1) Koniunkcja - p i q (czytamy: „p i q”)
Przykładem takiego zdania koniunkcyjnego (w skrócie: koniunkcji) jest: „pada deszcz i świeci słońce”. Koniunkcja powstaje przez połączenie zdań prostych spójnikiem „i”. W logice zamiast „i” używamy często znaku „∧”, który czytamy jako „i”. Koniunkcję zatem zapiszemy następująco:
p ∧ q
Wartość logiczna koniunkcji wiąże się z wartością logiczną tworzących ją zdań. Koniunkcja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania są prawdziwe. W pozostałych przypadkach koniunkcja jest fałszywa. Zwykle przedstawia to się w postaci następującej:
p q p ∧q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
cyfry 1 i 0 oznaczają tu odpowiednio: 1 - zdanie prawdziwe, 0 - zdanie fałszywe. Zastosowany tu system oznaczania zdań za pomocą cyfr 1 i 0 nazywa się metodą zerojedynkową. 1 zawsze będzie oznaczało prawdę, a 0 - fałsz.
2) Alternatywa - p lub q (czytamy: „p lub q”)
Przykładem zdania alternatywnego jest zdanie: „pojadę autobusem lub pójdę pieszo”.
Alternatywa powstaje przez połączenie zdań spójnikiem „lub”. Oznacza się go symbolem „∨” (czytamy „lub”). Alternatywę zapisuje się następująco:
p ∨ q
Alternatywa jest prawdziwa, gdy co najmniej jedno z tworzących ją zdań, p lub q, jest prawdziwe:
p q p ∨ q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
3) Implikacja - jeżeli p to q
Implikacja, czyli wynikanie, powstaje przez połączenie dwóch zdań prostych za pomocą spójnika „jeżeli..., to”. Spójnik implikacji oznaczamy w logice symbolem „→”. Implikację przedstawia się następująco:
p → q
Przykładem implikacji jest zdanie: „jeżeli obniżymy płace, to spadnie konsumpcja”, ale również zdanie: „jeżeli Kraków jest stolicą Polski, to Franciszek Józef jest cesarzem”. Zauważmy, że człony implikacji nie muszą tworzyć ze sobą związku przyczynowego, choć mogą. W logice interesuje nas wyłącznie formalne połączenie zdań w implikację, a nie związek stanów faktycznych (o których mowa jest w tych zdaniach). W naszych przykładowych zdaniach spadek konsumpcji bywa rzeczywiście efektem obniżki płac, ale to, że Franciszek Józef był cesarzem, nie miało żadnego związku z tym, czy Kraków jest czy nie jest stolicą Polski. Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy pierwsze zdanie jest prawdziwe, a drugie fałszywe. Obrazuje to się następująco:
p q p → q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
4) Równoważność - p wtedy i tylko wtedy gdy q
Równoważność powstaje, gdy połączy się zdania proste spójnikiem „wtedy i tylko wtedy, gdy”. W logice zastępuje go symbol „≡” (czytany „wtedy i tylko wtedy, gdy). Równoważność zapisuje się następująco:
p ≡ q
Przykładem równoważność jest zdanie: „Jutro jest niedziela wtedy i tylko wtedy, gdy dziś jest sobota”. Równoważność wyraża warunek konieczny i wystarczający. Równoważność jest prawdziwa, gdy oba zdania mają tę samą wartość logiczną, czyli wtedy, gdy oba są prawdziwe lub oba są fałszywe:
p q p ≡ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
5) Dysjunkcja - p albo q (w sensie: jedno z dwojga, p albo q)
Spójnik dysjunkcji „albo” oznaczamy symbolem „ / ”. Zdanie dysjunktywne zapiszemy następująco:
p / q
Przykładem dysjunkcji jest zdanie: „Jedno z dwojga albo Kowalski jest kawalerem albo Kowalski jest żonaty”. Dysjunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jej członów (zdań prostych) jest fałszywy:
p q p / q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 1
Zdanie dysjunktywne jest prawdziwe zatem również wtedy, gdy oba zdania, które go tworzą są fałszywe.
