY X 1 0,05 0	ROZKŁAD.NORMALNY X 1 0,05 1

P(x<0,95)=F(0,95)

LAB3

Zad1. Wśród 16 badanych urządzeń pod względem liczby awarii w ciągu jednego tygodnia otrzymano następujące wyniki (oznaczające ilość awarii jednego urządzenia w ciągu jednego tygodnia): 1, 0, 2, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 0, 1. Wyznaczyć szereg rozdzielczy punktowy.

nr. Wariantu(i)	wariant(wartość cechy – xi)	f. LICZ JEŻELI

liczba klas	wariant(wartość cechy)	liczebność	częstość	licz. Skumulowana	częstość skumulowana
Liczba wariantów			Liczebność/ilość danych	Licz skum+licz. Następnego wariantu	Liczebność skumulowana/ilość danych

Zad2. Poddano obserwacji miesięczne wydatki (w zł) pewnej grupy studentów studiujących w Rzeszowie, otrzymując następujące wyniki: 605, 605, 620, 678, 640,…………..637, 636. Przedstawić wynik w postaci szeregu rozdzielczego. Wykreślić odpowiednie histogramy i diagramy oraz dystrybuanty empiryczne.

-Liczebność próby(n): , wartość min : ; wartość max: ; rozstęp(max – min): ; liczba przedziałów(pierwiastek z n-liczebność próby): ; rozpiętość(h=rozstęp/liczba przedziałów): ;

nr. Wariantu(i)	wariant(wartość cechy – xi)	f. LICZ JEŻELI

Liczba przedziałów	Wartość cechy	liczebność	częstość	licz. Skumulowana	częstość skumulowana
	Przedziały= wart min + rozpiętość(h) Np.360-375 376-…		Liczebność/liczebność próby	Licz skum+licz. Następnego wariantu	Liczebność skumulowana/liczebność próby

Wykresy: - histogram i diagram liczebności y(liczebność) x(przedziały) -liniowy i kolumnowy

-histogram i diagram częstości – y(częstość) x(przedziały) -liniowy i kolumnowy

-dystrybuanta empiryczna liczebności– y((liczebność skumul.) x(przedziały)

-dystrybuanta empiryczna częstości – y((częstość skumul.) x(przedziały)

Zad3. Wykonano 40 pomiarów rezystancji losowo wybranych rezystorów o rezystancji R=0,4 kΩ i otrzymano następujące wyniki: 360, 378, 369, 387 ………..439, 437.

Zbudować szereg rozdzielczy, przyjmując liczbę klas k=8. Wykreślić odpowiednie histogramy i diagramy oraz dystrybuanty empiryczne.

-Liczebność próby(n): , wartość min : ; wartość max: ; rozstęp(max – min): ; liczba przedziałów(pierwiastek z n-liczebność próby): ; rozpiętość(h=rozstęp/liczba przedziałów): ;

nr. Wariantu(i)	wariant(wartość cechy – xi)	f. LICZ JEŻELI

Liczba przedziałów	Wartość cechy	liczebność	częstość	licz. Skumulowana	częstość skumulowana
	Przedziały= wart min + rozpiętość(h) Np.360-375 375-…		Liczebność/liczebność próby	Licz skum+licz. Następnego wariantu	Liczebność skumulowana/liczebność próby

Wykresy: - histogram i diagram liczebności y(liczebność) x(przedziały) -liniowy i kolumnowy

-histogram i diagram częstości – y(częstość) x(przedziały) -liniowy i kolumnowy

-dystrybuanta empiryczna liczebności– y((liczebność skumul.) x(przedziały)

-dystrybuanta empiryczna częstości – y((częstość skumul.) x(przedziały)

LAB4

Przykład 1.

W badaniu liczby literówek na stronach pewnej książki zaobserwowano następujące wyniki : (liczby reprezentują ilość znalezionych literówek na stronie): 0, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 4, 1, 0, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 5, 3, 6, 2, 1, 4, 2, 4, 1, 0, 2 Wyznaczyć szereg rozdzielczy punktowy.

