Wyklad5AM1 2001, Budownictwo-studia, Matematyka


WYKŁAD 5

TWIERDZENIE ROLLE'A i LAGRANGE'A, POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Zastosowanie pochodnych do znajdowania miejsc zerowych funkcji i określania istnienia rozwiązań równań algebraicznych.

Twierdzenie (Rolle'a)

Jeżeli funkcja f jest:

to istnieje taki punkt 0x01 graphic
, że 0x01 graphic
.

Interpretacja geometryczna twierdzenia.

0x08 graphic
Y f'(c)=0

y=f(x)

a b

0 c X

Uwaga:

Twierdzenie Rolle'a zapewnia istnienie w przedziale 0x01 graphic
jednego punktu c, w którym pochodna znika: 0x01 graphic
, co nie wyklucza, że punktów takich może być więcej, a nawet nieskończenie wiele, jak to jest na przykład w przypadku funkcji stałej.

Z twierdzenia Rolle'a korzystamy często gdy:

0x01 graphic
.

Przykład

Zastosowanie twierdzenia Rolle'a dla funkcji 0x01 graphic
w przedziale [0, π],

Istnieje więc taki punkt 0x01 graphic
, że 0x01 graphic
. Ponieważ 0x01 graphic
, stąd 0x01 graphic
.

Przykład

Zastosowanie twierdzenia Rolle'a do funkcji 0x01 graphic
w przedziale [π, 5π]

0x01 graphic

c1=2π, c2=3π, c3=4π

Przykład

Zastosowanie twierdzenia Rolle'a do funkcji

0x01 graphic
, w przedziale [-1,1]

0x01 graphic

Istnieje c, że 0x01 graphic

0x01 graphic

Przykład

Czy można zastosować twierdzenie Rolle'a do funkcji

0x01 graphic
w przedziale 0x01 graphic

0x08 graphic
y

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

f(x)=0x01 graphic

0x08 graphic

Nie można zastosować twierdzenia Rolle'a, gdyż funkcja nie jest różniczkowalna we wszystkich punktach przedziału [a,b].

Przykład

Stosując twierdzenie Rolle'a określić ilość rzeczywistych pierwiastków równania

0x01 graphic

Wielomian jest stopnia nieparzystego, a zatem istnieje co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty r,

0x01 graphic

czy istnieje jeszcze jeden pierwiastek s?

Jeśli tak, to na mocy twierdzenia Rolle'a, istnieje punkt c, miedzy punktami r i s, taki, że

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
, a zatem równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych

Stąd

0x01 graphic
dla każdego x

Wielomian posiada tylko jeden pierwiastek rzeczywisty

Twierdzenie (o przyrostach, Lagrange'a)

Jeżeli funkcja f jest:

to istnieje taki punkt c leżący między 0x01 graphic
i x, że

0x01 graphic

Niech

0x01 graphic
- przyrost funkcji f

0x01 graphic
- przyrost zmiennej x

wtedy:

0x01 graphic

Stąd nazwa twierdzenie o przyrostach

Interpretacja geometryczna twierdzenia

0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
f(b)

f(x)

f(a)

a x b

Prosta przechodząca przez punkty:

0x01 graphic
i 0x01 graphic

ma równanie

0x01 graphic

i współczynnik kierunkowy 0x01 graphic

Twierdzenie Lagrange'a mówi, że istnieje punkt 0x01 graphic
, że styczna do krzywej w punkcie 0x01 graphic
jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty 0x01 graphic
i 0x01 graphic

Stąd nazwa twierdzenie o przyrostach

Przykład

Zastosowanie twierdzenia Lagrange'a do funkcji

0x01 graphic
dla a=1 i b=3.

0x01 graphic

Na mocy twierdzenia istnieje dokładnie jedna wartość c pomiędzy a=1 i b=3, taka, że

0x01 graphic

Obliczmy wartość c.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Przykład

(fizyczna interpretacja twierdzenia o przyrostach)

Samochód porusza się wzdłuż osi OX, jego współrzędna w czasie t jest równa f(t).

Np.: w czasie a - współrzędna jest f(a)

w czasie b>a - współrzędna jest f(b)

0x01 graphic

Twierdzenie o przyrostach określa średnią prędkość samochoduWniosek

Jeżeli 0x01 graphic
w każdym punkcie przedziału 0x01 graphic
,

to funkcja f jest na tym przedziale stała.

Dowód

0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
, przy czym 0x01 graphic
.

Funkcja f jest różniczkowalna na przedziale 0x01 graphic
, a tym samym jest ciągła, więc z twierdzenia o przyrostach:

0x01 graphic

0x01 graphic

Ponieważ 0x01 graphic
, więc 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Stąd 0x01 graphic
, a zatem 0x01 graphic
dla dowolnych dwóch punktów przedziału 0x01 graphic
, czyli funkcja f jest na tym przedziale stała.

Dowód

0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
, przy czym 0x01 graphic
.

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, więc

0x01 graphic
, czyli 0x01 graphic
.

Uwaga:

Warunek 0x01 graphic
(lub 0x01 graphic
) dla każdego 0x01 graphic
jest wystarczający do tego, aby funkcja f była rosnąca (lub odpowiednio malejąca) na przedziale 0x01 graphic
.

Warunek ten nie jest jednak konieczny!

Przykład

Funkcji 0x01 graphic
jest rosnąca na każdym przedziale, natomiast 0x01 graphic
.

Przykład

Udowodnić, że funkcja

0x01 graphic

jest stała.

