TEORIA RYZYKA

RYZYKO oznacza możliwość osiągnięcia wartości końcowej kapitału (inwestycji, instrumentu finansowego) różniącej się od wartości oczekiwanej.

Działanie w warunkach ryzyka, dotyczy podejmowania decyzji odnośnie do zdarzeń, które mogą wystąpić z określonym prawdopodobieństwem.

Najprecyzyjniej ryzyko definiuje się jako zmienną losową, czyli ryzyko p - jest prawdopodobieństwem wystąpienia wartości zmiennej x większej od pewnej ustalonej apriorycznie wartości granicznej x₀. Zatem p = f (x >x₀).

Trudność polega na tym, że funkcja f jest na ogół nieznana, więc należy posługiwać się jej szacunkiem f^. Tu pojawia się subiektywizm związany z wyborem metody estymacji i związanych z nią przyjmowanych założeń wstępnych, często nie poddających się empirycznej weryfikacji. Dlatego przyjęto do określania ryzyka parametr jego rozkładu, a mianowicie wariancję δ², a dokładnie jej oszacowanie s².

Jest to nie tylko uproszczenie (parametr rozkładu zamiast całego rozkładu), lecz także subiektywizm związany z przyjętą metodą estymacji statystycznej parametrów rozkładu zmiennej. Dlatego dla precyzyjnego szacowania ryzyka poszukuje się takich rozkładów, które można zweryfikować empirycznie, przyjmując bardzo wysokie wymagania dotyczące precyzji oszacowań (dość złożony aparat matematyczny).

Zatem o tym, że ktoś działa w warunkach ryzyka, można mówić wtedy, kiedy jego decyzja dotyczy zdarzeń, które mogą wystąpić z określonym prawdopodobieństwem. Jest ono liczbą z przedziału [0,1], która pokazuje, ile razy dane zdarzenie wystąpi, jeśli określona sytuacja powtórzy się wielokrotnie:
, gdzie: p - prawdopodobieństwo wystąpienia badanego zdarzenia, m - liczba powtórzeń zdarzenia, M - liczba prób.

NIEPEWNOŚĆ jest czymś innym niż ryzyko. Problem niepewności występuje w rzeczywistości ekonomicznej, kiedy podejmujący decyzję nie znają konsekwencji swojego wyboru. Niepewność w działalności ekonomicznej klasyfikuje się na ogół według źródła pochodzenia, które może wynikać ze:

• zmiany preferencji - w wypadku inwestycji - użytkowników, w rezultacie wpływające na strukturalne zmiany popytu w różnych gałęziach;

• zmian w postępie technicznym (bardziej prawdopodobne w przemysłach komplementarnych, mniej w metodach tworzenia infrastruktury);

• indywidualnej reakcji użytkowników na konieczność przystosowania się do zmian wywołanych rozwojem infrastruktury;

• działania sił przyrody niemożliwych do przewidzenia, a nawet do rozpoznania.

Niepewność interpretuje się niekiedy przez wprowadzenie czynnika czasu, dla którego przyszłość nie jest znana, więc o wystąpieniu zdarzeń lub zjawisk można twierdzić z określonym prawdopodobieństwem. Dla całego szeregu przewidywanych skutków zdarzeń nie zawsze jest możliwe określenie prawdopodobieństwa wystąpienia każdego z nich. Gdzie można określić którekolwiek z trzech rodzajów prawdopodobieństwa: matematyczne, statystyczne lub szacunkowe, tam występuje ryzyko. Inaczej mówiąc, ryzyko definiuje się w kontekście znajomości rozkładu prawdopodobieństwa. Miary prawdopodobieństwa są jednocześnie miarami ryzyka. Prawdopodobieństwo zdarzenia zawiera się 0≤ p ≤1; jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia W wynosi p, to ryzyko jego niewystąpienia wynosi (1-p). Jeśli niemożliwe jest określenie prawdopodobieństwa jakiegoś zdarzenia, to działalność odbywa się w warunkach niepewności. Niejednokrotnie w procesie podejmowania decyzji można oszacować wielkości zdarzeń (stopa zwrotu z inwestycji w różnych wariantach projektu), ale niemożliwe jest przypisanie im prawdopodobieństwa. Ryzyko można określić jako mierzalną niepewność. W literaturze spotyka się zamienne stosowanie obu pojęć.