Populacja- tutaj ksiązki; próba-książka; cecha statystyczna-liczba literówek na stronie książki; liczebność próby-n=liczbie cyferek; liczba wariantów- wartosc cechy k ile różnych literek 7; warianty xi 0,1,2,3,4,5,6;ni liczebność-licz.jezeli(zakres,xi); Nisk – liczebność skumulowana =licz.jezeli(zakres,<=xi);wisk-częstośc skumulowana =Nisk/n

Modalna Mo=wariant występujący najczęściej; srednia aryt =Srednia(najw.el,najmn.el); kwanty pierwszy=kwanty(zakres;1); kwanty drugi mediana =kwanty(zakres;2); kwanty trzeci =kwanty(zakres;3); rozstep R =El.najw/El.najm; odchylenie przeciętne d =Odch.srednie(zakres); odchylenie ćwiartkowe =(q3-q1)/2; wariancja =wariancja.popul(zakres); odchylenie standardowe s =pierwiastek(wariancja); obszar zmienności =srednia.arytm-s <xtyp< =srednia.arytm+s;

Przykład 3. Gęstość upakowania podzespołów elektronicznych pewnego urządzenia, liczącego 90 tysięcy elementów zainstalowanych na dwóch płytkach różnych producentów wynosi 300 elementów/ cm² i 900 elementów/ cm² . Obliczyć przeciętną gęstość upakowania elementów elektronicznych na tych płytkach.

Liczba badanych płytek; xi gęstość upakowania;gęstość przecietna =srednia.harmoniczna(xi)-wartosc poprawna; Sr.arytm =srednia(xi)-wartosc bledna;

Przykład 4

W zakładzie produkującym rezystory otrzymano w 3 -ech kolejnych kwartałach następujące wyniki w mln sztuk: 225 ; 240,6 i 256,5. Jaki jest średni przyrost produkcji rezystorów w ciągu jednego kwartału.

Prodykcja w mln sztuk(kw1,kw2,kw3); indeksy xi pierwszy =kw2/kw1 drugi =kw3/kw2;srednia geom =(pierwszy*drugi)^(1/2) lub funkcja =srednia.geometryczna(pierwszy:drugi)

LAB5

Zad1

Miesięczne wydatki na książki i gazety studentów pewnej uczelni można uznać za cechę o rozkładzie N(20, σ). Wiadomo, że wariancja wynosi 19,36zł. Wyznaczyć 94% przedział ufności dla średnich wydatków studentów. Próba 50 elementów.

W tabelce: n, 1-a, a, m, sigma, Xsr, wariancja, ua =ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-a/2)

Przedział: =Xsr-ua*sigma/Pier(n) =Xsr+ua*sigma/Pier(n) MODEL1

Zad2

Producent baterii chce oszacować przeciętną długość życia baterii. W losowej próbie 14 baterii otrzymano $\overset{\overline{}}{x} = 34,2$ godziny, przy odchyleniu standardowym s=5,9 godziny. Wyznacz 95% przedział ufności dla przeciętnej długości życia baterii.

W tabelce: n, 1-a, a, m, sigma, Xsr, wariancja, ua = ROZKŁAD.T.ODW(a;n-1)

Przedział: =Xsr-ua*sigma/Pier(n) =Xsr+ua*sigma/Pier(n) MODEL2

Zad3

W celu oszacowania średniego rocznego zużycia środków do prania i mycia na jedną osobę w gospodarstwach domowych wylosowano niezależnie 120 gospodarstw i otrzymano następujący rozkład:

Zużycie w kg na osobę	7-8	8-9	9-10	10-11	11-12	12-13
Liczba gosp. domowych	10	15	30	30	20	15

Przyjmując współczynnik istotności α=0,02 oszacować granice przedziału ufności dla średniego rocznego zużycia środków do prania i mycia na jedną osobę w gospodarstwach domowych.

