Ekonometria Wykład IV-19.04.2012r.

1. Wybrane problemy budowy modeli ekonometrycznych

Na etapie specyfikacji spotykamy się z różnymi problemami:

• Heteroscedastyczność

• Autokorelacja

• Zjawisko współliniowości

• Koincydencja

• Kataliza

1. Poprawna budowa modeli ekonometrycznych wymaga, aby zmienne objaśniające nie były wzajemnymi kombinacjami liniowymi (aby wartość jednej nie była funkcją innej).

Współliniowość- wartość zmiennych objaśniających polega na tym, że szeregi obserwacji zmiennych objaśniających są nadmiernie skorelowane(pojęcie zostało wprowadzone w 1934r, przez Fischera, problem dotyczy zazwyczaj danych w problem szeregów czasowych).

Jeżeli występuje ścisła korelacja liniowa, to rząd macierzy X (obserwacji zmiennych objaśniających) jest mniejszy od k=1 (k- liczba zmiennych objaśniających), a w konsekwencji macierzy X^TX jest osobliwa, co uniemożliwia wyznaczenie parametrów metodą MNK.

W praktyce dokładna zależność liniowa zmiennych objaśniających jest mało prawdopodobna. Często Janek występuje bardzo zbliżona do ściśle liniowych zależności i wartości zmiennych objaśniających(nadmiernie skorelowane)- mówimy wtedy o przybliżonej współliniowości.

Przyczyny:

• Tendencja kształtowania się wartości wielu kategorii ekonomicznych według tych samych trendów rozwojowych lub szerszej- według podobnych cykli koniunkturalnych

• Współliniowość może być spowodowana małą liczbą obserwacji

• W modelach w których informacje o zmiennych mają charakter danych przekrojowych, występowanie zjawiska jest tłumaczone tendencję do proporcjonalnych zmian wartości zmiennych objaśniających

Skutki:

• Niemożliwy jest poprawny pomiar siły oddziaływania poszczególnych zmiennych na zmienną objaśnianą (założenie ceteris Paribus może być nieaktualne)

• Bezpośredni wpływ na jakość modelu( oceny średnich błędów szacunku parametrów są duże w wartość statystyk t-studenta małe, co sugeruje usunięcie tych zmiennych ze specyfikacji modelu. Możemy otrzymać paradoksalny rezultat: wszystkie zmienne objaśniające są statystycznie nieistotne, a mimo to współczynnik determinacji R² osiąga dużą wartość)

• Niewielkie zmiany w zbiorze danych powodują duże zmiany otrzymanych estymatorach

• Zmiana znaków algebraicznych estymowanych parametrów modelu(współczynniki równania regresji mają ”złe”, czyli nie zgodne z teorią znaki, albo są zbyt małe lub zbyt duże)

• Przybliżona współliniowość nie powoduje utraty przez estymator wektora parametrów α modelu wyznaczony KMNK własności o których mówi twierdzenie Gaussa-Marlowa

W przypadku współliniowości można:

• Zmienić postać funkcyjną modelu

• Usunąć zmienną lub zmienne

• Nałożyć restrykcje na parametry

• Dokonać transformacji zmiennych

• Zastosować inną metodę estymacji parametrów(np. metoda głównych składowych, metoda estymacji grzbietowej)

1. Zasada koincydencji

Pożądaną wartością modelu jest zgodność znaków ocen parametrów i znaków współczynników korelacji. Jeżeli istnieje taka zgodność to mówimy, że model ma własność koincydencji. Wiąże się to bezpośrednio z możliwością sensownego interpretowania estymatorów parametrów modelu ekonometrycznego.

Dla każdej zmiennej objaśniającej

Sqn r_i=sgn$\hat{\propto_{1}}$

Gdy znaki są różne wówczas wartość ocen parametrów nie mają większego poznawczego znaczenia, gdy informują o kierunku oddziaływania zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą zgodnym z rzeczywistością. Przyczyną takiego stanu może być między innymi zbyt duża liczba zmiennych objaśniających w modelu

1. Kataliza

Współczynnik determinacji jest miarą dopasowania modelu ekonometrycznego do danych empirycznych, lecz informacja jaką niesie o modelu może być fałszywa jeśli w modelu występują zmienne, które nazywamy katalizatorami.

Efelt Katalizy polega na tym, że otrzymujemy wysokie R², chociaż charakter i siła powiązań zmiennych objaśniających i zmiennej objaśnianej tego nie uwzględniają(współczynnik determinacji może osiągnąć duże wartości na skutek nie tylko silnego skorelowania zmiennych objaśniających ze zmienną objaśnianą lecz także silnego wzajemnego skorelowania zmiennych objaśniających). Po usunięciu tej zmiennej z modelu i powtórnym oszacowaniu wartość R² jest znacznie mniejsza.

