Politechnika

Opolska

Laboratorium z fizyki

• Ćwiczenie nr 3

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Przygotowali:

13. Wyznaczanie przyspieszania ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Część teoretyczna

1) Ruch harmoniczny prosty

Ruchem harmonicznym prostym nazywamy taki ruch zmienny, w którym siła działająca na drgający obiekt jest wprost proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i zwrócona w stronę położenia równowagi.

F_x = -kx

x- współrzędna położenia ciała w danej chwili zwana wychyleniem.

k- współczynnik proporcjonalności.

Wykazuje podobieństwa do ruchu po okręgu :

• Oba ruchy odbywają się po zamkniętym torze. Ruch harmoniczny po odcinku, drugi ruch po okręgu.

• Oba ruchy są okresowe. Po pewnym czasie T powtarza się zarówno jeden jak i drugi ruch.

• Siła w obu ruchach jest siła dośrodkową.

Wzór na współrzędną x punktu w ruchu harmonicznym ma postać: x=Acos(t+), gdzie A jest promieniem koła (A jest maksymalną wartością jaką może mieć współrzędna x i nazywa się amplitudą ruchu harmonicznego). Kąt =t nazywa się fazą ruchu drgającego, zaś kąt  przesunięciem fazowym.

3) Metody wyznaczania momentu bezwładności bryły oraz środka masy

• Wyznaczanie momentu bezwładności były metodą wahadła fizycznego.

Każdą bryłę sztywną zawieszoną na osi przechodzącej powyżej środka masy możemy traktować jako wahadło fizyczne. Bryła, tak zawieszona, po wychyleniu z położenia równowagi porusza się ruchem wahadłowym z okresem

T=2(B/mgl)

gdzie B-moment bezwładności bryły względem osi wahań, m-jej masa, l-odległość środka masy od osi wahań.

• wyznaczanie momentu bezwładności bryły metodą wahadła torsyjnego

Wahadłem torsyjnym nazywamy umocowaną na osi bryłę, która skręcona od położenia równowagi, porusza się ruchem wahadłowym, harmonicznym pod wpływem siły sprężystości.

• wyznaczanie momentu bezwładności bryły za pomocą stolika obrotowego

Stolik obrotowy stanowi pozioma tarcza T umocowana w odpowiednim uchwycie na poziomej osi, obracającej się w łożyskach kulkowych z niewielkim tarciem. Na krążek osadzony na osi nawinięta jest nić, przełożona przez bloczek, a na jej końcu zawieszona jest szalka. Ciężar szalki, łącznie z ciężarem nałożonego odważnika stanowi siłę F_c, pod której działaniem rozpoczyna się ruch jednostajnie przyspieszony układu spadającego, oraz ruch obrotowy przyspieszony talerza T.

• Wyznaczanie środka masy

Środek masy leży na przecięciu linii pionów wykreślonych dla dwóch niezależnych punktów zawieszenia.

4) Długość zredukowana wahadła fizycznego

Z definicji l=I/mr

T_m = 2l/g - okres drgań wahadła matematycznego

T_f = 2I/mgr - okres drgań wahadła fizycznego

T_m =2(I/mr)*(1/g)= 2I/mgr = T_f

Widzimy, że wahadło matematyczne ma taki sam okres drgań jak wahadło fizyczne. Długość tę nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego.

5) Konstrukcja wahadła rewersyjnego

Wahadło rewersyjne zostało wykonane jako stalowy pręt, na którym osadzono dwa zwrócone ku sobie ostrzami noże i dwa krążki. Na pręcie zostały wykonane co 10 mm pierścieniowe nacięcia służące do dokładnego ustalania długości wahadła rewersyjnego (odległość między nożami). Noże i krążki można przemieszczać wzdłuż osi pręta i unieruchamiać w dowolnym położeniu. Elementy te zostały wykonane tak, że ich położenie wzdłuż pręta jest krotnością 10 mm, a pokrętła mocujące umieszczono tak, by korzystając z pierścieniowych nacięć można je było trwale zablokować.

