DRGANIA HARMONICZNE
1. Napisać i rozwiązać równanie jednowymiarowego oscylatora harmonicznego.
(**) 2. Energia mechaniczna ciała o masie m wykonującego ruch harmoniczny pod działaniem sprężyny o współczynniku sprężystości k ma postać: E=(1/2)mv2+(1/2)kx2. Korzystając z zasady zachowania energii wyprowadzić równanie ruchu tego ciała.
(!!) 3. Jeśli amplituda drgań harmonicznych wynosi A, a okres T, to ile wynosi maksymalna prędkość i maksymalne przyspieszenie?
(!!) 4. Maksymalna prędkość punktu drgającego harmonicznie wynosi v0, a maksymalne przyspieszenie a0. Określić zależność wychylenia od czasu dla tego punktu, jeśli wiadomo, że początkowa faza drgań =0.
5. Na sprężynie wisi szalka z odważnikami. Okres drgań pionowych szalki wynosi 1s. Po obciążeniu szalki dodatkowymi odważnikami okres drgań wzrasta do 1.2s. O ile wydłuży się pod sprężyna pod wpływem dodatkowego ciężaru?
(!!) 6. Znając fazę drgań wyznaczyć stosunek energii potencjalnej punktu materialnego wykonującego drgania harmoniczne do jego energii kinetycznej.
7. Pozioma platforma wykonuje drgania o amplitudzie A. Jaka może być maksymalna częstość tych drgań, by ciało leżące na platformie nie oderwało się?
8. Pozioma platforma wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie A i okresie T. Wyznaczyć silę nacisku, z jaką działa na platformę leżące na niej ciało o masie M.
9. Na poziomym doskonale gładkim stole leży ciało o masie M, przymocowane sprężyną do ściany. W ciało to uderza pocisk o masie m, lecący z prędkością v w kierunku poziomym i pozostaje w nim. Układ zaczyna wykonywać harmoniczne drgania w kierunku poziomym z amplitudą A. Wyznaczyć częstość tych drgań.
10. Ciało o masie m spadło z wysokości h na szalkę wagi sprężynowej i się do niej przylepiło. Układ zaczyna wykonywać harmoniczne drgania w kierunku pionowym. Wyznaczyć amplitudę tych drgań i ich energię. Współczynnik sprężystości sprężyny wynosi k, a masa szalki M.
(*) 11. Jak zmieni się okres drgań ciężarka zawieszonego na dwóch sprężynach, jeśli szeregowe połączenie sprężyn zastąpić równoległym?
(NIE) 12. Wahadło matematyczne o długości l1=81cm wykonuje w pewnym czasie n1=20 drgań. Jak należy zmienić długość wahadła, by w tym samym czasie wykonywało n2=18 drgań?
(NIE) 13. Jeśli wagon pozostaje w spoczynku, to częstość drgań umieszczonego w nim wahadła matematycznego wynosi f=0.5Hz. Jak zmieni się częstość tych drgań, jeśli wagon zacznie poruszać się z przyspieszeniem a=4.9m/s2 ? Płaszczyzna drgań wahadła jest równoległa do kierunku ruchu wagonu.
14. Podać równanie ruchu ciała, które wpadło w szyb, przecinający na wskroś kulę zim emską wzdłuż jej średnicy (wziąć pod uwagę zmienną wartość siły ciężkości w jej wnętrzu). Podać czas, po jakim ciało osiągnie środek Ziemi oraz prędkość, z jaką go minie.
(**) 15. Napisać i rozwiązać równanie jednowymiarowego tłumionego oscylatora harmonicznego.
16. Okres tłumionych drgań wahadła wynosi T=4s. Amplituda drgań maleje o połowę w ciągu dwudziestu sekund. Oblicz logarytmiczny dekrement tłumienia.
17. Na pionowo wiszącej sprężynie zawieszono ciężarek, co spowodowało wydłużenie sprężyny o l. Ciężarek ten wprawiono w drgania. Jaką wartość powinien mieć współczynnik tłumienia , aby: a) amplituda zmalała 100 razy w przeciągu czasu t, b) ciężarek powrócił aperiodycznie do położenia równowagi, c) logarytmiczny dekrement tłumienia był równy 0.
18. Logarytmiczny dekrement tłumienia drgań tłumionych wahadła wynosi =0.02. Obliczyć, ile razy zmniejszy się amplituda drgań po 100 całkowitych wahnięciach.
19. Obliczyć logarytmiczny dekrement drgań tłumionych wahadła o długości l=50cm, jeśli w ciągu t=8min traci ono 99% swojej energii.
(**) 20. Napisać i rozwiązać równanie jednowymiarowego wymuszonego oscylatora harmonicznego.
21. Obliczyć amplitudę rezonansową drgań harmonicznych wymuszonych punktu materialnego, gdy jego masa m=0.2 kg, okres drgań własnych wynosi T0=1s, odwrotność współczynnika tłumienia 1/=1/3 s, a amplituda siły wymuszającej F0=10 N.
22. Ciało o masie M wykonuje drgania harmoniczne tłumione. Chwili t=0 faza drgań była równa zeru, a amplituda wynosiła A0. Na ciało zaczęła działać okresowa siła zewnętrzna, pod wpływem której ustaliły się drgania wymuszone o równaniu: x=Bcos(2t-0.75). Wyznaczyć: a) równanie drgań nietłumionych, b) amplitudę i częstość siły wymuszającej. Stała tłumienia wynosi .
23. Jeżeli częstości siły wymuszającej są równe 1 i 2 to amplitudy drgań wymuszonych pewnego układu są sobie równe. Wyznaczyć częstość rezonansową.
(*) 24. Wagon kolejowy o ciężarze Q0=21582N jest zawieszony na 4 resorach. Przy zwiększeniu obciążenia o Q1=9810N resor ugina się o s=0.016m. Dla jakiej prędkości pociągu mogą wystąpić rezonansowe drgania wagonu pod wpływem uderzeń kół o złącza szyn? Długość szyn l=12.5m.
(*) 25. Przy jakiej prędkości samochód poruszający się po drodze betonowych płyt będzie silnie drgał w kierunku pionowym, jeśli długość płyty wynosi L, a nacisk na resor, który ugina się o x pod wpływem siły FX, wynosi N1.