Wykład 1

Literatura

między innymi:

1. Jan Misiak Mechanika Techniczna t. 2 WNT

2. Jerzy Leyko Mechanika Ogólna t. 1 i t. 2, PWN

3. L. M. Laudański Mechanika porządkiem

geometrycznym wyłożona t. 1 WPW

4. E. Antoniuk Zadania z mechaniki ogólnej t.2 WPW

itd.

Mechanika jest działem fizyki zajmującym się badaniem ruchu ciał materialnych.

Mechanika ogólna, zwana również mechaniką teoretyczną,

zajmuje się ustaleniem ogólnych praw ruchu ciał materialnych oraz zastosowaniem tych praw do pewnych wyidealizowanych schematów ciał rzeczywistych jakimi są

punkt materialny oraz ciało doskonale sztywne.

Mechanikę ogólną dzielimy na dwa zasadnicze działy:

kinematykę i dynamikę.

Kinematyka zajmuje się badaniem ilościowym ruchu ciał niezależnie od czynników fizycznych wywołujących ruch, jest więc pewnego rodzaju geometrią ruchu w czasie.

Dynamika rozpatruje ruch ciał materialnych w zależności od sił działających na te ciała.

Ciało doskonale sztywne stanowi przybliżony model ciała stałego i wystarczy dla rozwiązania niektórych ważnych dla zastosowań przypadków ruchu i równowagi.

Hydromechanika gałąź mechaniki zajmująca się badaniem ruchu cieczy.

Aeromechanika gałąź mechaniki zajmująca się badaniem ruchu gazów.

Pierwsze podstawy kinematyki i dynamiki zostały stworzone przez Galileusza (1564-1642), a następnie przez

Newtona (1642-1772).

Ruchem ciała nazywamy zachodzącą w czasie

zmianę jego położenia względem innego ciała, które

umownie przyjmujemy za nieruchome.

Układ związany z ciąłem nieruchomym nazywamy układem odniesienia.

Z powyższego wynika, że przed przystąpieniem do badania

ruchu jakiegoś ciała należy najpierw ustalić, względem jakiego innego ciała ruch te będziemy badali. Przestrzeń,

w której w ten sposób określamy położenie punktów, nosi nazwę przestrzeni Euklidesa.

satelita

z_S ziemia

y_S

x_S Rys.1

z satelita

y

ziemia x Rys.2

Równania ruchu punktu we współrzędnych prostokątnych

z l

A r promień wektor

r z y

Rys.3

x

x y

W przypadku gdy punkt porusza się, czyli zmienia

z upływem czasu swoje położenie wówczas

x = f₁(t), y = f₂(t), z = f₃(t) (1)

Położenie początkowe położenie punktu w chwili t = 0

Tor punktu linia będąca miejscem geometrycznym

chwilowych położeń punktu (linia l rys.1)

Jeśli torem punktu jest linia płaska to może być

np. z = con. wtedy: x = f₁(t), y = f₂(t), (2)

Promień wektor r jest funkcją wektorową czasu i

i oznaczamy to r = r (t) (3)

Jeśli początek r pokrywa się z początkiem układu xyz to

r_x = x(t), r_y = y(t), r_z = z(t) (4)

z

z(t)

A

k r

0 y(t) y

i j

x(t) Rys.4

x

r = i x(t) + j y(t) + k z(t) (5)

Przykład 1

Punkt A porusza się w po płaszczyźnie, przy czym jego

równania ruchu mają postać:

x = a sin(kt), y = b cos²(kt) (6)

gdzie a, b oraz k oznaczają pewne stałe. Należy wyznaczyć

tor punktu A.

Rozwiązanie

jeśli x i y mają miano np. cm to a i b też muszą być w cm

jeśli t są mierzone w sekundach to k ma miano rad sek

lub 1⁰/s.

z równań (5)
,
(a)

korzystając ze związku
(b)

wstawiając (a) do (b) otrzymujemy równanie toru

stąd
(7)

Torem punktu A jest parabola przedstawiona na rys.5.

Jak wynika z równań ruchu (6), współrzędne poruszającego się punktu muszą spełniać następujące warunki:

.