Z przedstawionych wyżej zdań złożonych koniunkcyjnych, alternatywnych, implikacyjnych, równoważnościowych i dysjunktywnych można tworzyć zdania jeszcze bardziej od nich złożone.
„→” - symbol implikacji, czyli wynikania logicznego (czyt.: „jeżeli...., to”.
„∧” - symbol koniunkcji, czyli iloczynu logicznego (czyt.: „i”).
„∨” - symbol alternatywy, czyli sumy logicznej (czyt. „lub”).
„≡” - symbol równoważności (czyt.: „wtedy i tylko wtedy, gdy”; „jest równoważne”).
„/” - symbol dysjunkcji (czyt.: „albo” w znaczeniu „co najwyżej jedno z dwojga” ).
Dodamy do powyższych, i znanych już, funktorów jeszcze jeden i to bardzo ważny, a mianowicie funktor negacji:
„∼” - symbol negacji, czyli przeczenia (czyt.: „nieprawda, że”).
Wszystkie podane funktory tworzą właściwe sobie zdania. W najprostszej postaci te zdania przedstawiają się następująco:
p → q (czyt.: jeżeli p, to q) - implikacja, zdanie implikacyjne;
p ∧ q (czyt.: p i q) - koniunkcja, zdanie koniunkcyjne;
p ∨ q (czyt.: p lub q) - alternatywa, zdanie alternatywne;
p ≡ q (czyt.: p wtedy i tylko wtedy, gdy q) - równoważność, zdanie równoważnościowe;
p / q (czyt.: p albo q) - dysjunkcja, zdanie dysjunktywne;
∼ p (czyt.: nieprawda, że p) - negacja, zdanie negacyjne;
Funktor negacji tworzy zdanie od jednego zdania. Dlatego nazywa się go funktorem jednoargumentowym. Wszystkie pozostałe funktory są dwuargumentowe, tzn. tworzą zdania od dwóch zdań. Dla przypomnienia podamy jeszcze raz matryce podstawowych funkcji zdaniowych:
p q p ∧ q p ∨ q p → q p ≡ q p / q
1 1 1 1 1 1 0
1 0 0 1 0 0 1
0 1 0 1 1 0 1
0 0 0 0 1 1 1
2.1. Związki wykluczania i dopełniania się zdań
Przyjrzyjmy się dwom parom zdań i zbadajmy, czy mogą one być równocześnie prawdziwe albo fałszywe:
„Jan jest starszy od Adama”; „Jan jest młodszy od Adama”
oraz:
„Jan jest starszy od Adama”; „Jan nie jest starszy od Adama”.
Jeśli weźmiemy pod uwagę prawdziwość i fałszywość zdań, to o zdaniach pierwszej pary od razu możemy powiedzieć, że nie mogą równocześnie prawdziwe. Jeśli jedno z nich jest prawdziwe, to drugie musi być, siłą rzeczy, fałszywe (zważywszy, że Jan i Adam mogą być rówieśnikami, wypadałoby jeszcze dopowiedzieć, że mogą być one w tym samym momencie fałszywe, ale to w tej chwili nie jest istotne). Logiczny związek zachodzący między tymi zdaniami nazywa się w logice formalnej wykluczaniem się.
Związek (albo relację, a jeszcze inaczej stosunek) logicznego wykluczania się zdań zapiszemy następująco:
Związek logicznego wykluczania zachodzi między zdaniami wtedy i tylko wtedy, gdy nie mogą być one równocześnie prawdziwe. Co najmniej jedno z tych zdań powinno być fałszywe i co najwyżej jedno może być prawdziwe. Gdy jedno nich jest prawdziwe, to drugie musi być fałszywe.