Jak wykrywamy występowanie efektu katalizy?

1. Zmienna X_i z pary zmiennych (X_i,X_j) i<j jest katalizatorem jeśli:

R_ij<0 lub r_u>$\frac{r_{i}}{r_{j}}$ r_i=t(X_i , Y) r_ij=t(X_i , Y_j)

1. Sprawdzamy natężenie efektu katalizy dla całego modelu

Ƞ=R²-H

H- integralna pojemność informacji modelu z metody Hellwiga doboru zmiennych do modelu

1. Względne natężenie efektu katalizy

$$W_{n} = \frac{n}{R^{2}}*100\%$$

1. Estymacja parametrów modeli ekonometrycznych z autokorelacją składnika losowego

Klasycznej MNK nie można stosować, jeżeli nie jest spełnione jedno z założeń, czyli jeśli występuje autokorelacja odchyleń losowych, wariancja odchyleń losowych nie jest stała lub zmienne objaśniające mają charakter losowy. Można wówczas wykorzystywać metody, które opierają się klasycznej MNK …ale uwzględniają niespełnienie któregoś z warunku..

Występowanie autokorelacji sprawia, że estymatory są zgodne, nieobciążone ale nie najefektywniejsze ( w przypadku występowania zjawiska autokorelacji składnika losowego macierz wariancji i kowariancji nie jest macierzą diagonalną), Dla modeli z autokorelacją składnika losowego stosuje się często transformację zmiennych. Jedną z metod szacowania parametrów jest metoda Cochorne’a-Orcuta(metoda różniczki zupełnej, szczególna postać uogólnionej KMNK)

1. Przekształcenie Cochrona-orcutta

Polega na przejściu od modelu

$Y = \sum_{j = 0}^{k}{\alpha_{j}X_{j} + \sigma}$

Do modelu

$$Y = \sum_{j = 0}^{k}{\alpha_{j}{K}_{j} + \sigma}$$

Przy czym

y_i = y_i − p_iy_i − 1 + x₀ = x₀ − p₁x_{i − 1, j}

P_i-autokorelacja składnika losowego rzędu pierwszego

Najczęściej zakładamy, że współczynnik autokorelacji rzędu I jest równy jest równy jedności. Upraszcza to obliczenia oraz interpretację otrzymanych wyników, jednak zdarza się, że otrzymany model jest mniej efektywny. Po dokonaniu zmiany wartości zmiennych liczba dostępnych obserwacji zmniejsza się o jedną. Dla tak przekształconych zmiennych dokonujemy oszacowania parametrów KMNK. Wektor ocen parametrów strukturalnych wyznaczany na podstawie wzoru

$\hat{\alpha} = (x^{T}X)^{- 1}$ X^Ty

Ocenę parametru wolnego wyznaczamy według wzoru

$$\hat{\alpha_{0}} = \overset{\overline{}}{y} - \ \sum_{}^{}{\hat{\alpha_{i}}\overset{\overline{}}{x_{i}}}$$

Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów strukturalnych ma postać:

$$D^{2}\left\{ \hat{\alpha_{i}} \right) = \text{Se}^{2}*(X^{T}X)^{- 1}$$

Gdzie ΔX_i- macierz pierwszych różnic macierzy objaśniających, w której pierwsza kolumna to jedynka.

W przypadku istotnej autokorelacji (test Durbina-Watsona) przekształcamy zmienne i budujemy kolejny model. Kończymy po wyeliminowaniu autokorelacji składnika losowego.

1. Uogólnienia MNK

Uogólniona MNK polega na modyfikacji MNK, która przezwycięża skutki niespełnienia w rzeczywistości założenia mówiącego o homoscedastyczności składnika losowego. MA ona zastosowanie do szacowania parametrów modelu przy niestałości założenia o stałości wariancji odchyleń losowych (mówimy o tzw. Braku sferyczności składnika losowego) lub założenie o braku autokorelacji odchyleń. Wprowadzamy nową, dodatnio określoną macierz symetryczną stopnia n-Ω. Wektor ocen parametrów strukturalnych otrzymamy uogólnioną MNK ma postać :

$$\hat{\alpha} = (X^{T}\mathrm{\Omega}^{- 1}X)^{- 1}X^{T}\mathrm{\Omega}^{- 1}y$$

Macierz Ω jest macierzą diagonalną, której zazwyczaj nie jest znana postać.