Torem punktu nie jest cała parabola a tylko jej łuk A_1,A_o,A₂. W chwili początkowej tj. t = 0 punkt znajduje się

w wierzchołku paraboli A_o.

y

A_o A

A₁ -a +a A₂ x

Rys.5

Równania ruchu punktu we współrzędnych krzywoliniowych

Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie

y l

A r = f₁(t), * = f₂(t)

y r *

x, * = 0 Rys.6

x

(8)

Współrzędne biegunowe w przestrzeni

z

r = f₁(t)

* = f₂(t) (9)

z A θ = f₃(t)

θ

r y

O x

x

*

Rys.7

x

(10)

Współrzędne walcowe

z

r^' = f₁(t)

* = f₂(t) (11)

z z = f₃(t)

y A

y

x r^' z

*

x Rys.8

x = r^'cos *, y = r^' sin *, z ≡ z (12)

Równanie ruch punktu na torze

Gdy punkt A porusza się po torze, współrzędna s jest

pewną funkcją czasu. Równanie ruchu ma wtedy postać:

(13)

równanie to nosi nazwę równanie ruchu punktu na torze.

A

z s(t)

A_o

l

O y

Jeśli dla t = 0 jest s = 0

x Rys.9 i s(t) jest rosnące to

s jest drogą punktu A

w czasie t.

Przykład 2

Punkt A porusza się na płaszczyźnie, przy czym jego równania ruchu we współrzędnych prostokątnych są następujące:

,
(a)

gdzie a i ω oznaczają stałe. Wyznaczyć tor punktu, oraz

równanie ruchu punktu na torze.

Rozwiązanie

x² + y² = a² (b)

Torem punktu jest okrąg o promieniu a (rys.10)

y

A

a * y a = OA

O x x

A_o

Rys.10 x = a cos*, y = a sin* (c)

Z porównania równań (a) i (c) wynika że:

* = ω⋅t

Zgodnie ze wzorem (13) równanie ruchu punktu po torze

ma postać:

s = a* = aωt

Prędkość i przyśpieszenie punktu

Prędkość średnia i chwilowa (Jan Misiak st.23, tom II

Kin. i Dyn.)

V *s A₂ V_śr

A₁ tor punktu A

*r

*r = r₂ (t₂) - r₁(t₁) (14)

r₁ r₂ *s = A₁A₂

0 Rys.11

Wektorem prędkości średniej nazywamy stosunek przyrostu

*r promienia wektora w dwóch położeniach do czasu *t potrzebnego na przejście z pierwszego położenia w drugie

(15)

gdzie *t = t₂ - t₁ czas potrzebny na przejścia punktu A z położenia A₁ do A₂.

Wektor prędkości średniej ma kierunek *r

Wektorem prędkości chwilowej punktu A nazywamy granicę, do której dąży wektor prędkości średniej, gdy przyrost czasu *t dąży do zera

(16)

Wektor prędkości V jest styczny do toru punktu.

Wartość bezwzględna wektora prędkości

(17)

W układzie współrzędnych prostokątnych (rys.4)

(a)

(b)

(18)

przyrównując (b) z (18) otrzymujemy:

(19)

z V_z

V

l A

z(t) V_y

V_x

0 y(t) y

x(t)

Rys.15

x

Wartość bezwzględna prędkości:

(20)

Przykład 3

Należy wyznaczyć prędkość punktu poruszającego się w jednej płaszczyźnie, którego równania ruchu mają następującą postać:

x = 5cos(0.1t) cm, y = 3sin(0.1t) cm, t sek

Określić wartość prędkości dla t = 1.4 sek oraz współrzędne punktu A.

Rozwiązanie

Rugując z równań ruchu czas t otrzymujemy równanie toru

torem punktu jest elipsa (rys.16)

y V

A

x

A₀

Rys.16

Zgodnie z wzorami (19) mamy:

Określenie wartości współrzędnych punktu A:

x = 5cos (0.1*1.4) = 4.9511cm, y = 3sin (0.1*1.4) = 0.4186cm

1 kin

2 kin.

Słońce

3kin

4kin

5kin

6kin

7kin

8kin

9kin

+3 y

x

-5 +5

-3

10kin

---