Z kolei o drugiej parze zdań bez żadnych wątpliwości orzekniemy, że nie mogą być one jednocześnie fałszywe. Jeśli jedno z nich jest fałszywe, to drugie musi być prawdziwe (nawet wówczas, gdy Jan i Adam są rówieśnikami - wtedy pierwsze zdanie z tej pary jest fałszywe, a drugie prawdziwe). Związek, jaki tu obserwujemy, nazywamy logicznym dopełnianiem się.
Związek dopełniania się możemy opisać następująco:
Dwa zdania dopełniają się logicznie wtedy i tylko wtedy, gdy nie mogą być równocześnie fałszywe. Co najwyżej jedno z nich może być fałszywe i co najmniej jedno musi być prawdziwe (ale mogą oba być prawdziwe). Jeżeli jedno z nich jest fałszywe, drugie musi być tym samym prawdziwe.
Zauważmy jeszcze, wracając do przykładu, że pierwsza para zdań nie tworzy związku dopełniania się. Nie trudno bowiem wyobrazić sobie sytuację, kiedy oba zdania są fałszywe - wtedy mianowicie, gdy Jan i Adam są równolatkami. Więc możemy powiedzieć o tych zdaniach, że się wykluczają, ale nie dopełniają się.
Spróbujmy odpowiedzieć na pytanie: jaki rodzaj zdań logicznych reprezentują opisane tu relacje logicznego wykluczania się i dopełniania?; albo inaczej: jakimi spójnikami (funktorami) prawdziwościowymi należy połączyć dwa zdania (choćby te z naszych przykładów), by w uzyskanym z nich w ten sposób zdaniu złożonym zachodziły przedstawione związki logiczne?
Zacznijmy od logicznego wykluczania się. Pamiętamy, że z logicznym wykluczaniem się zdań mamy do czynienia w sytuacji, gdy dwa zdania nie mogą być równocześnie prawdziwe. Tylko jedno z nich może być prawdziwe. Zatem jeśli połączymy ze sobą dwa zadania wykluczające się, to otrzymane w ten sposób zdanie złożone będzie prawdziwe tylko wtedy, gdy co najwyżej jedno ze zdań składowych będzie mogło być prawdziwe. Gdy jedno z nich będzie prawdziwe, tu drugie będzie musiało być fałszywe. Ale - i to też jest ważne - będą mogły być równocześnie fałszywe. Krótko mówiąc: utworzone zdanie (złożone) będzie fałszywe tylko wtedy, gdy oba jego zdania składowe będą prawdziwe. W pozostałych przypadkach będzie prawdziwe. Nie trudno spostrzec, iż te warunki spełnia wyłącznie zdanie dysjunktywne typu (p / q). Dysjunkcja jest fałszywa tylko w jednym przypadku - gdy oba jej człony są prawdziwe. W pozostałych sytuacjach jest prawdziwa. O dysjunkcji (zamiast „ zdanie dysjunktywne” możemy mówić wprost „dysjunkcja” - dotyczy to wszystkich rodzajów zdań) można teraz powiedzieć, że jest ona prawdziwa wyłącznie wtedy, gdy jej człony (zdania składowe) wykluczają się logicznie.
Z równą łatwością można dowieść, że związek logicznego dopełniania się zachodzi między zdaniami połączonymi spójnikiem alternatywy typu (p ∨ q). Zdanie alternatywne jest fałszywe tylko w jednym przypadku, a mianowicie wtedy, gdy oba jego człony (zdania składowe) są fałszywe; w pozostałych przypadkach jest prawdziwe. Zatem realizuje związek dopełniania się. O zdaniu alternatywnym powiemy teraz, że jest ono prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy jego człony dopełniają się logicznie.
2.2. Związek logicznej sprzeczności zdań.
Zasada sprzeczności i zasada wyłączonego środka
Związek sprzeczności logicznej (krócej: sprzeczność logiczna) między dwoma zdaniami występuje wtedy, gdy nie mogą mieć one tej samej wartości logicznej. Jeśli jedno z tych zdań jest prawdziwe, to drugie musi być koniecznie fałszywe. I odwrotnie: jeżeli jedno z nich jest fałszywe, to drugie musi być prawdziwe. Zdania logicznie sprzeczne zarazem wykluczają się i dopełniają logicznie. Zatem można powiedzieć, iż związek logicznej sprzeczności zdań zakłada zarazem związek logicznego wykluczania się i dopełniania tychże zdań.
