Wydział : FiTJ	Imię i nazwisko : Rafał Szuman, Rafał Sikora				rok II	Grupa 3			Zespół 10
Pracownia fizyczna I	Temat ćwiczenia : Drgania elektromagnetyczne obwodu RLC							Ćwiczenie nr: 61
Data wykonania: 14.03.00		Data oddania: 21.03.00	Zwrot do poprawy:	Data oddania:			Data zaliczenia:			Ocena:

Cel ćwiczenia

Obserwacja drgań tłumionych i przebiegów aperiodycznych w obwodzie LCR. Pomiar i interpretacja parametrów opisujących obserwowane przebiegi napięcia U(t). Badanie obwodu LCR jako modelowej realizacji fizycznej liniowego równania różniczkowego drugiego stopnia.

Wprowadzenie

Zjawisko drgań elektromagnetycznych w obwodzie złożonym z idealnej indukcyjności L i pojemności C jest wyidealizowanym przypadkiem drgań obwodu elektrycznego. Częstość ω takich niegasnących drgań dana jest wzorem

(1)

Rzeczywisty obwód posiada niezerową rezystancję R, na który składa się rezystancja cewki i dodatkowej opornicy.

Zachowanie obwodu, nazywanego obwodem LCR, opisuje równanie różniczkowe

(2)

Nie ma łatwego sposobu pomiaru zmiennego w czasie ładunku q(t), ale możemy mierzyć, proporcjonalne do q(t), napięcie kondensatora U(t) = q(t)/C. Równanie powyższe przepisać można dla funkcji U(t) w postaci:

. (3)

Równanie to, w zależności od wartości wyznacznika

,

nazwanego rezystancją krytyczną, ma trzy jakościowo różne rozwiązania.

1. Dla wartości R<R_c otrzymujemy rozwiązanie w postaci funkcji

, (4)

które reprezentuje gasnące drgania kosinusoidalne. β jest współczynnikiem tłumienia, którego odwrotność odpowiada czasowi po którym amplituda sygnału spadnie o czynnik 1/e. Wartości β i ω wyrażają się przez:

,
, (4a)

A jest amplitudą niegasnących drgań, a δ jest fazą.

2. Dla wartości R=R_c rozwiązaniem jest funkcja

, (5)

która ze wszystkich rozwiązań najszybciej maleje do zera (najszybsze wytłumienie drgania),

. (5a)

3. Dla R>R_c funkcja ma rozwiązanie w postaci

, (6)

gdzie

,
. (6a)

Gdy spełnione jest R>>R_c, to powyższą funkcję można przybliżyć funkcją

, (7)

gdzie τ=RC. Na poniższym rysunku zebrane są wszystkie omówione przypadki.

Opracowanie wyników.

1. Drgania gasnące

W tabeli zebrano wyniki pomiarów dla przebiegu gasnącego.

Rd=0 [Ω]		Rd=200 [om]
t [ms]	U [V]	t [ms]	U [V]
175	1,05	324,8	1,04
189,6	-0,87	339,2	-0,78
204,8	0,65	353,6	0,54
219,2	-0,56	368	-0,41
233,6	0,39	382,4	0,26
248,8	-0,34	398,4	-0,23
263,2	0,24	412,8	0,12
277,6	-0,23
293,6	0,15
308	-0,15
321,6	0,08
338,4	-0,1

Dane w tabeli poniżej pogrubionej linii nie są brane pod uwagę przy rozważaniach jakościowych, ponieważ ujawnia się tu niedokładność użytego oscyloskopu. Objawia się to podawaniem zawyżonych wartości mierzonego napięcia, szczególnie dla napięć ujemnych. Widać to wyraźnie na poniższym wykresie jako rozrzut punktów o większym t od prostej.

Na podstawie danych z tabeli obliczono okres jako:

,

gdzie t oznacza czas kolejnego ekstremum, a n i m jego numer. Uzyskano wynik
T= 29,32±0,1 [ms],
≈214[Hz]. Za błąd pomiaru okresu przyjęto najmniejszą działkę czasu, a błąd częstości pominięto ze względu na jego bardzo małą wartość. Następnie obliczono ln|U_i| i narysowano wykres zależności |ln|U_i|| od t. Dla poprawienia czytelności wykresu przesunięto pierwszy punkt wykresu do wartości t=0.

Rd=0 [Ω]		Rd=200 [om]
t [ms]	|ln|U|| [V]	t [ms]	|ln|U|| [V]
0	0,048790	0	0,039221
14,6	0,139262	14,4	0,248461
29,8	0,430783	28,8	0,616186
44,2	0,579818	43,2	0,891598
58,6	0,941609	57,6	1,347074
73,8	1,078810	73,6	1,469676
88,2	1,427116	88	2,120264
102,6	1,469676
118,6	1,897120
133,0	1,897120
146,6	2,525729
163,4	2,302585

Proste (y=ax+b)są prostymi dopasowanymi metodą najmniejszych kwadratów. Współczynnik nachylenia a jest współczynnikiem tłumienia β. Do obliczeń użyto wzorów:

,

,

,

,

, (8)

Stąd otrzymano wynik (po zamianie ms na s) β=15,4±0,8 dla obwodu bez dodatkowej rezystancji i β=23,0±1,1 dla obwodu z rezystancją Rd=200 Ω.

