Zbadać stabilność układu zakmniętego

$$G_{1}(s) = \frac{2}{s + 1}\text{\ \ \ \ \ \ \ }G_{2}(s) = \frac{1}{s + 2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }G_{3}(s) = \frac{10}{s + 2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }G_{4}(s) = \frac{1}{s}$$

$$G_{z}(s) = \frac{\frac{G_{1}(s)}{1 + G_{1}(s)}*\left( G_{2}(s) + \frac{G_{3}(s)}{G_{1}(s)} \right)}{1 + \left\lbrack \frac{G_{1}(s)}{1 + G_{1}(s)}*\left( G_{2}(s) + \frac{G_{3}(s)}{G_{1}(s)} \right) \right\rbrack*G_{4}(s)}$$

$$G_{z}(s) = \frac{\frac{\frac{2}{s + 1}}{1 + \frac{2}{s + 1}}*(\frac{1}{s + 2} + \frac{\frac{10}{s + 2}}{\frac{2}{s + 1}})}{1 + \left\lbrack \frac{\frac{2}{s + 1}}{1 + \frac{2}{s + 1}}*\left( \frac{1}{s + 2} + \frac{\frac{10}{s + 2}}{\frac{2}{s + 1}} \right) \right\rbrack*\frac{1}{s}} = \frac{\frac{\frac{2}{s + 1}}{\frac{s + 3}{s + 1}}*(\frac{1}{s + 2} + \frac{5(s + 1)}{s + 2})}{1 + \frac{\frac{2}{s + 1}}{\frac{s + 3}{s + 1}}*\left( \frac{1}{s + 2} + \frac{5\left( s + 1 \right)}{s + 2} \right)*\frac{1}{s}} = \frac{\frac{2}{s + 3}*\frac{5s + 6}{s + 2}}{1 + \frac{2}{s + 3}*\frac{5s + 6}{s + 2}*\frac{1}{s}} = \frac{\frac{10s + 12}{\left( s + 2 \right)*(s + 3)}}{1 + \frac{10s + 12}{s*\left( s + 2 \right)*(s + 3)}} = \frac{\frac{10s + 12}{\left( s + 2 \right)*(s + 3)}}{\frac{s*\left( s + 2 \right)*\left( s + 3 \right) + (10s + 12)}{\left( s + 2 \right)*(s + 3)}} = \frac{10s + 12}{s^{3} + 5s^{2} + 16s + 12}\ $$

$$G_{z}(s) = \frac{10s + 12}{s^{3} + 5s^{2} + 16s + 12}$$

Badamy stabilność układu

$$G_{z}\left( s \right) = \frac{L\left( s \right)}{M(s)} = \frac{L(s)}{s^{3} + 5s^{2} + 16s + 12}$$

M(s) =  s³ + 5s² + 16s + 12

Sprawdzamy kiedy M(s) = 0

M(s) = (s+1)( s² + 4s + 12)

Tylko dla s=-1 , M(s)=0

Badamy czy układ jest stabilny za pomocą reguły Hurwitza
1.
Wszystkie podwyznaczniki M(s) muszą istnieć i mieć taki sam znak
a₃=1
a₂=5
a₁=16
a₀=12
a₀,a₁,a₂,a₃ > 0
warunek konieczny jest spełniony zatem obliczamy warunek wystarczający

2. Wszystkie wyznaczniki Δ­_i muszą być większe od zera aby układ był stabilny
Δ₁=a₁=16



Δ₂=

a1	a0
a3	a4

16	12
1	5

Δ₂= 64

zatem układ jest stabilny


Zbadać własności dynamiczne układu nieliniowego przedstawionego na rys.

$${x\left( t \right) = Asin\omega t\backslash n}{B = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ G\left( s \right) = \frac{1}{3s^{3} + 6s^{2} + s + 1}\backslash n}{I = \frac{4B}{\text{πA}}\backslash n}{k\left( s \right) = G\left( s \right)*I\left( A \right)\backslash n}{G_{z} = \frac{I\left( A \right)G\left( s \right)}{1 + I\left( A \right)G\left( s \right)}\backslash n}{\backslash t1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ G\left( s \right)\ \ \ = - \frac{1}{I\left( A \right)}\text{\ \ \ }}$$