Liceum Ogólnokształcące

im. Mikołaja Reja w Jędrzejowie

Konstuowalność za pomocą cyrkla i linijki

przygotowane przez

Annę Dudek i Patrycję Hus

klasa III „h”

Najstarszymi przyrządami, jakimi posługiwano się w geometrii, były linijka (bez podziałki) i cyrkiel. Umawiamy są, że korzystając z nich będziemy:

1° kreślili prostą przechodzącą przez dwa dane punkty;

2° kreślili okrąg o środku w danym punkcie i promieniu równym odległości danych dwóch punktów:

3° wyznaczali punkty wspólne linii otrzymanych według podanych zasad.

Konstrukcyjne wyznaczanie jakiegoś punktu (gdy dany jest pewien zbiór punktów) polega na wykonaniu skończonej liczby kroków opisanych w punktach l°, 2°, 3°. Obecnie konstrukcje takie nazywamy platońskimi lub klasycznymi.

W 1637 roku Descartes (Kartezjusz) wskazał nierozerwalny związek geometrii z algebrą, kładąc podwaliny pod geometrię analityczną i algebraiczną. Stanowiło to punk wyjścia ogólnej teorii wielomianów i opartej na niej algebraicznej teorii konstrukcji geometrycznych, którą zapoczątkował Gauss. Tej ostatniej pełny kształt, nadali matematycy XIX wieku — Ruflini, Abel, Galois, Wantzel, Lindemann Wskazali oni ogólne twierdzenia podające warunki konieczni lub dostateczne na to, aby konstrukcje platońskie były wykonalne.

Opisanie warunków konstruowalności cyrklem i linijką stanowi tylko część problematyki związanej z konstrukcjami geometrycznymi.

W V wieku p.n.e. w Grecji pojawiły się problemy, które od razu stały się głośne:

a) podwojenie sześcianu (problem delijski);

b) trysekcja kąta;

c) rektyfikacja okręgu;

d) kwadratura koła;

e) konstrukcja wielokątów foremnych.

Grecy, poszukując rozwiązań tych klasycznych zagadnień starożytności za pomocą konstrukcji platońskich, natrafili na trudności, których nie pokonali (ich niewykonalność wykazali dopiero Gauss (a), (b), (e) i Lindemann (c) i (d)). Próbo­wali więc radzić sobie inaczej. Ich poszukiwania dały począ­tek badaniu krzywych różnych od okręgu. Menechmos (uczeń Platona), pracując nad zagadnieniem podwojenia, sześcianu, odkrył stożkowe (ok. 340 r. p.n.e.). Diokles doszedł do swojej cissoidy (ok. 200 r. p.n.e.), a równocześnie Nikomedes do konchoidy. Problem trysekcji kąta i kwadratury koła do­prowadził Hippiasza z Elidy, już w 420 roku p.n.e., do pierw­szej krzywej przestępnej — kwadratrysy. Używając odkrytych przez siebie krzywych oraz innych przyrządów niż cyrkiel i li­nijka, Grecy potrafili wykreślić dokładne (teoretycznie) roz­wiązania wspomnianych problemów. Ich kon­strukcje są tak wzorowe, że późniejsze pokolenia niewiele

mogły je udoskonalić.

Próbowano też konstrukcji środkami uboższymi niż pla­tońskie. Matematyk duński Mohr zajmował się konstruk­cjami, w których posługiwał się tylko cyrklem. Popularność zyskały one dopiero w 1797 roku dzięki pracy Mascheroniego. Idee Mohra i Mascheroniego pozwoliły sformułować i udo­wodnić następujące twierdzenie: każda konstrukcja wykonalna za pomocą cyrkla i linijki jest też wykonalna samym cyrklem. Konstrukcje z użyciem samej linijki okazały się mniej efek­tywne. Jakub Steiner wykazał w 1833 roku, że każdą kon­strukcje klasyczną można wykonać za pomocą samej linijki, jeżeli na płaszczyźnie dany jest pewien okrąg oraz jego środek.