Sięgając do par zdań z poprzednich przykładów, zauważymy, że dwa zdania z pary drugiej: „Jan jest starszy od Adama” oraz „Jan nie jest starszy od Adama”) nie mogą być jednocześnie prawdziwe (zatem wykluczają się wzajemnie), i nie mogą być równocześnie fałszywe (a więc dopełniają się wzajemnie). Są więc logicznie sprzeczne. Nie można jednak tego powiedzieć o dwóch zdaniach wcześniejszych: „Jan jest starszy od Adama” i „Jan jest młodszy od Adama”. Zdania te wprawdzie się wykluczają (nie mogą być równocześnie prawdziwe), ale się nie dopełniają logicznie (bo mogą być równocześnie fałszywe, wtedy mianowicie gdy Jan i Adam są rówieśnikami).
Związek sprzeczności występuje bez wątpienia między tymi zdaniami: „Kowalski jest dobrym człowiekiem” i „Kowalski nie jest dobrym człowiekiem”. Już na pierwszy rzut oka widać, że te zdania sobie przeczą. Jeszcze lepiej to widać, gdy to drugie zdanie wyrazić się następująco: „Nieprawda, że Kowalski jest dobrym człowiekiem”.
Zasada sprzeczności i zasada wyłączonego środka
Przedstawiony związek logicznej sprzeczności zdań zawiera w sobie dwie ważne zasady logiki formalnej, które z niego się wyprowadza. Jedną z nich nazwano zasadą sprzeczności, drugą - zasadą wyłączonego środka.
Zasada sprzeczności podkreśla fakt, że dwa zdania sprzeczne nie mogą być równocześnie prawdziwe.
Równie słuszna (bo wynika z poprzedniej), w odniesieniu do pary zdań sprzecznych, jest teza oznajmująca, że z dwóch zdań sprzecznych jedno przynajmniej musi być prawdziwe. Ta ostatnia teza wyraża drugą zasadę związaną z relacją sprzeczności. Nazywa się ona zasadą wyłączonego środka.
Wyrazimy teraz obie zasady w języku rachunku zdań. Jeśli pierwsze zdanie zastąpimy symbolem zmiennej zdaniowej, np. literą p, to drugie zdanie zapiszemy jako „nieprawda, że p”, a jeśli relację sprzeczności wyrazimy symbolem „∼”, to wtedy to samo zdanie możemy zapisać symbolicznie jako „∼p”. Biorąc to pod uwagę spróbujmy wyrazić zasadę sprzeczności i zasadę wyłączonego środka w języku symbolicznym, czyli w postaci schematu rachunku zdań. Zapis musi wyrażać treść tych zasad. Zasada sprzeczności mówi, że jeśli mamy dwa zdania sprzeczne, to nie mogą być one jednocześnie prawdziwe, ale też nie mogą być równocześnie fałszywe. Zatem zdanie „p” i zdanie z nim sprzeczne „~p” nie mogą być równocześnie prawdziwe. Na tej samej zasadzie nie mogą być równocześnie fałszywe. Zatem prosta koniunkcja tych zdań nie byłaby poprawna. Schemat (p ∧ ~p) (czyt.: „p i nieprawda, że p” lub prościej „p i nie p”) nie odpowiada zasadzie sprzeczności i jest zawodny. Za to negacja koniunkcji tych zdań tworzy schemat poprawny. Biorąc to pod uwagę zasadę sprzeczności można wyrazić następująco:
~ (p ∧ ~p) (czyt.: „nieprawda, że p i nie-p”).
