Notacja logiczna

Termin zdanie oznacza w logice zdanie orzekające, któremu można jednoznacznie przyporządkować ocenę prawdy lub fałszu. Zdania oznaczamy małymi literami alfabetu: p,q,r, itp.

O zdaniu prawdziwym p mówimy, że ma wartość logiczną 1 (p=1), zaś o zdaniu fałszywym p, że ma wartość logiczną 0 (p=0).

Logikę, w której rozpatruje się dokładnie dwie wartości logiczne: prawda (1) i fałsz (0), nazywamy logiką dwuwartościową (dwuargumentową).

Przykład 1.1. Polska leży w Europie. - zdanie logiczne prawdziwe,

Niemcy leżą w Azji. - zdanie logiczne fałszywe,

Warszawa jest najładniejszym miastem świata. - przykład wypowiedzi, która

jest zdaniem w sensie gramatycznym, ale nie jest zdaniem w sensie logicznym.

DEFINICJA. Zdanie „nieprawda, że p” nazywamy zaprzeczeniem (negacją) zdania p i zapisujemy ~p.

Przykład 1.2. Jeśli p oznacza zdanie Polska leży w Europie, to ~p oznacza zdanie Nieprawda, że Polska leży w Europie.

Wartość logiczna zdania ~p określona jest w logice następująco: ~p=1, gdy p=0 oraz ~p=0, gdy p=1 (patrz tabela 1.1).

DEFINICJA. Zdanie „p i q” nazywamy koniunkcją zdań p oraz q i zapisujemy p∧q.

Przykład 1.3. Jeśli p oznacza zdanie Polska leży w Europie, zaś q oznacza zdanie Niemcy leżą w Europie, to p∧q oznacza zdanie Polska leży w Europie i Niemcy leżą w Europie, czyli zdanie Polska i Niemcy leżą w Europie.

Wartość logiczna zdania p∧q określona jest w logice następująco: (p∧q)=1, gdy p=1 i q=1, natomiast (p∧q)=0 w pozostałych trzech przypadkach (patrz tabela 1.1).

DEFINICJA. Zdanie „p lub q” nazywamy alternatywą zdań p oraz q i zapisujemy p∨q.

Przykład 1.4. Jeśli p oznacza zdanie Polska leży w Europie, zaś q oznacza zdanie Polska leży w Azji (zdanie fałszywe!), to p∨q oznacza zdanie Polska leży w Europie lub Polska leży w Azji, czyli zdanie Polska leży w Europie lub w Azji.

Wartość logiczna zdania p∨q określona jest w logice następująco: (p∨q)=0, gdy p=0 i q=0, natomiast (p∨q)=1 w pozostałych trzech przypadkach (patrz tabela 1.1).

Alternatywę utworzoną ze zdań p oraz q za pomocą spójnika lub (symbol ∨) należy odróżnić od tzw. alternatywy wykluczającej „p albo q”, którą zapisujemy jako p
q.

Wartość logiczna zdania p
q określona jest w logice następująco: zdanie p
q uznajemy za prawdziwe, gdy p oraz q mają różne wartości logiczne, zaś za fałszywe, gdy wartości logiczne zdań p oraz q są jednakowe (patrz tabela 1.1).

DEFINICJA. Zdanie „jeżeli p, to q” nazywamy implikacją zdań o poprzedniku p oraz następniku q i zapisujemy p⇒q.

Przykład 1.5. Jeśli p oznacza zdanie Polska leży w Europie, zaś q oznacza zdanie Stolica Polski leży w Europie, to p⇒q oznacza zdanie Jeśli Polska leży w Europie, to stolica Polski leży w Europie.

Wartość logiczna zdania p⇒q określona jest w logice następująco: (p⇒q)=0, gdy p=1 oraz q=0, natomiast (p⇒q)=1 w pozostałych trzech przypadkach (patrz tabela 1.1).

Zdanie p⇒q często zamiast czytać „jeżeli p, to q” czytamy „p implikuje q”, „z p wynika q”, „p jest warunkiem wystarczającym (dostatecznym) dla q” lub „q jest warunkiem koniecznym dla p”. Zdanie p nazywamy założeniem, zaś q tezą twierdzenia.

DEFINICJA. Zdanie „p wtedy i tylko wtedy, gdy q” nazywamy równoważnością zdań p oraz q i zapisujemy p⇔q.

Przykład 1.6. Wyrażenie x<y ⇔ x-y<0 jest przykładem równoważności zdań.

Wartość logiczna zdań p⇔q określona jest w logice następująco: (p⇔q)=1, gdy p oraz q mają tę samą wartość logiczną, natomiast (p⇔q)=0, gdy p oraz q mają różne wartości logiczne (patrz tabela 1.1).

Jeżeli zdania p⇔q jest prawdziwe, to mówimy, że zdania p oraz q są równoważne.

Tabela wartości logicznych ma następująca postać:

p	q	~p	p∧q	p∨q	p q	p⇒q	p⇔q
0	0	1	0	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	1	0
1	0	0	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	0	1	1

Tabela 1.1. Tabela wartości logicznych

DEFINICJA. Prawo rachunku zdań (tautologia) to taka formuła (wyrażenie) tego rachunku, która staje się zdaniem prawdziwym, jeśli w miejsce każdej występującej w tej formule zmiennej zdaniowej podstawimy dowolne zdanie.

Przykład 1.7. Badamy metodą zero-jedynkową, czy wyrażenie (p∧q) ⇒ (p∨q) jest tautologią.

p	q	p∧q	p∨q	(p∧q)⇒(p∨q)
0	0	0	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	1
1	1	1	1	1

Ponieważ w ostatniej kolumnie znajdują się same wartości 1 (odpowiadające prawdzie), więc powyższe wyrażenie jest tautologią.

Przegląd najważniejszych tautologii.

• ~ ~p⇔p - prawo podwójnego zaprzeczania,

• p∨~p - prawo wyłączonego środka,

• ~(p∧~p) - prawo wyłączonej sprzeczności,

• ~(p∧q)⇔(~p∨~q) - prawo zaprzeczenia koniunkcji,

• ~(p∨q)⇔(~p∧~q) - prawo zaprzeczenia alternatywy

(dwie ostatnie tautologie zwane są prawami de Morgana), (1.1)

• (p⇒q)⇔(~p∨q),

• (p⇒q)⇔(~q⇒~p) - prawo transpozycji,

• ~(p⇒q)⇔(p∧~q) - prawo zaprzeczenia implikacji,

• p∧(p⇒q)⇒q - prawo odrywania,

• [(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r) - prawo przechodniości implikacji.

Symbol
nazywamy kwantyfikatorem dużym (ogólnym) i czytamy „dla każdego x”, natomiast symbol
nazywamy kwantyfikatorem małym (szczegółowym) i czytamy „istnieje x”.

Kwantyfikatory to zwroty, którymi posługujemy się w matematyce przy formułowaniu zdań orzekających.

Przykład 1.8.
x-x=0,
x²=1.

---