Wróćmy jednak do konstrukcji platońskich. Oczywisty jest fakt, że żaden rysunek nie jest konstrukcją do­kładną. Kreśląc, otrzymujemy przedmioty fizyczne, na przy­kład „punkty" w kształcie kropek, „odcinki" i „łuki" mające grubość. Musimy zatem odróżniać rozwiązania teoretyczne od ich praktycznej realizacji. W fazie analizy teoretycznej udzielamy odpowiedzi na następujące pytania:

l) Czy istnieje konstrukcyjne rozwiązanie danego proble­mu, jeżeli tak, to jak ono wygląda?

2) W przypadku odpowiedzi negatywnej, jakie jest kon­strukcyjne rozwiązanie przybliżone tego problemu?

Właśnie takie teoretycznie przybliżone konstrukcje pla­tońskie nazywamy konstrukcjami przybliżonymi (nie należy mylić tego terminu z praktyczną realizacją konstrukcji!).

Rozwiązywanie zadań konstrukcyjnych będziemy rozumieć tak, jak je rozumieli starożytni Grecy. Aby rozwiązać zadanie konstruk­cyjnie, należy:

a) Podać opis budowania z danych figur figury spełniającej wa­runki zadania przez wykonywanie wyłącznie następujących czyn­ności : wyznaczanie prostych przechodzących przez dane dwa różne punkty, wyznaczanie okręgów mających dany środek i promień równy danemu odcinkowi, znajdowanie punktów przecięcia tak wyznaczo­nych figur.

b) Udowodnić, że opisany sposób konstrukcji jest poprawny, tzn. że każda figura zgodnie z nim zbudowana spełnia warunki zadania.

c) Odpowiedzieć na pytanie, jakie warunki muszą spełniać dane, aby figura o własnościach wymienionych w temacie zadania istniała, oraz ile różnych figur spełniających warunki zadania możemy otrzy­mać z tych samych danych.

Konstrukcje wykonywane wyłącznie przez prowadzenie prostych i okręgów (i ilustrowane praktycznym kreśleniem wyłącznie przy użyciu linijki i cyrkla) będziemy nazywać w skrócie ,,konstrukcjami (p-o)". Zilustrujemy te wyjaśnienia na przykładzie.

Konstrukcje podstawowe

1. Konstrukcja trójkąta o trzech bokach danych. Dane są trzy odcinki: a, b, c,. Przy danej półprostej p o początku A zbudować trójkąt ABC o bokach: AB=c, BC=a, CA=b.

Konstrukcja

Czynność wykonywana	' Wynik tej czynności
Obieramy półprostą p o początku A Na półprostej p od punktu A odkładamy odcinek AB = c Z punktu A zakreślamy okrąg promie­niem b i z punktu B okrąg promie­niem a Punkt C łączymy z punktami A i B	Wierzchołek A i kierunek boku AB Wierzchołek B W przecięciu tych okręgów mamy wierz­chołek C Trójkąt ABC

Dyskusja. Możliwość konstrukcji: z trzech odcinkowa, b, c można zbudować trójkąt, o ile największy z tych odcinków jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych.

Jednoznaczność konstrukcji: po ustaleniu na płaszczyźnie położenia wierzchoł­ków A i B możliwe są dwa położenia trzeciego wierzchołka C i C', symetryczne względem prostej AB; trójkąty ABC i ABC' są przystające (odwrotnie).

2. Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie, czyli konstrukcja okręgu prze­chodzącego przez trzy dane punkty nie leżące na jednej prostej. Środek okręgu opisa­nego na trójkącie leży w punkcie przecięcia się trzech symetralnych boków. Promieniem tego okręgu jest odcinek o długości równej odległości środka od dowolnego wierzchołka trójkąta

3. Konstrukcja okręgów wpisanych w kąt. Każdy punkt dwusiecznej kąta wypu­kłego niepółpełnego jest środkiem pewnego okręgu stycznego do ramion tego kąta (rys.1). Aby jeden z takich okręgów narysować, trzeba wybrać jakiś punkt P jako

Rys.1. Każdy punkt dwusiecznej kąta np. P, jest równoodległy od obu ramion tego kata

środek. Długością promienia jest odległość punktu P od jego rzutu prostokątnego np. P" na jedno z ramion kąta. Okrąg o(P, PP") jest styczny do obu ramion kąta, czyli jest okręgiem wpisanym w kąt."