ZACHOWANIA W PRZYPADKU RYZYKA I NIEPEWNOŚCI

Grami nazywa się sytuacje, kiedy wyniki o pewnej wartości pieniężnej pojawiają się z różnym prawdopodobieństwem.

Zachowanie konsumenta w przypadku ryzyka, który chce wydać dodatkową jednostkę pieniądza na jedno z dwóch dóbr: apaszkę lub buty. Kupując może, w każdym przypadku, trafić na dobro bez wad albo na dobro z wadami ukrytymi. Jeśli umie wycenić korzyści w pieniądzu, to można określić korzyści, jakie czerpie z zakupu towaru bez wad oraz z zakupu bubla.

Dobro	Bez wad	Bubel
apaszki	6	-3
buty	2	-1

Który zakup jest korzystniejszy? Dla konsumenta, dokonującego wielokrotnie tego typu zakupów w przeszłości oznacza to udział w grze, w której nagrodami i karami są wypłaty związane z nabywanym dobrem występujące z określonym prawdopodobieństwem.

Dobro	p1 (bez wad)	p2 (bubel)
apaszki	0,6	0,4
buty	0,5	0,5

Po wyeliminowaniu dodatkowego zdarzenia mogącego zakłócić podjęcie decyzji (np. kradzież pieniędzy), za optymalny należy uznać wybór maksymalizujący korzyści z zakupu. Ponieważ nie zna z góry wartości wypłaty musi poznać średnią korzyść z zakupu obu dóbr. Stąd pojawia się wartość oczekiwana z gry, czyli średnia wypłata uzyskiwana przy wielokrotnym powtarzaniu gry:

EV (w₁, w₂, p₁, p₂) = p₁∙w₁ + p₂∙w₂,

gdzie: w₁ i w₂ - wypłaty; p₁, p₂ - prawdopodobieństwo, z którym wystąpi wypłata.

W powyższym przykładzie: EV_apaszek = 0,6∙6 + 0,4∙(-3) = 2,4

EV_butów = 0,5∙2 + 0,5∙(-1) = 0,5.

Jeśli konsument chciałby maksymalizować wartość oczekiwaną, to powinien kupić apaszki.

Zachowanie konsumenta w przypadku niepewności oznacza dłuższą drogę do określenia racjonalnego zachowania, ponieważ nie zna prawdopodobieństw wystąpienia zdarzeń. Kryteria, według których może dokonywać wyboru są różne.

1. Przyjęcie jednakowego prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń. Wówczas:

Dobro	p1	p2
apaszki	0,5	0,5
buty	0,5	0,5

EV_apaszek = 0,5∙6 + 0,5∙ (-3) = 1,5

EV_butów = 0,5∙2 + 0,5∙(-1) = 0,5.

Zmiana wartości oczekiwanej nie wpływa jednak na zmianę preferencji zakupów, gdyż konsument kierujący się maksymalizacją korzyści wybierze apaszki.

2. Przyporządkowanie poszczególnym zdarzeniom własnych wag konsumenta. Jeśli konsument nie lubi tracić, to powinien przywiązać większą wagę do zjawisk niekorzystnych. Wówczas:

Dobro	p1	p2
apaszki	0,2	0,8
buty	0,2	0,8

EV_apaszek = 0,2∙6 + 0,8∙(-3) = -1,2

EV_butów = 0,2∙2 + 0,8∙(-1) = -0,4.

W tym wypadku konsument zyska więcej kupując buty. Jeśli jednak ma duszę hazardzisty, to może zastosować wagi odwrotne i wtedy wybrałaby apaszki. Skrajni pesymiści nie powinni w ogóle interesować się korzyściami, lecz tylko stratami; optymiści zaś - jedynie zyskami.

Cena pewności w zakupach konsumenta. Gdyby konsument wiedział, że ma przed sobą bubel, to prawdopodobnie zrezygnowałby z zakupu takiego dobra. Jednak po uzyskaniu dodatkowej informacji o jakości nabywanego dobra wartość oczekiwana wzrosłaby, ponieważ nie traciłby na takim zakupie, tj.:

EV_apaszek = 0,6∙6 + 0,4∙0 = 3,6.