0x01 graphic

a zatem funkcja f(x) jest stała.

Określamy wartość funkcji f(x)

0x01 graphic

Stąd 0x01 graphic

Wniosek

Jeżeli funkcja f jest rosnąca (lub malejąca) na przedziale 0x01 graphic
, w którym jest różniczkowalna, to 0x01 graphic
(lub odpowiednio 0x01 graphic
) dla każdego 0x01 graphic
.

Dowód

Jeżeli funkcja f jest np. rosnąca, to iloraz różnicowy jest dodatni, a więc pochodna (istniejąca z założenia) jest nieujemna.

0x01 graphic

Twierdzenie (Cauchy)

Jeśli:

to istnieje c (a, b) o własności:

0x01 graphic

Dowód

Stosujemy tw. Rolle'a do funkcji:

0x01 graphic

h(a)=h(b)=0,

h - ciągła na [a,b] i różniczkowalna (a,b)

zatem:

dla każdego 0x01 graphic

0x01 graphic

Chcemy obliczyć:

0x01 graphic
0x01 graphic
,

gdzie: 0x01 graphic
f(x) = 0 = 0x01 graphic
g(x)

lub:

0x01 graphic
f(x) =0x01 graphic
= 0x01 graphic
g(x).

Twierdzenie (de l'Hospital)

Załóżmy, że zachodzi jedna z powyższych sytuacji.

Jeśli istnieje 0x01 graphic
to istnieje: 0x01 graphic
0x01 graphic

oraz

0x01 graphic
0x01 graphic
= 0x01 graphic

Dowód

Z tw. Cauchy'ego dla f(x0) = 0 = g(x0) i c [x0, x]:

0x01 graphic

zatem

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Przykład

Obliczyć:

0x01 graphic
x e-x

0x01 graphic

Wyrażenie x / ex jest nieoznaczone dla 0x01 graphic

Z reguły de l'Hospitala:

0x01 graphic

Prędkość - szybkość zmian przebytej drogi

Przyspieszenie - szybkość zmian prędkości

0x01 graphic
- miejsce punktu na osi w czasie t

0x01 graphic
- prędkość poruszania się punktu

0x01 graphic
- przyśpieszenie

0x01 graphic

0x01 graphic

Pochodna pochodnej funkcji f(x) nazywa się

drugą pochodną funkcji f(x)

Oznaczenia:

0x01 graphic

Przykład

0x01 graphic

0x01 graphic

y

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

6x

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Pochodna drugiej pochodnej funkcji f(x) nazywa się trzecią pochodną funkcji f(x)

Definicja

Definicja indukcyjna pochodnej rzędu n funkcji f, oznaczonej przez f(n):

(i) f(1) = f',

(ii) f(n+1) = (f(n))'.

Będziemy pisali f'' zamiast 0x01 graphic
, f''' zamiast 0x01 graphic
.

Przykład

f(x)=sinx, f'(x)=cosx, f''(x)=-sinx, f'''(x)=-cosx

Przykład

Obliczyć n-tą pochodna funkcji

0x01 graphic

0x01 graphic

Wszystkie pochodne funkcji f(x) rzędu większego od 3 są równe 0.

Wniosek

Dla każdego wielomianu f(x) stopnia najwyżej 3, 0x01 graphic
dla każdego 0x01 graphic
.

Przykład

Obliczyć n-tą pochodną funkcji

0x01 graphic

0x01 graphic

Stąd

0x01 graphic

Zastosowanie pochodnych wyższego rzędu:

Przykład

Stosując pochodne wyższych rzędów udowodnić, że

0x01 graphic

0x01 graphic
- wielomian 4-tego rzędu postaci:

0x01 graphic

Obliczamy kolejne pochodne obu stron równania:

0x01 graphic

Dla x=0 otrzymujemy odpowiednio z równań

0x01 graphic

PJWSTK

Analiza Matematyczna 1



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
WYKLAD 13 ekstrema warunkowe, Budownictwo-studia, Matematyka
matematyczne, Budownictwo-studia, Matematyka
(3609) notacja logiczna, Budownictwo-studia, Matematyka
(848) logika, Budownictwo-studia, Matematyka
Kl2l1(2), Budownictwo-studia, Matematyka
(5170) pochodna funkcji, Budownictwo-studia, Matematyka
w2z 2004, Budownictwo-studia, Matematyka
matma zadania, Budownictwo-studia, Matematyka
(3607) zbiory liczbowe, Budownictwo-studia, Matematyka
w1i2-rol-08, Budownictwo-studia, Matematyka
mat, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, Sprawozdania, studia, Matematyka, MATEMATYKA WYKŁADY
wykład 6- (05. 04. 2001), Ekonomia, Studia, I rok, Finanase publiczne, Wykłady-stare, Wykłady
Wahadło matematyczne, budownictwo studia, fizyka, wahadło matematyczne
1. Roboty wykończeniowe, budownictwo, STUDIA, sem IId, technologia robót wykończeniowych, wykład
wahadlo matematyczne, budownictwo studia, fizyka, wahadło matematyczne
wykład 9- (17. 05. 2001), Ekonomia, Studia, I rok, Finanase publiczne, Wykłady-stare, Wykłady
cw2, budownictwo studia, fizyka, wahadło matematyczne
wykład 5- (29. 03. 2001), Ekonomia, Studia, I rok, Finanase publiczne, Wykłady-stare, Wykłady
Zadania dodatkowe z AM (5), Budownictwo studia pł, SEMESTR I, SEMESTR I, matematyka, Analiza matemat

więcej podobnych podstron