Wspornik dolny wraz z czujnikiem fotoelektrycznym można przemieszczać wzdłuż kolumny

i unieruchamiać w dowolnie wybranym położeniu.

6) Metody pomiaru przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła:

A) matematycznego prostego

Wahadło proste jest to mały ciężarek, najczęściej kulka zawieszony na możliwie najbardziej nieważkiej i nierozciągliwej nici. Kulka odchylona od położenia równowagi i swobodnie puszczona porusza się ruchem drgającym zwanym wahadłowym. Siłą, która decyduje o tym ruchu, jest składowa siły ciężkości, styczna do toru kulki. Na kulkę wahadła działa siła ciężkości P=mg masa jest tu jedynie współczynnikiem proporcjonalności i możemy jej nie uwzględniać. W położeniu równowagi siła ciężkości jest zrównoważona siłą napięcia sprężystego nici. Ruch po łuku jest zmienny okresowo - zgodnie z przebiegiem funkcji sinus. Przyspieszenie jest proporcjonalne do wychylenia. Okresem drgań T nazywamy czas, w ciągu którego zachodzi jedno pełne drganie, tak więc

T=2l/g

Równanie to wyraża prawo drgań wahadła matematycznego.

A`) różnicowego

Aby pomiar długości wahadła prostego uczynić dokładniejszym, stosujemy tzw. wahadło różnicowe stanowiące pewną odmianę wahadła prostego. Jest to wahadło proste o przesuwalnym punkcie zawieszenia, przy czym tak skonstruowane, że można w sposób precyzyjny mierzyć nie bezwzględną długość wahadła, lecz zmiany jego długości. Na prostokątnej przytwierdzonej do ściany desce umocowany jest w górnej części metalowy uchwyt A, w którym osadzona jest na stałe cienka struna stalowa o długości 1,5 m; na jej końcu wisi kulka stalowa. Z uchwytem A połączona jest linijka metalowa B, zaopatrzona w podziałkę milimetrową. Wzdłuż niej można przesuwać suwak N z noniuszem i krótkim ramieniem R. Zmieniając położenie suwaka na skali zmieniamy długość wahadła. Na podziałce odczytujemy zmianę długości wahadła l.

l=l₁- l₂

T₁=2(l₁/g) lub (T₁)²=4²(l₁/g)

T₂=2(l₂/g) lub (T₂)²=4²(l₂/g), tak więc

4²(l₁-l₂) l₁-l₂ l

(T₁)²-(T₂)²=   g = 4²   g = 4² 

g (T₁)²-(T₂)² (T₁+T₂) (T₁-T₂)

b)wahadła fizycznego

Wahadłem fizycznym nazywamy jakąkolwiek bryłę sztywną zawieszoną na poziomej osi O przechodzącej powyżej środka masy bryły S. Jeżeli bryłę taką odchylimy od położenia równowagi o niewielki kąt , to poruszać się ona będzie ruchem wahadłowym, harmonicznym o pewnym okresie T, przy czym siłą decydującą o ruchu będzie ciężar wahadła P=mg przyłożony do jego środka ciężkości S. Ruch wahadłowy bryły możemy uważać za szczególny przypadek ruchu obrotowego zmiennego według praw ruchu harmonicznego. Przyspieszenie kątowe  w tym ruchu jest zmienne, osiągając maksymalną wartość w pozycji zwrotnej wahadła. Dla tej pozycji stosujemy drugą zasadę dynamiki ruchu obrotowego M=B, gdzie M-moment siły zewnętrznej, B-moment bezwładności bryły względem osi O. Bryła sztywna, jaką jest wahadło fizyczne, stanowi zbiór wahadeł matematycznych, wśród nich jest jedno, którego okres jest taki sam jak wahadła fizycznego, jest to tzw. wahadło zsynchronizowane, albo zredukowane. Okres drgań takiego wahadła podaje wzór:

T₀=2(l₀/g)

b) wahadła rewersyjnego

Wahadło rewersyjne jest to specjalnie skonstruowane wahadło fizyczne, które pozwala na bardzo dokładny pomiar l₀.