Przyrost wartości oczekiwanej ∆EV = 3,6 - 2,4 = 1,2. Pokazuje on, o ile wzrośnie wartość oczekiwana dzięki nabyciu wiedzy, pozwalającej unikać zdarzeń niekorzystnych. Ta dodatkowa wartość musi mieć cenę; jest ona równa przyrostowi wartości oczekiwanej, który nastąpił dzięki uzyskaniu pewnej informacji. Jest to wartość oczekiwana doskonałej informacji, a kwota, o którą wzrosła wartość oczekiwana jest maksymalną sumą, jaką potencjalny nabywca zechce zapłacić za uzyskanie doskonałej informacji.

RODZAJE GIER

Biorąc pod uwagę kryterium wyniku wartości oczekiwanej gry dzielą się na korzystne, uczciwe (sprawiedliwe) i niekorzystne (nieuczciwe).

Kryterium


wynik wartości oczekiwanej





niekorzystne (nieuczciwe)

(EV < 0)

korzystne (EV> 0)

uczciwe

(sprawiedliwe: EV = 0)

Jeśli istnieje 50%-owa szansa zarobienia 1000 PLN, to znaczy, że istnieje jednocześnie 50%-we prawdopodobieństwo utraty tej kwoty pieniędzy (rzut monetą). Udział w takiej grze nie przynosi - przeciętnie rzecz biorąc - szansy na zarobienie pieniędzy. Stąd też taką grę nazywa się uczciwą. Czyli gra uczciwa to taka gra, w przypadku której zyski - przeciętnie rzecz biorąc - są równe zeru.

Jeśli szansa wygrania w/w sumy pieniędzy wynosiłaby 30%, a szansa przegrania 70%, to taką grę nazywa się nieuczciwą. Grając w nią - przeciętnie rzecz biorąc traci się pieniądze.

Gdyby sytuacja była odwrotna, tj. 70%-we prawdopodobieństwo wygranej i 30%-we przegranej, to gra byłaby korzystna, ponieważ udział w grze przeciętnie przyniósłby zysk.

Nie zawsze ludzie biorą udział w grach dobrowolnie. Przypuśćmy, że ktoś posiada domek letniskowy warty 100 tys. PLN na skraju Borów Tucholskich. Niech prawdopodobieństwo włamania do niego i straty 10 tys. PLN wynosi 10%, a prawdopodobieństwo tego, że do włamania nie dojdzie i właściciel ani nie straci, ani nie zyska wynosi 90%. Życie zmusza do udziału w takiej grze.

Za dokładną miarę zmienności wyników gry (ryzykowność gry) uznaje się wariancję gry (WG). Jest ona sumą podniesionych do kwadratu odchyleń wyników gry od jej wartości oczekiwanej, zważonych prawdopodobieństwem wystąpienia tych wyników, czyli


, gdzie:

w_s -wynik gry, p_s - prawdopodobieństwo ich wystąpienia.

Kryterium

skala zmienności wyników

i

częstotliwość pojawiania się ich wartości skrajnych





mniej ryzykowne (WG₁)

WG₁ < WG₂ bardziej ryzykowne (WG₂)

WG₁ < WG₂

Gra jest bardziej ryzykowna, im większy jest rozrzut jej wyników i im częściej pojawiają się wyniki najbardziej oddalone od wartości oczekiwanej gry. Im niższa wariancja, tym niższe ryzyko.

POSTAWY LUDZI WOBEC RYZYKA

Typ człowieka	Decyzja o udziale w grze	Ubezpieczenie przy niekorzystnych stawkach
Unikający ryzyka (asekurant)	Aby zagrać potrzebuje przewagi szans na wygraną	Wykupi polisę
Neutralny wobec ryzyka	Nie zagra, gdy widoki na wygraną są niekorzystne	Nie wykupi polisy
Skłonny do ryzyka (ryzykant, hazardzista)	Zagra nawet wtedy, gdy prawdopodobieństwo przegranej przeważa	Nie wykupi polisy

Użyteczność z osiągania korzyści:

• osoby neutralnej wobec ryzyka przyjmuje postać funkcji użyteczności U(w) = a⋅w

• asekuranta -
  

• ryzykanta - U(w) = aw².















































































Premia za podejmowanie ryzyka przyjmuje następującą formułę matematyczną:

pU(B₁) + (1 - p)U(B₂) = U(pB₁ + (1 - p)B₂ - PR).

