Rozdział 1

WPROWADZENIE DO METOD NUMERYCZNYCH

1.1. Pojęcie metod numerycznych

Można zaryzykować twierdzenie, iż większość problemów obliczeniowych występujących w nauce i technice wymaga zastosowania metod przybliżonych, a rozwiązanie każdego z takich problemów odbywa się zazwyczaj w kilku etapach, między którymi mogą występować różne pętle sprzężeń zwrotnych:

1. Określenie zbioru kryteriów, które powinny być spełnione przez rozważany układ i utworzenie jego modelu fizykalnego. W zależności od stopnia złożoności układu określenie takiego zbioru kryteriów może być zadaniem bardzo łatwym lub też zadaniem bardzo trudnym - wymagającym wnikliwego zbadania wielu własności układu.

2. Opis matematyczny modelu fizykalnego w formie odpowiedniego układu równań algebraicznych, różniczkowych lub całkowych wraz z odpowiednimi warunkami początkowymi i brzegowymi.

3. Napisanie programu komputerowego i jego testowanie oraz wykonanie obliczeń numerycznych za pomocą komputera. Sposób rozwiązywania zadania wynika z ustalenia metody rozwiązywania postawionego problemu, przyjęcia określonej dokładności wyników i wyboru odpowiedniego języka programowania.

4. Analiza wyników, polegająca na sprawdzeniu zgodności uzyskiwanych wyników obliczeń numerycznych z zachowaniem się układu rzeczywistego.

Metody numeryczne są działem matematyki stosowanej, zajmującym się opracowywaniem metod przybliżonego rozwiązywania skomplikowanych zagadnień ma-tematycznych, których rozwiązanie metodami ścisłymi byłoby nadzwyczaj trudne lub wręcz niemożliwe.

Podstawowe cechy metod numerycznych:

- obiektami działań są liczby,

- mają na ogół charakter przybliżony,

- każda z metod numerycznych musi prowadzić do realizacji skończonego ciągu operacji elementarnych, ponieważ zarówno pamięć komputera ma skończoną pojemność, jak i liczba operacji dających się przeprowadzić w jednostce czasu jest skończona. Wynika stąd, że układy fizyczne badane metodami obliczeniowymi muszą być reprezentowane przez dyskretne, skończone modele matematyczne.

Metody numeryczne, jako dyscyplina nauki, powstawały niezależnie od środków technicznych wspomagających obliczenia, jednakże obecny ich rozwój był i jest możliwy przede wszystkim dzięki dynamicznemu rozwojowi szybkich elektronicznych maszyn cyfrowych. Szybkie elektroniczne maszyny cyfrowe weszły do użycia na początku lat pięćdziesiątych poprzedniego stulecia, kolejny przełom nastąpił na początku lat osiemdziesiątych po pojawieniu się w powszechnej sprzedaży komputerów nowej generacji - mikrokomputerów. Warto tu zaznaczyć, że komputer - będący jakościowo nowym instrumentem obliczeniowym znacznie przewyższającym inne przybory rachunkowe - odgrywa również dużą rolę w tworzeniu rozmaitych teorii fizycznych i ekonomicznych ze względu na wielką liczbę operacji, którą jest w stanie wykonać i możliwość sprawdzenia różnych zbiorów abstrakcyjnych założeń.

Zastosowanie metod numerycznych może dostarczyć informacji o zjawiskach, których badanie eksperymentalne jest bardzo trudne lub wręcz niemożliwe np. ba-danie struktury gwiazd, badanie syntezy termojądrowej, badanie obiektów latających i pływających.

Metody numeryczne są nie tylko nauką zajmującą się badaniem sposobów umożliwiających rozwiązywanie zadań matematycznych za pomocą działań arytmetycznych, ale również pewnego rodzaju sztuką - gdyż przy wyborze metody najlepiej dostosowanej do konkretnego zadania musimy często obok znajomości rozmaitych metod obliczeniowych posłużyć się także doświadczeniem i intuicją, które można rozwijać tylko poprzez rozwiązywanie różnych zadań numerycznych.

1.2. Błędy obliczeń

Ze względu na fakt, że rozwiązania zagadnień otrzymanych przy wykorzystaniu metod numerycznych są rozwiązaniami przybliżonymi - niezwykle istotny jest problem badania błędów obliczeń, a oszacowanie wielkości błędów powinno być nie-odłącznym elementem każdych obliczeń.

Przybliżony charakter rozwiązań numerycznych jest spowodowany występowaniem następujących rodzajów błędów:

- opisu problemu,

- obcięcia,

- początkowych,

- zaokrągleń.

Błędy opisu problemu pojawiają się wówczas, gdy przyjęty model fizyczny jest jedynie przybliżeniem zjawiska rzeczywistego lub wtedy gdy sformułowane zadanie obliczeniowe jest zbyt skomplikowane i zastępuje się je zadaniem uproszczonym.

