Wykład 2

Przyśpieszenie punktu

z A₁ V₁

A V

V₁ dV

dt

y

x V Rys.17

ΔV = V₁ - V

(21)

a_śr przyśpieszenie średnie

Przyśpieszenie punktu równe jest granicy, do której dąży stosunek przyrostu geometrycznego prędkości do przyrostu czasu, gdy ten ostatni przyrost dąży do zera.

(22)

W układzie prostokątnym:

a = i⋅a_x + j⋅a_y + k⋅a_z (23)

V = i⋅V_x + j⋅V_y + k⋅V_z (24)

różniczkując (24) względem czasu i podstawiając do (22) otrzymujemy
(25)

Uwzględniając wzór (19) zależność (a) przekształca się w

(25)

Porównując (23) z (25) otrzymujemy

(26)

Wartość bezwzględna przyśpieszenia:

(27)

Przykład 4

Należy wyznaczyć przyśpieszenie punktu A poruszającego się w płaszczyźnie Oxy, którego równania ruchu mają postać:

(b)

a, b, k oznaczają tu pewne stałe.

Rozwiązanie

Torem punktu A jest elipsa (patrz przykład 3), zgodnie ze wzorem (26) składowe przyśpieszenia mają postacie:

Wartość bezwzględna przyśpieszenia wynosi:

gdzie r oznacza długość promienia elipsy (rys18)

y

V A

y

0A = r

Rys.18

Ruch prostoliniowy

Ze względu na sposób poruszania się po torze ruch punktu

możemy podzielić na:

• jednostajny

• 
  jednostajnie zmienny M

• 
  
  zmienny

• 
  okresowy * r = s(t)e

M₀ e

s_o r(t)

O

r_o 0 Rys.19

r = r_o + s(t)⋅e (b)

r_o wektor stały, e wersor stały, określający

kierunek prostej

Różniczkując względem czasu t promień wektor r, otrzymujemy wektor prędkości V

(c)

stąd wartość bezwzględna
(29)

Różniczkując względem czasu wektor prędkości V otrzymujemy wektor przyśpieszenia a

(30)

Ruch jednostajny V = ds/dt = const

czyli ds = V⋅dt
(d)

Po scałkowaniu zależności (d) w przedziale odpowiadającym punktom M₀ i M, przy założeniu, że t_o = 0

i OM₀ = s_o otrzymujemy:

stąd

s

s₁ V

V=const

α

s_o

0 t₁ t t₁ t

Rys. 20 Wykresy drogi i prędkości w ruchu jednostajnym

prostoliniowym

Ruch jednostajnie zmienny

czyli
całkujemy to równanie

uwzględniając (19) mamy
(e)

całkując (e) otrzymujemy:

(f)

Jeśli a>0 to ruch jednostajnie przyśpieszony,

jeśli a<0 to ruch jednostajnie opóźniony

s V a

s

s_o V₀ ds. a

t₁ t s t t

0 t dt t₁

Rys.21 Wykresy drogi, prędkości i przyśpieszenia w ruchu

jednostajnie przyśpieszonym

Przykład 5

Równanie ruchu punktu poruszającego się po linii prostej

ma postać

gdzie: s droga w m, t czas w s. Wyznaczyć prędkość V i przyśpieszenie a punktu dla t = 4 s.

Rozwiązanie

prędkość

przyśpieszenie

po podstawieniu do powyższych równań czasu t = 4 s

,

Ruch harmoniczny prosty

(31)

b, ω, *_o są stałymi

x odległość punktu M od punktu O zwanego środkiem

ruchu harmonicznego (rys.22)

b amplituda ruchu harmonicznego

* = ω⋅t +*_o faza ruchu harmonicznego

*_o faza początkowa ruchu harmonicznego

-b b

M₂ 0 M₀ a M V M₁

bsin*₀ t = 0

x

Rys.22 Ruch harmoniczny prosty punktu

prędkość punktu M

przyśpieszenie punktu M

Ponieważ funkcja sin(kt+*₀) jest funkcją okresową badany ruch punktu (31) jest także ruchem okresowym, tzn. powtarzającym się w równych odstępach czasu.

Okres T tego ruchu, czyli najkrótszy przedział czasu, po którego upływie punkt powróci do położenia, które zajmował w chwili t, poruszając się w tę samą stronę.

Warunek

stąd

(32)

częstość ruchu
Hz (33)

ω
rad / s^-1 pulsacja lub częstość kołowa

Przykład 6

Punkt M porusza się ruchem harmonicznym po prostej l

z przyśpieszeniem
. W chwili początkowej t_o = 0, a prędkość była równa
.

Wyznaczyć funkcję prędkości V(t) i odległość tego punktu

od środka ruchu harmonicznego x(t) oraz wartość amplitudy b i okres T ruchu harmonicznego.

Rozwiązanie

(f)

(g)

Stałe całkowania określamy z warunków początkowych:

dla t = t_o = 0 x = x_o = 0, (h)

V = V₀ = 4/π (i)

podstawiając (i) do (f)

(h) i C₁ do (g)
C₂ = 0

podstawiając C₁ i C₂ do (f) i (g) otrzymujemy

,
stąd

amplituda
okres

11kin

ΔV

12kin

13kin

y a

0 r

x

14kin

s = droga

15kin

16kin

17kin

---