Informuje ona, w którym punkcie preferencje decydenta zmieniają się.

Gdyby użyteczność oczekiwana gry była jednakowa dla asekuranta i ryzykanta (uczestniczą w identycznej grze i z założenia w obu przypadkach użyteczności z posiadania jednakowych wypłat są takie same) , to jednakowa byłaby także wartość oczekiwana z gry. Opisane osoby różnią się natomiast użytecznością z posiadania sumy odpowiadającej wartości oczekiwanej gry. W przypadku asekuranta jest ona wyższa niż w przypadku ryzykanta: U_A(EV)>U_R(EV).






U U_R



U_A

U_EVA







EU


U_EVR


0 EV wypłaty

Asekurant woli mieć na pewno sumę odpowiadającą wartości oczekiwanej gry niż grać rzeczywiście. W jego przypadku U_A(EV)>EU.

Ryzykant raczej zagra niż przyjmie oferowaną z pewnością kwotę równą wartości oczekiwanej gry. W jego przypadku oczekiwana użyteczność gry przewyższa użyteczność wartości oczekiwanej: EU>U_R(EV).

Istnieje też kwota, której posiadanie na pewno daje konsumentowi użyteczność równą użyteczności oczekiwanej gry. Jest to tzw. ekwiwalent pewności CE (certainty equivalent). Asekurant postrzega udział w grze jako nieprzyjemny. Należy wobec tego przypuszczać, że zechce on zapłacić za uniknięcie gry (CE_A<EV). Jest to doskonały kandydat na klienta instytucji ubezpieczeniowej. W przypadku ryzykanta jest odwrotnie: CE_R>EV. Pozbawienie możliwości podjęcia gry trzeba by mu zrekompensować, płacąc dodatkową sumę pieniędzy.

MALEJĄCA KRAŃCOWA UŻYTECZNOŚĆ PIENIĄDZA



użyteczność całkowita użyteczność całkowita




ΔU₂





ΔU₃






ΔU₂ ΔU₁





ΔU₁

(Δ U₁) > (ΔU₂)



0 ΔM₁ ΔM₂ ΔM₃ bogactwo 0 M₁ M* M₂ bogactwo

Skoro użyteczność krańcowa dochodu pieniężnego maleje, to utrata danej sumy pieniądza powoduje spadek użyteczności całkowitej, który jest większy od przyrostu użyteczności całkowitej spowodowanego dodatkowym dochodem takiej samej wielkości. Utrata kwoty M₁M* powoduje obniżenie się użyteczności całkowitej o ΔU₁, natomiast przyrost dochodu o kwotę M₂M*, równą M₁M*, podnosi użyteczność tylko o ΔU₂. Malejąca krańcowa użyteczność sprawia, że |ΔU₁| > |ΔU₂|. Wartość bezwzględna straty jest większa od wartości bezwzględnej korzyści.

Gra sprawiedliwa w kategoriach pieniężnych okazuje się niekorzystna w kategoriach użyteczności. Wygrana pewnej kwoty pozwoli na zakup jakiejś ilości dóbr luksusowych, przegrana zaś zmusi do zrezygnowania z zakupu znacznej ilości dóbr podstawowych. Właśnie dlatego ludzie unikają gier sprawiedliwych, czyli są niechętni ryzyku! Wyjątek może stanowić udział w okazjonalnych grach o niskich stawkach, prowadzonych dla czystej przyjemności. Gra zapewniająca równe szanse wygrania lub przegrania określonej kwoty pieniężnej nie jest grą uczciwą z punktu widzenia użyteczności.

Podejmowanie ryzyka zależy od dwóch czynników: uczucia przyjemności lub przykrości towarzyszącemu ryzyku.

W rzeczywistości są osoby, które mają różne preferencje w odniesieniu do ryzyka, zależnie od wielkości majątku, który posiadają.