Z kolei zasada wyłączonego środka - która mówi, że jeśli mamy dwa zdania sprzeczne ze sobą (p oraz ~p), to jedno z nich jest prawdziwe, a drugie fałszywe - da się wyrazić najprościej za pomocą alternatywy:
p ∨ ~p (czyt.: p lub nie-p).
2.3. Związek logicznej równoważności zdań
Równoważność logiczna między zdaniami zachodzi wtedy, gdy mają one zawsze tę samą wartość logiczną. Jeśli jedno z nich jest prawdziwe, to i drugie musi być prawdziwe. Gdy jedno jest fałszywe, drugie również jest fałszywe. Równoważne są na przykład dwa następujące zdania:
„Jan jest starszy od Adama” oraz
„Adam jest młodszy od Jana”.
Te dwa zdania zawsze mają taką samą wartość logiczną. Jeżeli jedno z nich jest fałszywe, to i drugie też jest fałszywe. Podobnie, jeśli jedno jest prawdziwe, to drugie również jest prawdziwe.
Równoważność logiczną realizuje zdanie równoważnościowe typu:
p ≡ q
2.4. Związek logicznego wynikania zdań. Okres warunkowy
Związek logicznego wynikania zdań (inaczej: „stosunek wynikania logicznego”, lub krócej: „logiczne wynikanie”) uznaje się za najważniejszy z wszystkich związków logicznych. W sumie całą teorię związków logicznych między zdaniami można byłoby sprowadzić do teorii wynikania logicznego, gdyż pozostałe związki logiczne pozwalają się zdefiniować za pomocą wynikania logicznego:
1. Dwa zdania są logicznie równoważnie wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego jednego z tych zdań wynika logicznie zdanie drugie.
2. Dwa zdania są logicznie sprzeczne wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego jednego z tych zdań wynika logicznie negacja drugiego, a z negacji każdego jednego z tych zdań wynika logicznie zdanie drugie.
3. Dwa zdania wykluczają się logicznie wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego jednego z tych zdań wynika logicznie negacja zdania drugiego.
4. Dwa zdania dopełniają się logicznie wtedy i tylko wtedy, gdy z negacji każdego jednego z nich wynika logicznie zdanie drugie.
Stosunek wynikania odgrywa olbrzymią rolę w tzw. myśleniu naukowym ludzi, ale również w myśleniu potocznym. W zasadzie ludzie zawsze myślą, a przynajmniej zawsze powinni myśleć, logicznie, to znaczy poprawnie wyprowadzać wnioski z określonych przesłanek. Spełnia to się właśnie na zasadzie wynikania logicznego, chociaż na ogół nikt sobie tego nie uświadamia. Po prostu myśli ludzi w sposób niejako naturalny przebiegają według właściwych procedur logicznego wynikania. Oczywiście - nie zawsze. Bywa i to nie rzadko, że biegną one swoim, zupełnie dowolnym torem. Czasem, w określonych sytuacjach, bywa to korzystne. Na ogół jednak oczekuje się od ludzi, że będą myśleć logicznie. Szczególnie jest to wymagane w nauce. Naukowcy zazwyczaj myślą według reguł wynikania logicznego. W ten sposób na przykład z pewnych aksjomatów, zakładanych i obowiązujących w ich dyscyplinie wiedzy, wyprowadzają bardziej złożone tezy swojej dyscypliny naukowej. Różne typy wnioskowania, oparte na związku logicznego wynikania, poznamy w swoim czasie. Teraz ograniczymy się do przedstawienia zagadnienia samego związku wynikania logicznego tak, jak go rozumie logika formalna w rachunku zdań. Ponieważ związek wynikania logicznego odgrywa w logice formalnej kluczową rolę, przeto zatrzymamy się na tym zagadnieniu nieco dłużej.
