Ekonometria wyklad 2, Ekonomia UG, 2, Ekonometria


Wykład 2. Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów.

Załóżmy, że zmienne 0x01 graphic
stanowią zbór zmiennych objaśniających zmiany zmiennej 0x01 graphic
. Oznacza to, że obydwa zbiory zmiennych wchodzą w relację 0x01 graphic
, postaci: 0x01 graphic
. Relacja 0x01 graphic
jest odwzorowaniem, któremu przypisujemy pewną szczególną własność, jest funkcją, nie jest obojętne jaką postać analityczną przyjmuje.

Zdefiniujmy kolejne, drugie założenie, zgodnie z którym, relacja 0x01 graphic
jest odwzorowaniem funkcyjnym liniowym postaci:

0x01 graphic
0x01 graphic
,

gdzie: 0x01 graphic
- zbiór zmiennych objaśniających,

0x01 graphic
- zmienna objaśniana,

0x01 graphic
- parametry strukturalne,

0x01 graphic
- składnik losowy.

Zwykle nie mamy pełnej informacji o wartościach parametrów strukturalnych 0x01 graphic
. Ich wartości numeryczne można oszacować, jednakże procedurę wnioskowania, znaną w literaturze ekonometrycznej jako proces estymacji, poprzedza przyjęcie funkcji kryterium dopasowania modelu do danych empirycznych.

Klasyczna ekonometria przyjmuje takie kryterium jest nim funkcja będącą sumą kwadratów odchyleń pomiędzy wartościami empirycznymi /zmierzonymi/ a wartościami teoretycznymi, zdefiniowanymi w (2.1).

(2.2) 0x01 graphic
.

Funkcja 0x01 graphic
osiąga minimum dla takiego zbioru oszacowań 0x01 graphic
dla którego pochodne cząstkowe funkcji 0x01 graphic
względem każdego parametru 0x01 graphic
, /gdzie: 0x01 graphic
/ przyjmują wartość zero:

0x01 graphic
0x01 graphic
.

Pochodne cząstkowe 0x01 graphic
definiują układ 0x01 graphic
równań o 0x01 graphic
niewiadomych parametrach 0x01 graphic
:

0x01 graphic
(2.3)

Układ równań (2.3) jest układem równań niejednorodnych, układ taki może mieć rozwiązanie bądź nie. Był rozwiązać układ musi być spełniony warunek sformułowany przez Kroneckera - Capelliego, zgodnie z jego treścią, rzędy macierzy głównej i uzupełnionej muszą być takie same.

Pozostaje rozstrzygnąć jednoznaczność rozwiązania, jeśli bowiem spełniony jest warunek Kroneckera - Capelliego a ponadto rzędy macierzy głównej oraz uzupełnionej są równe liczbie niewiadomych układu, wówczas rozwiązanie, jest rozwiązaniem jedynym i jednoznacznym.

Zdefiniowany układ równań, literatura ekonometryczna określa mianem układu równań normalnych. Jego rozwiązanie jeśli istnieje i jest jednoznaczne, informuje o wartościach parametrów strukturalnych modelu. Jest to jednak mimo swojej skuteczności metoda mało efektywna, głównie czasochłonna, wymagająca czasu na zdefiniowanie układu równań normalnych a następnie dyskusję dotyczącą istnienia oraz liczby rozwiązań zdefiniowanego układu.

Dużym uproszczeniem procesu wnioskowania o wartościach numerycznych parametrów strukturalnych jest zapis modelu przy użyciu pojęć rachunku macierzowego.

Oznaczmy:

0x01 graphic
- macierz zmiennych objaśnianych,

0x01 graphic
- macierz zmiennych objaśniających,

0x01 graphic
- macierz parametrów strukturalnych modelu,

0x01 graphic
- macierz składników losowych.