U(w)











0 I II III wypłaty

Stosunek do ryzyka zależy od wielkości majątku konsumenta. Gdy nie jest bogaty (I), wówczas jest asekurantem. Przy większym majątku (II) staje się ryzykantem, ale po przekroczeniu kolejnego poziomu majątku (III) ponownie staje się asekurantem.

METODY PROBABILISTYCZNO - STATYSTYCZNE W POMIARZE RYZYKA

1. Założenia wyjściowe i zasady zastosowania metod

Założenia wyjściowe:

• horyzontu czasowego (t) budowy i eksploatacji,

• kryterium oceny efektywności projektu inwestycyjnego np. NPV,

• definicji rozłącznych pojęć mających istotne znaczenie z punktu widzenia mechanizmów zastosowania metod, np. rzeczywiście osiągnięta NPV i oczekiwana NPV (spodziewana w przyszłości), oszacowana NPV, możliwe salda przepływów w przyszłości z różnymi prawdopodobieństwami. Salda przepływów pieniężnych to zmienne losowe w danym horyzoncie czasu realizacji i eksploatacji inwestycji; te salda to różnice między przychodami i kosztami (ujemne w okresie budowy i dodatnie w czasie eksploatacji).

• warunki realizacji projektu, głównie związanych z charakterystyką zdarzeń inwestycyjnych (zmiennych losowych) w czasie, np. sald przepływów środków pieniężnych,

• wariantów i scenariuszy projektów inwestycyjnych uwzględniających wszystkie skrajnie możliwe niepewne warunki inwestowania (korzystne i niekorzystne).

Metody te są związane z rachunkiem ustalania wartości oczekiwanych i ze statystycznym pomiarem ryzyka. Zakłada się, że istnieje rozkład prawdopodobieństw kształtowania się zmiennych rachunku efektywności inwestycji na określonym oczekiwanym poziomie.

Można wyróżnić podstawowe zasady zastosowania metod probabilistyczno - statystycznych w pomiarze ryzyka:

1. Gdy salda przepływów środków pieniężnych w okresie realizacji projektu są zmiennymi losowymi, to kryterium oceny efektywności ekonomicznej tego projektu stanowi oczekiwana wartość zaktualizowana netto NPV, a nie wartość zaktualizowana netto.

2. Strumienie sald przepływów środków pieniężnych związanych z danym projektem inwestycyjnym mogą być niezależne lub zależne w czasie.

W skomplikowanych sytuacjach decyzyjnych rozłożonych w czasie wykorzystywana jest metoda decyzyjnego drzewa inwestycyjnego.

2. Pomiar ryzyka w warunkach niezależności zmiennych w czasie.

Wariancyjne ryzyko inwestycyjne

W ujęciu probabilistycznym ocena ryzyka inwestycyjnego polega na oszacowaniu kilku możliwych poziomów sald przepływów środków pieniężnych dla każdego okresu i określenia prawdopodobieństw ich wystąpienia w celu ustalenia oczekiwanego salda tych przepływów. Następnie dokonuje się pomiaru ryzyka, zakładając, że standardowymi jego miarami są statystyczne miary rozproszenia, a więc wariancja, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności.

E t a p I

Oczekiwaną wartość salda niezależnych przepływów pieniężnych dla każdego okresu oblicza się wg wzoru: E(S_t) =


gdzie: i = 1,2,..m_t - numery prawdopodobnych poziomów przepływów pieniężnych w okresie t; symbol m_t oznacza, że liczba tych przepływów może być zróżnicowana w poszczególnych latach budowy i eksploatacji;

S_ti - saldo przepływów pieniężnych w okresie t na poziomie i;

p_ti - wskaźnik prawdopodobieństwa kształtowania się przepływów pieniężnych w okresie t na poziomie i, przy spełnieniu warunku Σp_ti = 1.

Możliwe salda S_ti są traktowane jako zmienne losowe. Natomiast oczekiwana wartość E(S_t), wiążąca się z niepewnością, jest określana jako średnia ważona możliwych do zrealizowania sald przepływów pieniężnych z wagami równymi prawdopodobieństwom ich realizacji.

Po oszacowaniu wartości prawdopodobnej wszystkich sald przepływów pieniężnych należy obliczyć oczekiwaną wartość zaktualizowaną netto:

E(NPV) =
gdzie: a_t - współczynnik dyskontujący dla okresu t, tj.