Jeśli ktoś wbije ostrze cyrkla w punkt P, a drugi koniec nastawi od ręki tak, aby narysowany okrąg wydawał się styczny, to rysunek może być dla oka zupełnie za­dowalający, ale takie postępowanie jest niezgodne z zasadami konstrukcji geome­trycznej. Cyrkiel jest narzędziem do odmierzania odległości punktu od punktu, ale nie punktu od prostej.

Przybliżone rozwiązania wielkich problemów

Podwojenie sześcianu

Wyznaczyć krawędź sześciany, którego objętość jest. dwa razy większa od objętości danego sześcianu.

Konstrukcja Bunofalcego. Mamy daną ścianę ABCD sześcianu o krawędzi a (patrz rys. l). Dzielimy przekątną DB na sześć równych odcinków. Na boku DA odkładamy odcinek DE taki, że

Wówczas

\EB\ = \AB\²+(\AD\-\ED\)² =1/6 │AB│ 74-12 2

Wykonując obliczenia z dokładnością do pięciu cyfr po przecinku i porównując wyniki z wartością liczby a 2, mamy

0,001a < a 2 - \EB\ < 0,002a.

Trysekcja kąta

Podzielić dowolny kąt na trzy równe części.

Z ogólnych twierdzeń wynika, że dla pewnych kątów ϕ konstrukcja ta jest wykonalna za pomocą cyrkla i li­nijki, a dla pewnych — nie jest. Na przykład możemy ją wy­konać dla ϕ=1/2π,1/4π, a nie możemy dla ϕ=1/3π

Konstrukcja Dürera. Mamy dany kąt ostry AOB, który niech będzie kątem środkowym okręgu o(0,AO) (patrz rys. 2). Dzielimy odcinek AB na trzy równe części: AC₁ = C₁C₂ = C₂B. W punktach C₁ i C₂ prowadzimy prostopadle do AB, które przecinają łuk AB w punktach D₁, D₂. Budujemy teraz sumę odcinków AD₁, D₁D₂, D₂B i znajdujemy trzecią część tej sumy. Odkładamy cięciwę AE równą otrzymanemu

odcinkowi. Wtedy

| AOE| ≈ 1/3 │ AOB│

i błąd jest mniejszy niż 18", a ponadto maleje on, gdy kąt zbliża się do zera. Warto zaznaczyć, że konstrukcja ta ma piękną myśl przewodnią: punkty D₁ i D₂ dzielą łuk AB na nierówne części. Gdybyśmy przyjęli którąkolwiek cięciwę AD₁, D₁D₂, D₂B za cięciwę odpowiadającą trzeciej części kąta AOD, to popełnilibyśmy duży błąd. Aby go zmniejszyć, po­szukujemy cięciwy AE, której długość jest średnią arytme­tyczną wskazanych odcinków.

Konstrukcja Finslera. Jest ona bardzo dokładna dla kątów mniejszych niż 22°30'. Mamy dany kąt AOD, AO = OB (patrz rys. 3). Odkładamy punkt C tak, by był on końcem średnicy AC okręgu o(0, AO). Na przedłużeniu OC od­kładamy C P = O A oraz odcinek \OM\=4/5\OA\. Okrąg o₁(M, MA) przecina półprostą CB w punkcie D. Kąt DPA możemy uważać za trzecią część kąta AOB (błąd nie prze­kracza tu 0,74").

Uwaga. Pomijamy tu niezbyt łatwe uzasadnienie popraw­ności przybliżonych konstrukcji trysekcji kąta.

Rektyfikacja okręgu

Wyznaczyć odcinek o długości równej długości danego okręgu.

Konstrukcja Spechta. Do okręgu o(0, OA) (patrz rys. 4) kreślimy styczną w punkcie A i odkładamy odcinki

\AB\=11/5\OA\, \AC\=13/5\OA\.