Tabelka1: n, a, 1-a, m, sigma

tabelka2: xi(przedzialy), ni(liczebn.), Sr xi(srodek przed), Sr xi*ni, (sr xi-xsr)^2, (sr xi-xsr)^2*ni

S=PIERWIASTEK(suma((sr xi-xsr)^2*ni )/n)

ua=ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-a/2)

Xsr=suma(Sr xi*ni/n)

Przedział: =Xsr-ua*S/Pier(n) =Xsr+ua*S/Pier(n) MODEL3

LAB6

Zad1

Czas produkcji 5 losowo wybranych sztuk wyrobu (w s) kształtował się następująco: 6,5; 5,7; 6,8; 5,9; 6,7. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,93 oszacować wariancję czasu produkcji ogółu wytwarzanych wyrobów.

Tabelka1: xi, (xi-xsr)^2 Tabelka2: m, sigma, n, Xsr, s^2, 1-a, a, a/2, n-1, 1-a/2

CHI1= ROZKŁAD.CHI.ODW(a/2;n-1) CHI2 =ROZKŁAD.CHI.ODW(1-a/2;n-1)

Prze. Ufność wariancji =n*s^2/chi1 =n*s^2/chi2

Prze. Uf. Odchyl.std =Pier(wyzej) =spier(wyżej)

Zad2

Czuły przyrząd pomiarowy powinien mieć niewielkie odchylenie standardowe błędów pomiaru. W próbie 41 błędów pomiaru stwierdzono s =10. Wyznacz 99% przedział ufności dla odchylenia standardowego błędów pomiaru.

Tabelka: m, sigma, n, Xsr, s^2, 1-a, a, a/2, n-1, 1-a/2,ua, S

Ua =ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-a/2)

Przed.uf, odch std =S-ua*S/PIERWIASTEK(2*n) =S+ua*S/PIERWIASTEK(2*n)

Zad3

60% pracowników spośród wylosowanych 240 osób oceniło warunki bhp w swoim zakładzie pracy jako niezadowalające. Przyjmując współczynnik ufności 0,95 zbuduj przedział ufności dla frakcji niezadowolonych z warunków bhp w całej populacji pracowników. Ustal względną precyzję szacunku nieznanej frakcji p.

Tabelka: n, m, W, 1-a, 1-a/2, a, a/2, ua

Ua =ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-a/2) B(W) =ua/W*PIERWIASTEK(W*(1-W)/n)*100

Prze.uf.od.std =W-ua*PIERWIASTEK(W*(1-W)/n) =W+ua*PIERWIASTEK(W*(1-W)/n)

Zad4

Rozkład wzrostu studentów pewnej uczelni jest rozkładem normalnym (m,10). Ilu studentów należy wylosować do próby, aby ocenić przeciętny wzrost studenta z maksymalnym błędem szacunku d=2 cm na poziomie ufności 0,99?

Tabelka: m, sigma, d, 1-a, 1-a/2, a/2, a, ua

Ua =ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-a/2) n =ua^2*sigma^2/d^2

Zad5

Wiadomo, iż automatyczna piła w walcowni tnie rury, których długość ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym równym . Kontroler jakości chce oszacować nieznaną średnią długość rur z dokładnością nieprzekraczającą d = i z ufnością równą 0,99. Jak liczną próbę powinien pobrać?

Tabelka: m, sigma, d, 1-a, 1-a/2, a/2, a, ua

Ua =ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-a/2) n =ua^2*sigma^2/d^2

Zad6

Jaka powinna być minimalna liczebność próby niezbędna do oszacowania odsetka maturzystów zamierzających kontynuować studia, jeśli w klasie liczącej 30 uczniów 60% z nich zamierza kontynuować naukę w szkole wyższej? Przyjmij współczynnik ufności 0,9 i maksymalny błąd szacunku 5%.

Tabelka: d, m/n, 1-a, 1-a/2, a/2, a, ua

Ua =ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-a/2) n =ua^2*(m/n)*(1-(m/n))/d^2