. Dla uproszczenia zakłada się, że nakład początkowy występujący w okresie t = 0 jest pewny, tj p = 1. Gdyby go uwzględnić, to

E(NPV) = - S₀ +
.

E t a p II

Obliczanie wariancji sald przepływów pieniężnych V(S_t) dla każdego okresu t wg wzoru: V(S_t) =
.

Następnie oblicza się wariancję zaktualizowanych sald przepływów, czyli wariancję bieżącej wartości netto V(NPV):

V(NPV) =
.

Wariancja wartości NPV jest średnią ważoną kwadratów odchyleń możliwych do zrealizowania sald od oczekiwanej zaktualizowanej wartości salda przepływów pieniężnych E(NPV). Wariancja wartości NPV wyrażona jest w procentach podniesionych do kwadratu. W praktyce korzystniejsze jest operowanie pierwiastkiem z wariancji, czyli odchyleniem standardowym.

E t a p III

Ustalenie odchylenia standardowego NPV: σ
.

Podobnie jak wyżej wartość zero przyjmuje w sytuacji braku ryzyka odnośnie do przyszłego poziomu salda przepływów pieniężnych.

E t a p IV

Ustalenie współczynnika zmienności wartości zaktualizowanej netto NPV:

C(NPV) =
.

Współczynnik może przyjąć wartości z przedziału (- ∞, + ∞), czyli nie jest mianowany. Wielkość ryzyka na jednostkę oczekiwanej wartości NPV powinna być najmniejsza.

Ponieważ odchylenie standardowe informuje, o ile przeciętnie przyszła wartość zaktualizowana netto NPV ocenianego projektu może odchylać się (plus, minus) od obliczonej oczekiwanej wartości E(NPV). Wraz z współczynnikiem zmienności oznacza, że prostym kryterium oceny projektu inwestycyjnego jest minimalizacja ryzyka względem oczekiwanej wartości NPV. W praktyce to kryterium jest realizowane przez maksymalizację E(NPV) oraz minimalizację V(NPV) i odchylenia standardowego σ(NPV).

Przy założeniu, że rozkład prawdopodobieństwa jest normalny, rzeczywiste saldo przepływów będzie zawarte w 68,26% przypadków w granicach ± odchylenia standardowego, 95,46% przypadków w granicach ± 2 odchyleń standardowych, a w 99,74% przypadków w granicach ± 3 odchyleń oczekiwanego salda (reguła trzech sigm). Bardziej skomplikowana jest sytuacja, gdy rozkład zmiennej znacznie różni się od rozkładu normalnego.

W inwestowaniu wzrostowi odchylenia standardowego towarzyszy spłaszczenie krzywej dzwonowej. Wynika to z faktu, że wzrost horyzontu czasowego inwestycji jest utożsamiany ze wzrostem trudności weryfikacji warunków inwestowania, a w tym obszaru ryzyka. Krzywe dzwonowe są coraz bardziej spłaszczone dla coraz odleglejszych okresów. Oznacza to tendencje do zmniejszania wartości oczekiwanej i wzrost rozpiętości ryzyka w późniejszych przedziałach czasu.

Współczynnik zmienności jest przydatny również w procesie oszacowania premii z tytułu ryzyka. Premia za ryzyko to różnica między zyskiem z realizacji projektu inwestycyjnego w warunkach niepewnego otoczenia a zyskiem z inwestycji pozbawionej ryzyka. Premia z tytułu ryzyka może być rozpatrywana jako funkcja współczynnika zmienności, ponieważ jego poziom jest proporcjonalny do ryzyka. Oznacza to, że wraz ze wzrostem tego współczynnika wzrasta ryzyko towarzyszące realizacji projektu inwestycyjnego.

Gdy poziom współczynnika zmienności jest wysoki, należy powtórzyć obliczanie oczekiwanej wartości NPV przy uwzględnieniu stopy procentowej zwiększonej o premię z tytułu ryzyka, w celu wzrostu granicznej stopy rentowności. W takim wariancie uzyskana kolejna dodatnia wartość NPV jest argumentem przemawiającym za realizacją inwestycji nawet przy dużym ryzyku.