Na półprostej AO odkładamy odcinek \AD\ = |OB|. Z punktu D prowadzimy równoległą do OC. Wtedy

|AD| = │OB│ = |OA|²+121/25|OA²|=1/5 146│OA│

│AE│ │AC│

│AD│

│ao│

więc

więc

\AE\ = 13/25 l46|OA|≈ 6,2831839 |OA |.

Rys. 4

Długość odcinka AE różni się od długości okręgu o mniej niż 0,000002 |OA|.

Konstrukcja Kochańskiego (1685). Do okręgu o(C, CB) kreślimy w punkcie B styczną BE (patrz rys. 5) oraz cięciwę \BF\ = | C B |. Z punktu C kreślimy prostą przechodzącą przez środek cięciwy B F. Przecina ona styczną w punkcie D. Na tej stycznej odkładamy

\DE\=3\CB\.

Rys. 5

Wtedy

\AE\ = 1/3 3\CB\, BE =(3-1/3 3)CB,

AE= 40/3- 12CB≈3,14153334 \CB\.

Zatem odcinek AE różni się od połowy długości okręgu o mniej niż 0,00005931 CB. Zwróćmy uwagę, że konstrukcja. ta jest wykonywana jednym rozwarciem cyrkla!

Kwadratura kota

Wyznaczyć taki odcinek, aby pole kwadratu zbudowanego na tym odcinku było równe polu koła o danym promieniu.

I. Możemy to zrobić korzystając na przykład z rektyfi­kacji Kochańskiego, co ilustruje rysunek 6. Odcinek AB jest promieniem okręgu, a odcinek AC połową długości okręgu.

Rys. 6

Aby opisać następną konstrukcję, przypomnijmy jak wy­kreślamy złotą część odcinka OA. Złotym podziałem odcinka o długości a nazywamy taki jego podział na dwa odcinki

o długościach x i a — x, że

a_ x

x a-x

skąd

x=1/2( 5-1)a

Odcinek o długości x nazywamy złotą częścią odcinka o dłu­gości a. Konstrukcja takiego podziału znana była już Staro­żytnym. Oto konstrukcja Herona z Aleksandrii (I wiek n.e.).

Rys.7

Mamy dany odcinek OA (patrz rys. 7). Budujemy okrąg o(0, OA). Na odcinku OA, jako na średnicy, kreślimy okrąg o₁(0', 1/2OA). Z punktu O wystawiamy prostopadłą,

\OB\=\OA\

do odcinka OA. Odcinek O'B przecina okrąg o₁ w punkcie M. Z twierdzenia Pitagorasa łatwo można sprawdzić, że

\MB\ = 1/2(\/5- 1)|OA|.

II. Mamy dany okrąg o(0, OA) oraz jego średnicę AA' (patrz rys. 8). Na odcinku OA odkładamy odcinek 0F równy złotej części odcinka OA, a następnie odcinek

\FH\=1/4\OF\.

Rys. 8

Wtedy A' H jest bokiem kwadratu, którego pole różni się od pola koła ograniczonego okręgiem o(0, OA) o mniej niż

0,001OA² . Obliczamy

\A'H\ = |OA| + ½ ( 5 - l) |OA| + 1/8 ( 5 - l) |OA| = 1/8 (5\/5+3)|OA| ≈ 1,7725432 |OA|.

Różnica między |A'H| a π|OA| nie przekracza zatem war­tości 0,0001 |OA|.

III. Mamy dany okrąg o(0, OA) oraz punkty A, B będące końcami średnicy (patrz rys. 10). Tworzymy odcinki

|OD|=3/5|OA|, |OF|=3/2|OA|

i punkt E jako środek odcinka OB. Następnie na odcinkach DE i AF, jako na średnicach, budujemy półokręgi po przeciw­nych stronach. Prostopadła do AB poprowadzona w punkcie O przecina te półokręgi w punktach G i H. Odcinek \GH\ różni się od π|OA| o mniej niż 0,00002|OA|; wystarczy zauważyć, że

OG²=\OD\⋅\OE\,

\OH\²= \AO\ ⋅\OF\.

