w1i2-rol-08, Budownictwo-studia, Matematyka


Wykład1/2

Podstawowe własności funkcji elementarnych

Kwantyfikatory:

ogólny (duży) 0x01 graphic
- czyt.: dla każdego x

szczegółowy (mały 0x01 graphic
- czyt.: istnieje x

Definicja 1. Funkcją określoną na zbiorze D, o wartościach w zbiorze Y, nazywamy takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru D przypada dokładnie jeden element zbioru Y.

Elementy zbioru D nazywamy argumentami, zaś elementy zbioru Y wartościami funkcji.

0x08 graphic
D - dziedzina funkcji

D Y Y - przeciwdziedzina lub zbiór wartości funkcji

0x08 graphic

D Y

Definicja 2. Niech0x01 graphic
. Funkcję f nazywamy różnowartościową (iniektywną lub iniekcją) jeżeli 0x01 graphic

(lub gdy spełniony jest warunek równoważny: 0x01 graphic
)

0x08 graphic
Przykład 0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

Definicja 3. Niech0x01 graphic
. Funkcję f nazywamy suriektywną (suriekcją) jeżeli 0x01 graphic
.

0x08 graphic
Uwaga: Ta właściwość funkcji zależy istotnie od tego, jak zostanie zdefiniowany zbiór Y. Np.:0x01 graphic
nie jest suriekcją, ponieważ

0x08 graphic

0x08 graphic
Ale 0x01 graphic
jest funkcją suriektywną, ponieważ

0x08 graphic

0x08 graphic

Przedstawiona na diagramie funkcja jest

0x08 graphic

Definicja 4. Funkcję 0x01 graphic
nazywamy bijektywną (bijekcją lub funkcją wzajemnie jednoznaczną) jeżeli jest ona suriektywna i iniektywna.

Definicja 5. Dana jest bijekcja: 0x01 graphic
.

Funkcją odwrotną do f nazywamy0x01 graphic

0x08 graphic
Uwaga!

Przykłady:

0x08 graphic

0x08 graphic

Definicja 6. Niech dane będą funkcje: 0x01 graphic
0x01 graphic
Złożeniem (superpozycją) funkcji nazywamy funkcję 0x01 graphic

Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, zaś g - funkcją zewnętrzną.

Przykład:

0x01 graphic
Wykonaj złożenia w obu porządkach

0x08 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

Wyznacz dziedzinę tych złożeń.

Funkcje elementarne

1. Wielomiany

0x01 graphic
0x01 graphic

2. Funkcje wymierne

0x01 graphic
0x01 graphic

Dziedzinę funkcji wymiernej stanowi zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem miejsc zerowych mianownika!!!!

3. Funkcje wykładnicze

0x01 graphic
0x01 graphic
przy czym parametr funkcji a>0

4. Funkcje logarytmiczne

0x01 graphic
0x01 graphic
przy czym parametr funkcji a>0 oraz 0x01 graphic

Uwaga: Logarytm istnieje wyłącznie dla liczb dodatnich!!!

5. Funkcje potęgowe

0x01 graphic
Dziedzina funkcji zależy od wartości parametru p

w szczególności dla 0x01 graphic
otrzymujemy 0x01 graphic
i wówczas 0x01 graphic

Uwaga: Pierwiastek kwadratowy istnieje wyłącznie dla liczb nieujemnych!!!

6. Funkcje trygonometryczne

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
(Uwaga: Z oznacza zbiór liczb całkowitych)

0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
7. Funkcje cyklometryczne (kołowe) czyli

Przyjrzyjmy się własnościom funkcji h(x) = sin x

0x08 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic
jest funkcją zatem

0x01 graphic
0x01 graphic

x

-1

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1

arc sinx

Pozostałe funkcje cyklometryczne proszę opracować według powyższego wzoru samodzielnie.

0x08 graphic

0x08 graphic

x

-1

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1

arc cos x

0x08 graphic

Opracowanie dr Elżbieta Badach

Na podstawie:

Fichtencholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy PWN Warszawa 1985

1

a

b

1

2

3

a

b

1

2

3

c

d

a

b

1

2

3

c

4

π

0x01 graphic
0x01 graphic

0



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
matematyczne, Budownictwo-studia, Matematyka
Wyklad5AM1 2001, Budownictwo-studia, Matematyka
(3609) notacja logiczna, Budownictwo-studia, Matematyka
(848) logika, Budownictwo-studia, Matematyka
WYKLAD 13 ekstrema warunkowe, Budownictwo-studia, Matematyka
Kl2l1(2), Budownictwo-studia, Matematyka
(5170) pochodna funkcji, Budownictwo-studia, Matematyka
w2z 2004, Budownictwo-studia, Matematyka
matma zadania, Budownictwo-studia, Matematyka
(3607) zbiory liczbowe, Budownictwo-studia, Matematyka
Wahadło matematyczne, budownictwo studia, fizyka, wahadło matematyczne
wahadlo matematyczne, budownictwo studia, fizyka, wahadło matematyczne
cw2, budownictwo studia, fizyka, wahadło matematyczne
Zadanie 1 kolokwium 1 2007-08, Budownictwo PG, Semestr 3, Matematyka, Prace domowe-rozwiązania kół
Zadania dodatkowe z AM (5), Budownictwo studia pł, SEMESTR I, SEMESTR I, matematyka, Analiza matemat
Lista3, Budownictwo Studia, Rok 2, Statystyka Matematyczna
Statystyka - podstawowe wzory 2, Budownictwo Studia, Rok 2, Statystyka Matematyczna
wahadło rewersyjne, budownictwo studia, fizyka, wahadło matematyczne
Zagadnienia na egzamin z matematyki dla kierunku Budownictwo, STUDIA, Budownictwo UZ, Semestr I, Mat

więcej podobnych podstron