2. Przebieg aperiodyczny

W tabelce zebrano wyniki pomiarów dla przebiegów aperiodycznych i dane przygotowane do wyrysowania wykresu.

R=Rc=8 [kΩ]				Rc<<R=15 [kΩ]
t [ms]		U [V]		t [ms]		U [V]
26,48		0,66		20,8		0,67
26,64		0,66		21,6		0,66
26,8		0,66		24		0,62
26,82		0,65		28		0,58
27,52		0,63		34,4		0,52
28,4		0,61		38,4		0,49
29,2		0,57		42,4		0,45
29,76		0,54		50,4		0,4
31,36		0,44		58,4		0,37
33,2		0,33		66,4		0,34
34,64		0,26		80,8		0,28
36,4		0,16		96		0,24
37,12		0,14		121,6		0,19
38,96		0,08		132,8		0,17
41,12		0,04		164,8		0,13
42,56		0,01		208		0,09
43,63		0		272,8		0,05
				464		0,01
				464,4		0
Rc<<R=15 [kΩ]			R=Rc=8 [kΩ]
t [ms]	|lnU| [V]		t [ms]		|lnU| [V]
0	0,400478		0		0,415515
0,8	0,415515		0,16		0,415515
3,2	0,478036		0,32		0,415515
7,2	0,544727		0,34		0,430783
13,6	0,653926		1,04		0,462035
17,6	0,71335		1,92		0,494296
21,6	0,798508		2,72		0,562119
29,6	0,916291		3,28		0,616186
37,6	0,994252		4,88		0,820981
45,6	1,07881		6,72		1,108663
60	1,272966		8,16		1,347074
75,2	1,427116		9,92		1,832581
100,8	1,660731		10,64		1,966113
112	1,771957		12,48		2,525729
144	2,040221		14,64		3,218876
187,2	2,407946		16,08		4,60517
252	2,995732
443,2	4,60517

Dla przebiegu aperiodycznego R>>Rc rozwiązanie jest sumą dwóch funkcji wykładniczych (6), przy czym składnik z mniejszą wartością β zanika wolniej. Znajduje to odbicie w wyniku eksperymentu, gdyż wykres początkowo nie jest prostą, przechodzi w nią dopiero dla większych t. Stąd współczynnik nachylenia prostej, liczony analogicznie jak w przypadku 1, jest współczynnikiem β₂ równania (6). Wartość tego współczynnika liczono na podstawie wzorów (8) wynosi β₂=0,0095±0,0005, przy czym w obliczeniach pominięto pierwszych 7 punktów.

Krzywą teoretyczną dla R=Rc liczono na podstawie wzoru (5), wstawiając
, U₀=0,67 [V] i przyjmując czas z przedziału 0 do 25 [ms]. Wyliczone wartości zestawiono w tabelce.

t [ms]	U [V]	t [ms]	U [V]
0	0,6	13	0,098874
1	0,584101	14	0,081533
2	0,545878	15	0,067026
3	0,495985	16	0,054947
4	0,441455	17	0,044932
5	0,386781	18	0,03666
6	0,334695	19	0,029848
7	0,286727	20	0,024257
8	0,243604	21	0,019678
9	0,205528	22	0,015938
10	0,172378	23	0,01289
11	0,143838	24	0,010411
12	0,119489	25	0,008397

Teoretycznie wyliczone wartości β, ω i β₂, obliczone wg. wzorów (1), (4a), (5a) i (6a) wynoszą odpowiednio:

W tabelce zestawiono wartości eksperymentalne i teoretyczne.

	Teoretycznie	Eksperymentalnie
ω	250	214
βRd=0	23,4375	15,4
βRd=200	29,6875	23,0
β2	68,22	9,53

Zaskakująco duży błąd dla parametru β₂ wziął się prawdopodobnie z mylnego odczytania wartości rezystora dodatkowego. Gdy podstawimy zamiast R=10.000 Ω wartość R=100.000 Ω, otrzymamy wartość β₂=9,94, co znacznie lepiej pokrywa się z wynikiem eksperymentu.

Wnioski:

Wyniku eksperymentu w znacznym stopniu pokrywają się z oczekiwaniami teoretycznymi. Trudno jednoznacznie ocenić w jakim stopniu, ponieważ nie posiadaliśmy danych o błędach pomiarów indukcyjności, pojemności i rezystancji cewki. Podane wartości są „okrągłe”, co upraszcza obliczenia, ale może być źródłem rozbieżności. Tezę tą potwierdza pomiar częstości, który był bardzo dokładny, a dał inny niż teoretyczny wynik. Podsumowując, eksperyment w zadowalającym stopniu potwierdził słuszność teoretycznych rozważań.

---