Bardziej złożona decyzja dotycząca wierceń

$ 26

700 D 0,2





5000 baryłek $ 19 350

0,15 0,5


$ 15 150


0,3

ropa na B E $ 26 1180








głębokości 900 m 8000 baryłek 0,2


0,13 0,55 0,5 620




$ 26 300

0,3

$ 26 2460




16 000 baryłek F 0,2



$ 19 1340



A 0,3 0,5

Wiercić $ 15 700



0,3







$ 26 400

G 0,2


5000 baryłek $ 19 50




0,28 0,5



$ 15 -150

C 0,3





ropa na głębokości H $ 26 820


1500 m 8000 baryłek 0,2




0,21 0,48 $ 19 0,5 260




$ 15 -50

0,3



I $ 26 0,2 1940


16 000 baryłek $ 19 820



0,24 0,5




$ 15 0,3 180

brak ropy 0,66 -400




MECHANIZM POWSTANIA RYNKU UBEZPIECZEŃ

Asekuranta charakteryzuje funkcja oczekiwanej użyteczności pieniądza U(w) = w^1/2, a ryzykanta - U(w) = 0,001w².

Asekurant ma dom o wartości 100 tys. zł, który z prawdopodobieństwem 0,1 może spłonąć; ryzykant ma willę o wartości 200 tys. zł i wścibską sąsiadkę. Ryzykant proponuje asekurantowi grę: jeśli zapłaci mu pewną kwotę, to ryzykant w przypadku pożaru zwróci asekurantowi wszystkie utracone pieniądze. Czy proponowana gra jest korzystna zależy od kwoty, której zapłacenia żąda ryzykant.




U(zł)

U(w) = w^1/2





10






9 EU (100,0, 0,9, 0,1) = 0,1*0 + 0,9 * 100^1/2 = 9

U(CE) = 9 w^1/2 = 9 w = 9² = 81 = CE

EV = 0,1* 0 + 0,9*100 = 90

Asekurant przystanie na każdą składkę z przedziału [0, 19]


Premia za podjęcie ryzyka = 90 - 81 = 9

0 81 90 100 tys. zł

Funkcja oczekiwanej użyteczności pieniądza asekuranta

EU(200) = 0,001 *200² = 40 EU(200+x)=0,9*0,001(200+x)²+

EV = 0,9*200 + 0,1*100 = 190 +0,1*0,001*(100+x)²>40⇒ x = 7,75



EU(100, 0,1 200, 0,9) =

=0,001*100²*0,1 + 0,001*200²*0,9= 37 U(w) = 0,001 w²


U(zł)











40



37








100+x 197 200+x

0 100 190 200 0 100 200

składka ubezpieczeniowa = 0 składka ubezpieczeniowa > 0

Funkcja użyteczności oczekiwanej pieniądza ryzykanta

Ryzykant ubezpieczy asekuranta, jeśli za zdjęcie ryzyka otrzyma przynajmniej 7,75 tys. zł; asekurant przyjmie ofertę, ponieważ mieści się w przedziale [0, 19].

POKUSA NADUŻYCIA I NEGATYWNA SELEKCJA

Zachowanie ubezpieczonego, które prowadzi do zwiększenia prawdopodobieństwa wystąpienia szkody nazywa się pokusą nadużycia (moral hazard). W wyjaśnieniu tego zjawiska pomaga teoria gier (model „pryncypała i agenta”, w którym podejmowane decyzje zależą od dostępnej informacji i nie ma możliwości sprawdzenia ich przez drugiego gracza przed poznaniem ostatecznych wyników). Najczęściej dochodzi wówczas albo do wycofania się ubezpieczyciela z umowy, albo do podniesienia stawki ubezpieczenia. Zjawisko nadmiernej liczby osób, które charakteryzują się większym prawdopodobieństwem wystąpienia szkody w stosunku do średniego prawdopodobieństwa jej wystąpienia, nazywa się negatywną selekcją. Przeciwdziałanie obu zjawiskom polega na odmawianiu pełnego ubezpieczenia potencjalnej straty, rozróżniania składki w zależności od grup nabywców (selekcja polegająca na odsiewaniu grup klientów charakteryzujących się negatywnym zachowaniem - np. wyższe składki ubezpieczeniowe dla młodych kierowców).