Błędy obcięcia, nazywane także błędami metody, wynikają przeważnie z zastąpienia działań nieskończonych lub działań na wielkościach nieskończenie małych przybliżonymi działaniami skończonymi. Przykładami powstawania tego rodzaju błędów są:

1) obliczanie wartości funkcji elementarnej (np. ) za pomocą N początkowych wyrazów szeregu Taylora,

2) zastąpienie całki funkcji sumą skończoną wartości funkcji,

3) rozwiązywanie zagadnień metodami kolejnych przybliżeń, które dają na ogół rozwiązania nie obarczone błędami tylko w granicy, gdy liczba iteracji dąży do nie-skończoności,

4) rozwiązywanie zagadnień opisywanych równaniami różniczkowymi metodą różnic skończonych, polegającą na przybliżaniu pochodnych ilorazami różnicowymi.

Błędy początkowe (błędy danych wejściowych) powstają wówczas, gdy w obliczeniach jako danych używamy wielkości uzyskanych z pomiarów oraz zaokrąglonych stałych matematycznych i liczb niewymiernych np.

Źródłem błędów zaokrągleń jest niedokładna reprezentacja liczb rzeczywistych w maszynie cyfrowej, powodująca konieczność zaokrąglania liczb podczas wykonywania działań zmiennopozycyjnych. Łączny błąd zaokrąglenia może mieć ogromny wpływ na wynik, gdyż w wielu przypadkach dla uzyskania rozwiązania trzeba wy-konać wiele tysięcy lub nawet milionów działań arytmetycznych, z których każde jest wykonywane na liczbach zaokrąglonych.

Liczby rzeczywiste są zapamiętywane w maszynie cyfrowej w tzw. postaci zmiennopozycyjnej

(1.1)

gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą, m - liczbą rzeczywistą z przedziału [0, 1] nazywaną mantysą, c - liczbą całkowitą zwaną cechą; najczęściej stosowaną podstawą tych rozwinięć jest

N = 2 . (1.2)

Liczby rzeczywiste są więc przedstawiane w układzie dwójkowym (1.1) - (1.2) w sposób zmiennopozycyjny za pomocą dwóch grup bitów: pierwsza - mantysa - jest interpretowana jako część ułamkowa, druga - cecha - jako liczba całkowita. Liczba t zmiennopozycyjnych cyfr mantysy decyduje o dokładności zmiennopozycyjnego przedstawienia liczb rzeczywistych, gdyż mantysa jest zaokrąglana do t cyfr jej rozwinięcia dwójkowego lub też cyfry jej rozwinięcia binarnego wykraczające poza przyjętą liczbę bitów są odrzucane. Liczba cyfr cechy decyduje o zakresie liczb rzeczywistych dopuszczalnych dla danego komputera.

Błąd bezwzględny zaokrąglenia mantysy wynika z ogólnej reguły zaokrąglania liczb [1 - 3]

(1.3)

gdzie jest nieskończonym rozwinięciem mantysy (przy odrzuceniu cyfr wykraczających ponad przyjętą liczbę t bitów błąd zaokrąglenia jest dwukrotnie większy). Przy jego wykorzystaniu łatwo możemy oszacować błąd względny zapisu liczby rzeczywistej

(1.4)

W obliczeniach numerycznych wykonywanych w języku Object Pascal t = 7 ÷ 20 w zależności od rodzaju typu rzeczywistego: Single, Real, Double, Extended.

Konsekwencją przybliżonego reprezentowania liczb w maszynie cyfrowej są błędy działań arytmetycznych (1.3), (1.4) - spowodowane tym, że każda z operacji wykonywanych na wartościach obarczonych błędami wnosi nowe błędy.

Przy dodawaniu i odejmowaniu dwóch liczb i obarczonych błędami względnymi i otrzymujemy następujące oszacowanie błędu względnego tych działań

, (1.5)

odniesionego do sumy i różnicy znanych wielkości przybliżonych i . Z oszacowania (1.5) wynika, że przy odejmowaniu dwóch liczb o zbliżonych wartościach może nastąpić znaczne zwiększenie błędu względnego np. dla


zaokrąglonych z błędami = = 0.01%, obliczamy − =

i następnie wypada
≈ 33%.

Oszacowanie wielkości błędu względnego dla innych operacji arytmetycznych najłatwiej można uzyskać korzystając z oszacowania błędu względnego wartości funkcji n zmiennych niezależnych różniczkowalnej względem każdej z tych zmiennych

(1.6)

Przykładowo dla operacji mnożenia i pierwiastkowania ze wzoru (1.6) mamy:

(1.7)

10 1. Wprowadzenie do metod numerycznych

1.2. Analiza błędów 9

---