Ćw. M4	Lipiński Zbigniew		WMiBM
Gr.14A	Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego.
	Ocena	Data		Podpis

1. Wprowadzenie

Tablica Galtona składa się z wielu rzędów kołeczków umieszczonych nad przegródkami. Na ów układ kołeczków sypiemy kuleczki z lejka, poszczególne kuleczki ulegają zderzeniom z kołeczkami, wpadając ostatecznie do przegródek.

Z tablicą Galtona wiąże się pojęcie odchylenia standardowego oraz teoria niepewności przypadkowych. Rozważania ograniczymy do pomiarów bezpośrednich, w których niepewności systematyczne są bardzo małe w stosunku do niepewności przypadkowych. Próba, czyli seria wyników x₁, x₂, x₃,...,x_n, obarczonych pewną niepewnością przypadkową, wyróżnia się tym, że największy z przyczynków niepewności systematycznej Δx jest bardzo mały w porównaniu z różnicą wyników skrajnych: maksymalnego x_M i minimalnego x_m: Δx << x_{M -} x_m.

Prawidłowości występujące w wynikach pomiarowych, wykazujących rozrzut statyczny omówimy na przykładzie próby dużej n = 100. W próbie takiej, niektóre wyniki powtarzają się. Oznaczmy przez x₁, x₂,..., x_k, x_K różniące się wyniki x_i, uporządkowane w szereg rosnący (wskaźniki i = 1, 2, 3,..., n oznaczają numer kolejny wyniku, k - numer wyniku x_k, różnego od innych, K - liczbę wyników x_i. ) Liczbę wyników dających wartość x_k oznaczamy przez n_k. Oczywiście musi zachodzić związek:

∑ N_k = N

^k=1

Uporządkowane w ten sposób wyniki można przedstawić graficznie na histogramie. Na osi odciętych nanosi się przedziały klasowe - prawostronnie domknięte przedziały liczbowe, a na osi rzędnych liczebność n_k lub liczebności względne n_k / n. Histogram stanowi więc zbiór prostokątów o podstawie równej szerokości przedziału klasowego i wysokości równej liczebności n_k klasy. Histogram pozwala łatwiej zauważyć prawidłowości występujące w serii wyników pomiarowych. Pewne wartości pojawiają się częściej, a inne, bardzo małe lub bardzo duże, występują rzadko. Dla każdej serii wyników pomiarowych, wykonanych dla tego samego obiektu, histogram przebiega nieco inaczej, lecz ogólne prawidłowości występują zawsze, dzięki czemu każdą próbę można przybliżyć za pomocą jednej, wspólnej krzywej, zwanej krzywą Gaussa lub krzywą gęstości rozkładu normalnego opisaną równaniem:

W wyrażeniu tym występują dwa parametry μ i δ, charakteryzujące mierzony obiekt: wartość oczekiwaną, będącą liczbą określającą położenie max. krzywej, odchylenie standardowe, charakteryzujące jej szerokość, czyli odchylenie wyników. Wielkość y(x) jest gęstością prawdopodobieństwa wyników pomiarowych..

2. Pomiary

Zestaw przyrządów:

• tablica Galtona,

• zestaw kulek

Opis doświadczenia:

Wykonaliśmy 800 pomiarów, następnie uporządkowaliśmy wyniki pomiarów, grupując razem wyniki jednakowe. Z pomiarów otrzymaliśmy serię 800 wyników, które podzieliliśmy na 17 grup.

Przypuszczamy, że rozkład ten jest rozkładem normalnym. W celu znalezienia wartości średniej x i średniego błędu kwadratowego Sx, wygodniej jest zapisać wynik w postaci tabeli typu I.

Na podstawie tabeli I sporządziliśmy tabelę II. Następnie znormalizowaliśmy rozkład doświadczalny za pomocą podstawienia: U_i = x_i - x / Sx.

Na histogram wyników nanieśliśmy krzywą teoretyczną, co pozwoliło nam ocenić w przybliżeniu charakter rozkładu. Zwykle ocena taka nie jest wystarczająca i wówczas korzystamy z testu λ^{2 .} W tym celu „zsypaliśmy'' końcowe grupy, tak, aby spełniony był warunek n_i > 5. Ilość grup po tej operacji wynosiła m = 10, czyli ilość stopni swobody k = m-r (gdzie r oznacza liczbę parametrów rozkładu teoretycznego oraz dodatkowych, określających go warunków.) W tym przypadku k = 10-3 =7. Dla k=7 oraz znalezionej wartości X², znajdujemy w tablicy V odpowiadające im prawdopodobieństwo P. Jeśli wartość prawdopodobieństwa P odczytana z tablicy przewyższa 0.01, to rozkład doświadczalny uznajemy za normalny.