W najprostszym przypadku zakłada się wariancja odchyleń losowych jest proporcjonalna do wybranej zmiennej objaśniającej X(ω=X) lub modułowi reszt modelu oszacowanego na podstawie danych pierwotnych za pomocą KMNK.

1. Prognozowanie(predykcja)ekonometryczne:

Proces wnioskowania o przyszłych ( lub ogólnie nieznanych) wartościach zmiennej na podstawie modelu ekonometrycznego objaśniającego tę zmienną.

Zmienne y_i dla której konstruuje się prognozę nazywana jest zmienną prognozowaną natomiast okres na jaki buduje się prognozę nazywa się horyzontem prognozy lub okresem prognozowanym(predykcja) oznaczać go będziemy przez T.

Predyktor to pewien funkcjonał określony w przestrzeni wszystkich modeli ekonometrycznych opisujących badane zjawisko. W praktyce jest to poprawnie wyspecyfikowany oszacowany model ekonometryczny.

Założenia teorii predykcji:

1. Znane są oszacowania parametrów modelu w którym zmienna (zmienne) prognozowane jest zmienną objaśnioną

2. Model powinien być wszechstronnie i pozytywnie zweryfikowany (struktura modelu<postać analityczna i parametry strukturalne> musi być stabilna w czasie zarówno w próbie jak i w okresie prognozowanym)

3. Znane są wartości (lub oszacowanie) zmiennych objaśniających dla określonego horyzontu prognozy

4. Rozkład składnika losowego jest stacjonarny

5. Dopuszczalność eksploatacji poza obserwowany w próbie obszar zmienności zmiennych objaśniających

1. Prognozowanie ekonometryczne

Ze względu na horyzont prognozy dzielimy na:

• Krótkookresowe (operacyjne)

• Średniookresowe (strategiczne)

• Długookresowe (perspektywiczne)

Etapy Prognozowania:

1. Sformułowanie zadania prognostycznego

2. Sformułowanie przesłanek prognozy (określenie czynników kształtujących zjawisko, określenie zbioru danych)

3. Wybór metody prognozowania

4. Wyznaczenie prognozy

5. Ocena dokładności prognozy

1. Zasady predykcji

1. Zasada predykcji nieobciążonej (prognozę wyznacza się na poziomie wartości oczekiwanej zmiennej prognozowanej. Błędy prognozy mają charakter losowy, o średniej zero czyli nie występują błędy systematyczne)

2. Zasada predykcji…

1. Rodzaje prognoz

• Ex post- jest dokonywana dla okresów, dla których znamy realizację zmiennej objaśnionej przez model (wartość zmiennych objaśniających są znane, a sama prognoza może być porównane z wartościami zaobserwowanymi). Prognoza ex-post jest dokonywana aby zbadać własności prognostyczne modelu.

• Ex ante- dostępność danych dotyczących zmiennych objaśniających zależy od długości i struktury występujących opóźnień oraz charakteru zjawisk. Najczęściej dane te są wyznaczone tylko z pewnym prawdopodobieństwem.

1. Podstawowe postulaty predykcji:

• Prognoza powinna być obliczona wraz z odpowiednim miernikiem rzędu dokładności

• Przy wyborze sposobu budowania prognoz należy dążyć do wysokiej efektywności predykcji czyli osiągnięcia zadowalającego rzędu dokładności predykcji

1. Źródła błędów prognoz

1. Błąd estymacji

2. Błąd struktury stochastycznej

3. Błąd losowy

4. Błąd specyfikacji

5. Błąd warunków endogenicznych

6. Błąd warunków egzogenicznych

7. Błąd pomiaru

1. Mierniki rzędu dokładności prognoz

1. Mierniki ex ante:

1. Średni błąd predykcji

V_T=$\sqrt{\text{Se}^{2}(1 + X_{T}(X^{T}X)^{- 1}X_{T}^{T})}$

X_T-wektor wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym T

X- macierz obserwacji na zmiennych objaśniających modelu

Można też skorzystać ze wzoru skalarnego

$$D^{2}\left( \hat{U_{T}} \right) = \sum_{i = 1}^{k}{X_{\text{iT}}^{2}D^{2}(\hat{\alpha_{1})}} + 2\sum_{i}^{}{\sum_{j}^{}X_{\text{iT}}}X_{\text{jT}}\text{cov}\left( \hat{\alpha_{i}},\hat{\alpha_{j}} \right) + \sigma_{T}^{2}$$

Błąd ten informuje o ile średnio w długim ciągu prognoz, wartość zmiennej prognozowanej będą się różnić od prognoz (mierniki te oblicza się przed realizacją). Średni błąd predykcji zależy zatem od: wariancji i kowariancji estymatorów, wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym wariancje składnika losowego.