Mimo że kwadratury koła nie można wykonać środkami klasycznymi, istnieją figury ograniczone łukami okręgów (tzw. księżyce Hipokratesa), dla których jest to możliwe.

METODA MIEJSC GEOMETRYCZNYCH W ZADANIACH KONSTRUKCYJNYCH

Zastosowanie miejsc geometrycznych do rozwiązywania zadań konstrukcyjnych. Metoda miejsc geometrycznych jest często stosowana przy rozwiązywaniu zadań konstrukcyjnych

Rzeczywiście, budując np. trójkąt ABC o trzech danych bo­kach A B == c, BC = a i CA = 6 rozumowaliśmy tak: Ponieważ BC = a, więc punkt C należy do miejsca geometrycznego punktów odległych od punktu B o odcinek a. Podobnie, ponieważ CA = b, więc punkt C należy do miejsca geometrycznego punktów odległych od punktu A o odcinek b. Wystarczało zbudować obydwa miejsca geometryczne (są to okręgi), aby w przecięciu otrzymać wierzchołek C.

Dla przykładu rozwiążemy zadanie:

ZADANIE. Zbudować trójkąt ABC mając dane: bok A B = c, bok BC = a i wysokość CD = h.

Pełne rozwiązanie zadania składa się z czterech części:

Analiza. Przypuśćmy, że trójkąt ABC (rys. B) jest szukanym trójką­tem. Położenie wierzchołka C względem boku A B można określić następująco:

B. Rysunek do analizy za­dania konstrukcyjnego

I. Ponieważ BC = a, więc punkt C należy do miejsca geome­trycznego punktów odległych od punktu B o odcinek a. Jest nim okrąg zakreślony z punktu B promieniem a.

c. Konstrukcja trójkąta przy danych a, c i h

II. Ponieważ CD == h, więc punkt C należy do miejsca geome­trycznego punktów odległych od prostej A B o odcinek h. Sta­nowią je dwie proste równoległe do prostej A B i odległe od niej o odcinek h.

Budując obydwa miejsca geometryczne otrzymamy w prze­cięciu wierzchołek C.

Konstrukcja wykonana jest na rysunku C. Uzu­pełniamy ją opisem:

Czynność wykonywana Co otrzymujemy

Na dowolnej prostej p, poczyna- Wierzchołki A i B

jąć od dowolnego punktu A,

odkładamy A B = c

Z punktu B promieniem a zakre­ślamy

okrąg K

Budujemy dwie proste l₁ i l₂

W przecięciu mamy punkt C₁(albo C₂, albo C`₁, albo C'₂)

Szukany trójkąt ABC

równoległe do p i odległe od

prostej p o odcinek h

Łączymy każdy z otrzymanych

punktów C z wierzchołkami

A i B

Przypominamy, że są różne sposoby budowania równoległej do danej prostej. Najdogodniej jest wystawić prostopadłą do prostej p, odłożyć na niej odcinek h w jedną lub drugą stronę od punktu A i w końcu odcinka h powtórnie wystawić prosto­padłą.

Dowód wynika bezpośrednio z konstrukcji.

Badanie rozwiązań. Ponieważ prosta p stanowi oś syme­trii zarówno dla zakreślonego okręgu, jak i dla dwu zbudowanych prostych równoległych, wystarczy ograniczyć się do zbadania liczby rozwiązań po jednej ze stron prostej p; po drugiej stronie rozwiązania powtórzą się symetrycznie.

Rozwiązalność zadania zależy od tego, czy prosta l₁ przecina okrąg K, czy też nie. Zgodnie z twierdzeniami mamy:

Jeżeli h > b, to prosta l₁ nie przecina okręgu K i zadanie nie ma rozwiązania.

Jeżeli h = b, to prosta l₁ jest styczna do okręgu K i jako roz­wiązanie otrzymujemy jeden trójkąt ABC.

Jeżeli h < b, to prosta l₁ przecina okrąg w dwu punktach i jako rozwiązanie otrzymujemy dwa trójkąty ABC₁ i ABC₂ (rys. C).

---