AWERSJA DO STRAT

Autorzy tzw. teorii prospektu podają następujący eksperyment:

1. Podmiot ma do wyboru dwie możliwości:

• dochód 3000 bez ponoszenia ryzyka

• dochód 4000 z prawdopodobieństwem 0,75 lub 0 z prawdopodobieństwem 0,25.

Wartość oczekiwana w obu przypadkach wynosi 3000. Okazuje się, że większość ludzi wybiera sytuację pierwszą, charakteryzującą się awersją do ryzyka.

2. Podmiot ma do wyboru dwie możliwości:

• pewna strata 3000

• strata 4000 lub 0, przy czym prawdopodobieństwo straty 4000 wynosi 0,75, a prawdopodobieństwo straty 0 wynosi 0,25.

Można wyciągnąć wniosek, że w przypadku zwiększania się kapitału (dochodu) podmiot charakteryzuje się awersją do ryzyka, a w przypadku zmniejszania się kapitału (dochodu), czyli straty charakteryzuje się skłonnością do ryzyka. Zjawisko to nazwano awersją do strat.















Użyteczność

(a) (b)




EU





EU_R EU_R



EU







obecna wartość kapitału (dochodu)

W_T - kapitał (dochód) podmiotu wzrasta do tego poziomu, gdy nie ryzykuje

Gdy podmiot decyduje się na podjęcie ryzyka (z p = 0,5 i 0,5), wartość końcowa wynosi W₁ lub W₂. Oczekiwana wartość końcowa kapitału jest równa wartości otrzymanej w przypadku niepodjęcia ryzyka W_T. Oczekiwana użyteczność w przypadku inwestycji wolnej od ryzyka EU jest wyższa od oczekiwanej użyteczności w przypadku inwestycji ryzykownej EU_R. W sytuacji (a) podmiot jest asekurantem i wybierze inwestycję wolną od strat. W sytuacji (b) oczekiwana użyteczność EU w przypadku inwestycji wolnej od ryzyka jest niższa od oczekiwanej użyteczności w przypadku inwestycji ryzykownej EU_R. Oznacza to, że podmiot, charakteryzujący się awersją do strat wybierze sytuację ryzykowną o tej samej oczekiwanej wartości końcowej kapitału (dochodu) co inwestycja wolna od ryzyka.

Zob. J. Hirshleifer: Investment Decision under Uncertainty - Choice-Theoretic Approaches, „The Quarterly Journal of Economics” vol. LXXIX, no.4/1965 i E. Smaga: Ryzyko i zwrot w inwestycjach, Fundacja Rozwoju Rachunkowości w Polsce, Warszawa 1995, s. 8-9.

Chodzi o sytuację, w której jedna ze stron (właściciel - pryncypał) przekazuje pełnomocnictwa drugiej stronie (agentowi) do prowadzenia działalności, lecz rezultaty poznaje poprzez ostateczne wyniki wskutek braku pełnej informacji. Tego typu powiązania występują w kontaktach między podmiotami o różnym dostępie do informacji. Zob. szerzej M. Wolawski, A. Wieczorek, H. Sosnowska, Konkurencja i kooperacja. Teoria gier w ekonomii i naukach społecznych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997, s. 113 - 115.

D. Kaheneman, A. Tversky, Prospect theory: an analysis of decision under risk. “Econometrica” 1979, No. 47. Cyt. za K. Jajuga, op. cit.

22

Użyteczność

U

U(B)

Y

X

U(B₂)

U(B₀)

EU(B)

U(B₁)

A

(a)

Użyteczność

U

E

0 B₁ B* B₀ B₂ korzyści

(b)

U(B)

Y

U(B₂)

E

EU(B)

U(B₀)

A

U(B₁)

X

0 B₁ B₀ B* B₂ korzyści

EU = p₁ U(B₁) + p₂ U(B₂)

Wartość oczekiwana tam, gdzie


Premia za podejmowanie ryzyka = B₀B*

Ekwiwalent pewności CE (0B*)

0 W₁ W₀ W_T W₂ W 0 W₁ W₀ W_T W₂ W

---