1. Względny błąd predykcji

$$V_{T} = \frac{V_{T}}{y_{T}}*100\%$$

Informuje jaką procentowo część wartości prognozy stanowi średni błąd predykcji.

1. Mierniki rzędu trafności prognoz

1. Mierniki ex post

1. Średni błąd prognozy(ME):

$$ME = \frac{\sum_{}^{}{(y^{D} - y)}}{N}$$

1. Średni błąd procentowy(MPE):

$$MPE = \frac{\sum_{}^{}\frac{(y^{D} - y)}{y}}{N}*100$$

1. Średni absolutny błąd(MAE):

$$MAE = \frac{\sum_{}^{}{|y^{D} - y|}}{N}$$

1. Średni absolutny błąd procentowy(MAPE):

MAPE=

1. Błąd średniokwadratowy(MSE):

MSE=

1. Prognozowanie na podstawie elastyczności

Prognozy mogą odnosić się nie tylko do bezwzględnego poziomu zmiennej prognozowanej, ale także możliwe jest wnioskowanie o przyrostach tej zmiennej:

• Przyrost bezwzględnych

• Przyrost względnych

Predykcja przyrostów jest szczególnie wygodnym sposobem wnioskowania w przyszłości w sytuacji:

• Gdy informacje o wartościach zmiennych objaśniających modelu w okresie prognozowania są trudno dostępne

• Natomiast łatwo podać przewidywaniom ich przyrosty w okresie prognozowanym

W praktyce predykcji ekonometrycznej szczególnie ważne miejsce zajmuje budowa prognoz względnego przyrostu zmiennej prognostycznej przy użyciu wskaźnika elastyczności np.

• W badaniach popytu konsumpcyjnego

• Przy niektórych…

1. W prognozowaniu na podstawie wskaźnika elastyczności nie może z góry powiedzieć, jaki jest możliwy błąd wnioskowania w przyszłości.

Podstawowe mierniki elastyczności: elastyczność punktową i różnicową

• Elastyczność punktowa zmiennej Y względem zmiennej X₁ w funkcji:

Y=f(X₁,X₂,…,X_k)

Nazywamy wyrażenie:

Ep(x_i)=

Przy czym zakłada się że ΔX₁-> 0 co często jest sprzeczne z rzeczywistym przebiegiem zjawisk ekonomicznych

• Elastyczność punktowa rzędu r zmiennej Y względem zmiennej x_i w funkcji

Y=f(X₁,X₂,…,X_k)

Nazywamy wyrażenie

1. Jeżeli funkcja jest potęgowa tzn Y=

To elastycznością punktową rzędu I (r=1) względem zmiennej X₁ jest parametr α₁ ponieważ

Elastyczność jakie będą względne zmiany(procentowe) zmiennej Y, przy 1% zmianach zmiennej X_i(w tym przypadku wynoszą α_i).

Elastyczność punktową rzędu II (r=2) względem zmiennej X_i: $\text{Ep}^{2}\left| x_{i} \right| = \frac{\alpha_{i}(\alpha_{i} - 1)}{x_{i}}$

Ze względu na to, że definicja elastyczności punktowej zakłada się dowolnie małe zmiany zmiennej x_i(Δx_i->0)

1. Elastyczność różniczkową zmiennej Y względem zmiennej X_i nazywamy stosunek relatywnego przyrostu zmiennej Y (zmiennej objaśnionej) do relatywnego przyrostu zmiennej objaśniającej (zmiennej X_i)

$$E_{r}\left( x_{i} \right) = \frac{Y}{Y} + \frac{X_{i}}{X_{i}}$$

Elastyczność różniczkową można wyrazić za pomocą sumy elastyczności punktowej rzędu r:

E_R(X_i)=

W praktyce szereg powyższy jest bardzo szybko zbieżny i dlatego zwykle wystarczy wziąć pod uwagę 2 lub najwyżej 3 pierwsze wyrazy

1. Jeżeli funkcja jest funkcją potęgowa tzn.

Y = α₀x₁^α₁ * x₂^α₂ * …x_i^α_i…x_k^α_k

To elastyczność różniczkowa wynosi:

$$E_{R}\left( x_{i} \right) = \alpha_{i} + \alpha_{i}\left( \alpha_{i} - 1 \right)*\frac{x}{x_{i}}$$

Prognoza względem przyrostu zmiennej objaśnianej Y:

1. E_R(x_i)=

2. $\frac{Y}{Y} = \ $ gdzie ΔY_t=Y_t+1-Y_t ΔX_n=X_n+1-X_n