W sytuacji gdy cecha liczby jest mniejsza od najmniejszej możliwej do zapamiętania w danym sytemie cechy mamy do czynienia z niedomiarem, Liczba taka musi zostać zapamiętana jako 0.
W sytuacji gdy cecha liczby jest większa od największej możliwej do zapamiętania w danym systemie cechy, mamy do czynienia z nadmiarem (overflow), Liczba taka jest pamiętana jako nieskończoność (ze znakiem) INF.
Uwarunkowanie zadania – ukreśla wrażliwość rozwiązania danego zadania na małe zmiany danych początkowych (wejściowych).
Wskaźnikiem uwarunkowania zadania nazywamy współczynnik charakteryzujący wpływ zaburzeń danych na zaburzenie wyniku.
Zadanie źle uwarunkowane to takie, w którym względnie małe zaburzenie danych wejściowych powoduje względnie duże zaburzenie wyniku.
Błąd problemu – jest związany ze sformuowaniem zadania numerycznego. Przyjęty model jest najczęściej uproszczonym modelem realnego zjawiska fizycznego, podczas formuowania stosuje się szereg założeń upraszczających. Np. podczas modelowania maszyny elektr. Niekiedy nie bierze się pod uwagę zjawiska histerezy magnetycznej bądź modeluje się jedynie zjawisko nasycenia.
Błąd obcięcia – wynika z zastąpienia działań nieskończonych lub działań na wielkościach nieskończenie małych przybliżonymi działaniami skończonymi. Np. zastąpienia całki funkcji sumą skończoną jej wartości, zastąpienie pochodnej funkcji ilorazem różnicowym.
Metoda bisekcji jest wolno zbieżna. Rząd metody α=1 (zbieżność liniowa). Jest niezawodna – przy spełnieniu podanych założeń pierwiastek równania f(x)=0 zostanie zawsze znaleziony – jest metodą zbieżną globalnie. W związku z powyższym, metoda ta, pomimo wolnej zbieżności, jest często wykorzystywana w połączeniu z innymi, szybszymi, ale zbieżnymi lokalnie metodami.
Metoda regula falsi wykorzystuje informacje o kształcie funkcji i jest niekiedy szybciej zbieżna niż metoda bisekcji. Rząd metody regula falsi α=1 (zbieżność liniowa). Metoda ta jest zbieżna dla dowolnej funkcji ciągłej w przedziale [a,b], jeśli tylko pierwsza pochodna tej funkcji jest ograniczona i różna od zera w otoczeniu pierwiastka ( [a,b] to przedział izolacji pierwiastka).
Metody bezpośrednie (dokładne) – Generują rozwiązanie układu po skończonej liczbie kroków. Jeżeli obliczenia wykonywane są w arytmetyce idealnej, to rozwiązanie to jest dokładne.
Metody iteracyjne – generują ciąg kolejnych przybliżeń rozwiązania xk startując od przybliżenia początkowego x0. W każdym kolejnym kroku nowe przybliżenie xk+1 jest obliczane na podstawie przybliżenia oprzedniego xk. Przy spełnieniu odpowiednich warunków ciąg {xk} jest zbieżny do dokładnego rozwiązania x w granicy k→∞
Cele interpolacji
Przybliżenie stabelaryzowanej funkcji funkcją analityczną: Stabelaryzowane wartości funkcji mogą pochodzić np. z eksperymentu lub symulacji. Dzięki interpolacji możliwe jest wyznaczenie wartości funkcji w punktach pośrednich (dla x nie znajdujących się w tabeli.) Interpolacja pozwala kreślić ‘gładkie’ krzywe i płaszczyzny grafika komputerowa. Przybliżenie ‘trudnej’ funkcji f(x), funkcją interpolującą p(x) dla której łatwiej jest wykonać pewne operacje: całkowanie, różniczkowanie, znajdowanie zer funkcji nieliniowych.
Interpolacja wielomianowa Dla zbioru n+1 punktów (xi,yi) (i=0,1,2,..n) poszukujemy wielomianu p(x) stopnia n postaci: pn(x) = anxn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a spełniającego warunek: pn(xi) = yi Podstawiając do pn(x) kolejno x0, x1, x2, … otrzymujemy układ n+1 równań liniowych na współczynniki wielomianu.
Aproksymacja punktowa: Mając dane N punktów (xi,yi) (pochodzących np. z eksperymentu) poszukujemy funkcji znanej klasy która będzie możliwie najlepiej dopasowana do zadanych punktów. Poszukiwaną funkcją może być: wielomian zadanego stopnia, lub inna funkcja, której postać wynika z wiedzy o badanym zjawisku (np. funkcja wykładnicza) Ponieważ dane punkty są obarczone błędem pomiarowym lub obliczeniowym, aproksymacja może dawać lepsze rezultaty od interpolacji.
Aproksymacja ciągła: Dla danej funkcji, poszukujemy innej funkcji z pewnej klasy, która możliwie dobrze przybliża zadaną funkcję, jednak jest obliczeniowo prostsza (np. łatwo jest dla niej obliczyć całkę lub pochodną)
Kryterium dopasowania Poszukiwana jest funkcja p(x) która minimalizuje błąd E
• Aproksymacja jednostajna (kryterium minimax) • Kryterium najmniejszych kwadratów jest korzystne ze względu na równomierny rozkład błędów aproksymacji. • Jeśli aproksymowane punkty są obarczone błędem pomiarowym o rozkładzie Gaussa, to aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów daje najlepsze dopasowanie. E = max|f(x)−p(x)| − ciagla E = max|yi−p(xi)| − punktowa − kryterium minimax
Zadanie różniczkowania numerycznego, polega na wyznaczeniu wartości n-tej pochodnej funkcji f(x) w określonym punkcie x0.
Różniczkowanie zwyczajne Powyższe warunki określane są jako warunki początkowe, gdyż zadane wartości szukanej funkcji oraz jej pochodnych określone są w tym samym punkcie a (punkcie początkowym). Inne sformułowanie problemu, zwane zadaniem brzegowym, polega na zadaniu wartości szukanej funkcji w n różnych punktach (warunki brzegowe). Rozwiązaniem równania różniczkowego uzyskanym metodami numerycznymi, jest dyskretny zbiór wartości szukanej funkcji {xi,yi}.