Niech C będzie środkiem masy układu leżącym na prostej OA. Na podstawie twierdzenia Steinera moment bezwładności względem osi O określa wyrażenie

B₀= B_c+ma², gdzie B_c oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy. Okres wahań względem osi O można napisać w postaci

T₀=2( B_c+ma²)/mga, gdzie a jest odległością środka masy C od osi obrotu. Jeśli zawiesimy wahadło na osi przechodzącej przez punkt A, to okres wahań względem niej będzie

T_A=2( B_c+mb²)/mgb, gdzie b jest odległością środka masy od punktu zawieszenia.

Przypuśćmy, że znana jest nam na podstawie przeprowadzonych pomiarów równość okresów

T₀=T_A otrzymamy B_c(a-b)=mab(a-b). Równanie to wyznacza takie położenie środka masy wahadła, które zapewnia omawianą równość okresów. Jest to możliwe, gdy:

(1) a=b, środek masy znajduje się w połowie długości odcinka OA

(2) a-b0, wtedy obie strony równania skracamy przez a-b i otrzymujemy B_c=mab, tak więc znajdujemy T₀=T_A=2(a+b)/g .

Zależność ta stwierdza, że okres wahadła fizycznego jest taki sam jak okres wahań wahadła zredukowanego o długości l=a+b .

Uzasadniliśmy więc podaną powyżej właściwość punktów O i A wahadła fizycznego, na której opiera się budowa wahadła rewersyjnego.

4²(a+b)

g = 

T²

Położenie I krążka [cm]	45
Położenie I noża [cm]	0
Położenie II noża [cm]	40
Położenie	Czas trwania n okresów
II krążka			Dla zawieszenia I				Dla zawieszenia II
[cm]	Ilość okresów	Czas	Okres	Ilość okresów	Czas	Okres
	[n]	[s]	T1[s]	[n]	[s]	T2[s]
3	10	12.914	1.2914	10	14.758	1.4758
4	10	12.830	1.2830	10	13.653	1.3653
5	10	12.734	1.2734	10	12.917	1.2917
6	10	12.66	1.266	10	12.373	1.2373
7	10	12.59	1.259	10	11.944	1.1944
8	10	12.528	1.2528	10	11.623	1.1623
9	10	12.498	1.2498	10	11.375	1.1375
10	10	12.422	1.2422	10	11.196	1.1196
11	10	12.382	1.2382	10	11.062	1.1062
12	10	12.342	1.2342	10	10.974	1.0974
13	10	12.317	1.2317	10	10.952	1.0952
14	10	12.286	1.2286	10	10.900	1.0900
15	10	12.283	1.2283	10	10.924	1.0924
16	10	12.256	1.2256	10	10.920	1.0920
17	10	12.244	1.2244	10	10.982	1.0982
18	10	12.247	1.2247	10	11.016	1.1016
19	10	12.256	1.2256	10	11.074	1.1074
20	10	12.256	1.2256	10	11.151	1.1151
21	10	12.262	1.2262	10	11.235	1.1235
22	10	12.274	1.2274	10	11.321	1.1321
23	10	12.29	1.229	10	11.418	1.1418
24	10	12.304	1.2304	10	11.514	1.1514
25	10	12.326	1.2326	10	11.618	1.1618
26	10	12.356	1.2356	10	11.723	1.1723
27	10	12.387	1.2387	10	11.846	1.1846
28	10	12.431	1.2431	10	11.951	1.1951
29	10	12.466	1.2466	10	12.076	1.2076
30	10	12.507	1.2507	10	12.184	1.2184
31	10	12.547	1.2547	10	12.313	1.2313
32	10	12.587	1.2587	10	12.433	1.2433
33	10	12.641	1.2641	10	12.553	1.2553
34	10	12.689	1.2689	10	12.676	1.2676
35	10	12.745	1.2745	10	12.802	1.2802

Opracowanie wyników:

• Wykres zależności okresów drgań T1 i T2 od położenia krążka 2 jest przedstawiony na

rysunku.

• Współrzędne punktu przecięcia T1 = 1,3002 T2 = 1,3024

• Długość zredukowana wahadła l = 41cm = 0,41m

6

---