Na czym polega związek wynikania logicznego między zdaniami, wyczuwamy już niemal intuicyjnie, przyglądając się chociażby podanym wyżej definicjom pozostałych związków logicznych. Te definicje zostały sformułowane właśnie za pomocą interesującego nas związku wynikania logicznego. Na pierwszy rzut oka widać, że mają one postać zdań warunkowych, bardzo podobną do tych, które znamy z naszego języka potocznego i naukowego, i którymi posługujemy niemal stale. Nieraz słyszeliśmy lub wypowiadaliśmy takie zdania, jak te: „Jeśli słońce świeci, to jest jasno”; „Jeśli zapada noc, to na dworze robi się ciemno”. Są to właśnie przykłady zdań warunkowych, a zarazem przykłady wynikania. Możemy wręcz powiedzieć, że zdania w podanych przykładach wiąże ze sobą stosunek wynikania - jedno zdanie wynika z drugiego, a ściślej - zdanie po przecinku wynika ze zdania przed przecinkiem. Zamiast „zdanie warunkowe” mówi się często „okres warunkowy”. Zwróćmy uwagę na samą budowę zdania (lepiej: okresu) warunkowego. Widzimy, że zdanie warunkowe składa się z dwóch zdań połączonych spójnikiem „jeśli..., to”. Te dwa zdania składowe nazywają się członami okresu warunkowego. Zdanie (człon okresu), które poprzedzony jest przez wyraz „jeśli” nazywane jest poprzednikiem okresu warunkowego. To zaś zdanie, które stoi po przecinku i po wyrazie „to”, nazywa się następnikiem okresu warunkowego. Ogólny schemat zdań warunkowych ma postać: „jeżeli a, to... b” i tak się go czyta. Litery „a” i „b” w tym schemacie zastępują całe zdania. Jeżeli ze zdania „a” wynika zdanie „b”, to mówimy, że zdanie „a” jest racją zdania „b”, a zdanie „b” jest następstwem zdania „a”. Stosunek wynikania nazywa się czasem stosunkiem racji i następstwa.
Okres warunkowy, który ma stanowić wynikanie logiczne, musi spełniać warunek prawdziwości. W sformułowaniu K. Ajdukiewicza ów warunek brzmi następująco: okres warunkowy jest prawdziwy wtedy i tylko wtedy, gdy jest wykluczone, aby poprzednik jego był prawdą, a następnik fałszem.
O zachodzeniu lub nie zachodzeniu wynikania logicznego między zdaniami tworzącymi okres warunkowy decyduje budowa tych zdań, czyli ich struktura formalna. Zdanie „b” wynika logicznie ze zdania „a” wtedy i tylko wtedy, gdy okres warunkowy, którego poprzednikiem jest zdanie „a”, a następnikiem zdanie „b”, jest prawdą logiczną.
Okres warunkowy jest prawdziwy wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest możliwe, by poprzednik jego był prawdą, a następnik fałszem. Związek istniejący między zdaniami, które tworzą taki prawdziwy okres warunkowy, nazywa się związkiem logicznego wynikania. Zatem jeżeli okres warunkowy stanowi wynikanie logiczne, to zdanie, które jest następnikiem tego okresu, wynika logicznie ze zdania, które jest jego poprzednikiem okresu. Używając terminu „racja”, powiemy: okres warunkowy jest prawdziwy wtedy i tylko wtedy, gdy jego poprzednik jest racją jego następnika.
2.5. Wynikanie inferencyjne
Szczególną postać wynika stanowi wynikanie inferencyjne. Zdanie B wynika inferencyjnie ze zdania A wtedy, gdy istnieją reguły, które pozwalają wywieść zdanie B ze zdania A. Zazwyczaj te reguły polegają na stosowaniu pewnych przekształceń, które z jednych zdań prawdziwych wyprowadzają inne zdania prawdziwe, a z tych znowu następne.
Patrz: K. Ajdukiewicz, op. cit.79-98; K. Pasenkiewicz, Logika ogólna, Warszawa 1968, B. Stanosz, Wprowadzenie do logiki formalnej, Warszawa 2002.
Patrz: B. Stanosz, op. cit, s. 12.
Patrz: K. Ajdukiewicz, op. cit, s. 79.
Patrz: B. Stanosz, op. cit, s. 12.