3. Opracowanie wyników

TABELA NR 1

Xi	Numer pomiaru [Ni]
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	Suma
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	3
4	1	0	0	2	0	1	1	1	0	0	1	0	0	1	0	0	8
5	0	2	0	1	0	2	1	3	1	2	1	0	1	4	0	3	21
6	4	2	4	4	6	7	3	5	2	5	4	2	3	5	6	1	63
7	4	5	7	4	9	6	7	5	4	6	3	7	4	3	7	11	92
8	12	7	12	11	5	9	10	8	15	11	8	11	8	13	4	6	150
9	17	8	12	7	13	9	8	9	11	11	12	12	14	11	13	14	181
10	11	10	8	11	9	5	11	14	11	3	12	10	12	6	14	9	156
11	8	4	6	5	5	6	5	4	2	10	3	7	5	4	1	3	78
12	2	0	1	3	3	2	3	0	3	0	3	1	3	2	2	3	31
13	2	0	0	1	2	2	0	0	1	2	1	0	0	1	2	0	14
14	1	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	3
15	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
16	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
17	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

TABELA NR 2

Xi	Ni	Ni Xi	/Xi - X'/	/Xi - X'/^2	Ni/Xi - X'/^2
1	0	0	7,7525	60,1012	0
2	0	0	6,7525	45,5962	0
3	3	9	5,7525	33,0912	99,2737
4	8	32	4,7525	22,5862	180,69
5	21	105	3,7525	14,0812	295,7063
6	63	378	2,7525	7,5762	477,3041
7	92	644	1,7525	3,0712	282,5555
8	150	1200	0,7525	0,5662	84,9384
9	181	1629	0,2475	0,0612	11,0873
10	156	1560	1,2475	1,5562	242,7759
11	78	858	2,2475	5,0512	393,9979
12	31	372	3,2475	10,5462	326,9339
13	14	182	4,2475	18,0412	252,5775
14	3	42	5,2475	27,5362	82,6087
15	0	0	6,2475	39,0312	0
16	0	0	7,2475	52,5262	0
17	0	0	8,2475	68,0212	0
suma	800	7002			2730,45

Gdzie: Xi - kolejne przegrody,

Ni - ilość wszystkich kulek w i - tej przegrodzie,

X' - wartość średnia.

TABELA NR 3

Xi	Ni	Ui=/Xi-X'//Sx	P/Ui/	Ni'=(P/Ui/)/Sx	/Ni - Ni'/	/Ni - Ni'/	/Ni - Ni'//Ni
1	0	4,1937	0,00005	0,0216	0,0216	0,0005	0
2	0	3,6527	0,00049	0,2120	0,2120	0,0450	0
3	3	3,1118	0,00316	1,3675	1,6324	2,6650	0,8883
4	8	2,5708	0,01431	6,1927	1,8072	3,2660	0,4082
5	21	2,0299	0,0508	21,9842	0,9842	0,9687	0,0461
6	63	1,4889	0,1315	56,9079	6,0920	37,1133	0,5891
7	92	0,9480	0,2541	109,9642	17,9642	322,7160	3,5077
8	150	0,4070	0,368	159,2556	9,2556	85,6671	0,5711
9	181	0,1338	0,3956	171,1998	9,8001	96,0434	0,5306
10	156	0,6748	0,3187	137,9205	18,0794	326,8651	2,0952
11	78	1,2157	0,189	81,7916	3,7916	14,3764	0,1843
12	31	1,7567	0,0848	36,6980	5,6980	32,4677	1,0473
13	14	2,2976	0,0283	12,2471	1,7528	3,0726	0,2194
14	3	2,8386	0,0069	2,9860	0,0139	0,0002	6,4928E-05
15	0	3,3795	0,00127	0,5496	0,5496	0,3021	0
16	0	3,9205	0,00017	0,0735	0,0735	0,0054	0
17	0	4,4614	0,000017	0,0073	0,0073	0,0001	0

x' = ( ∑N_i*X_i)/( ∑N_i)

czyli x' = 8,7525

czyli Sx = 1,8486

U_i = |X_i - X'| / S_x

Gdzie: Sx - średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru

N - całkowita liczba pomiarów

Ui - parametr rozkładu

Kryterium Λ² :

Λ² = ∑(N_i - N_i^')² / N_i'

czyli Λ² = 10,0873

Po odczytaniu z tablicy nr 5 prawdopodobieństwo wynosi:

P = 0,096

Jest ono większe od 0,01 więc rozkład ten możemy uznać za rozkład normalny

Wykres 1 Histogram

Wykres 2 Rozkład idealny

4. Wnioski

Ten mechaniczny model rozkładu jakim jest tablica Galtona pozwala wyraźnie stwierdzić mechanizmy rządzące prawami rozkładu i hierarchią zdarzeń prawdopodobnych. Ten mechaniczny przykład jest jednym z najbardziej obrazowych doświadczeń przez nas wykonywanych. Poza tym jest bodaj jedynym doświadczeniem gdzie dokładność obliczeń nie zależy od dokładności w pomiarach (trudno się pomylić przy liczeniu kulek).

---