Model (2.1) po uwzględnieniu przyjętych powyżej oznaczeń przyjmie postać:

0x01 graphic
,

Realizacją składnika losowego są reszty modelu „0x01 graphic
” równe:

0x01 graphic
,

gdzie „0x01 graphic
” są ocenami parametrów strukturalnych α.

Założenia:

  1. liniowa postać analityczna modelu,

  2. zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi,

  3. składnik losowy ma wartość oczekiwaną zero i stałą wariancję σ2 o skończonej wartości / stałość wariancji rozumiana jest jako jej niezależność od t/,

  4. realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg {ξt} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

  5. składnik losowy jest nieskorelowany ze zmiennymi objaśniającymi,

  6. zmienne objaśniające nie są współliniowe.

Funkcja kryterium dopasowania modelu do danych empirycznych jest równa:

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Pochodna cząstkowa 0x01 graphic
,

stąd 0x01 graphic
.

Jeśli spełnione są założenia 0x01 graphic
to macierz wariancji i kowariancji D2(0x01 graphic
) estymatora „0x01 graphic
” jest równa:

0x01 graphic
,

gdzie: 0x01 graphic
jest wariancją składnika losowego.

Ponieważ nie znamy składnika losowego /znane są jedynie reszt równania/ stąd σ2 zastępujemy oceną 0x01 graphic
, gdzie:

0x01 graphic
.

Licznik wyrażenia jest równy 0x01 graphic
. Pierwiastek kwadratowy z 0x01 graphic
nazywamy błędem standardowym.

Zgodność modelu z „rzeczywistością” mierzy współczynnik determinacji 0x01 graphic
, jest ilorazem odchyleń wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej 0x01 graphic
od wartości średniej tej zmiennej do odchyleń wartości empirycznych zmiennej objaśnianej od wartości średniej zmiennej:

0x01 graphic
.

Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału 0x01 graphic
. Wartość tego współczynnika określa jaką część zmienności zmiennej objaśnianej opisuje przyjęty zbiór zmiennych objaśniających.

Miarę zgodności opisu uzupełniają błędy średnie szacunku parametrów strukturalnych. Wyznaczane są w oparciu o elementy macierzy wariancji i kowariancji estymatora 0x01 graphic
. Błędy średnie szacunku parametrów są pierwiastkami z wariancji estymatora, 0x01 graphic
.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Fuzje i przejęcia - wykłady, WZR UG ZARZĄDZANIE - ZMP I STOPIEŃ, V SEMESTR (zimowy) 2014-2015, FUZJE
Ekonometria wyklad 3.2, Ekonomia UG, 2, Ekonometria
Ekonometria wyklad 3.4, Ekonomia UG, 2, Ekonometria
Ekonometria wyklad 1, Ekonomia UG, 2, Ekonometria
Geografia turystyczna wykłady na UG
Geografia turystyczna, wykłady na UG
Finanse - wykład, FiR UG LSN, 5 semestr, Finanse samorządu terytorialnego, Finanse samorządu terytor
Zarządzanie Jakością wykłady, ZARZĄDZANIE - UG, SEMESTR 3, Zarządzanie jakością
Ekonometria wyklad 5, Ekonomia UG, 2, Ekonometria
Podstawy zarządzania wykłady, ZARZĄDZANIE - UG, SEMESTR 2, Podstawy zarządzania
wykład 1-3, wzr UG, OWI
Ekonometria wyklad 3.1, Ekonomia UG, 2, Ekonometria
PRODUKTY UBEZEPIECZENIOWE - PIERWSZY WYKŁAD, WZR UG ZARZĄDZANIE - ZMP I STOPIEŃ, V SEMESTR (zimowy)
Ekonometria wyklady 3.3, Ekonomia UG, 2, Ekonometria
Podstawy Zarzadzania - M.Czerska - WYKLADY, ZARZĄDZANIE - UG, SEMESTR 2, Podstawy zarządzania
Ekonometria wyklad 4, Ekonomia UG, 2, Ekonometria

więcej podobnych podstron