ROZKŁAD NORMALNY.

- jest swoistą postacią rozkładu dwumianowego (jednego z rozkładów teoretycznych służących do obliczania prawdopodobieństwa); rozkład dwumianowy zwany także rozkładem Bernuollego, to rozkład określający liczbę sukcesów (p) w trakcie N niezależnych prób.

Na przykład ilość `orłów' w przypadku rzutu trzema monetami:

Możliwe wyniki:

1. 
   
   OOO 2) OOR 3) ORO

1. ORR 5) ROO 6) ROR

7) RRO 8) RRR

Rozkład prawdopodobieństw:

Liczba orłów	częstość	prawdopodobieństwo
3	1	1/8
2	3	3/8
1	3	3/8
0	1	1/8

Natomiast ilość `orłów' w przypadku rzutu 10 monetami:

Liczba orłów	częstość	prawdopodobieństwo
10	1	1 /1024
9	10	10 /1024
8	45	45 /1024
7	120	120 /1024
6	210	210 /1024
5	252	252 /1024
4	210	210 /1024
3	120	120 /1024
2	45	45 /1024
1	10	10 /1024
0	1	1 /1024

Na wykresie można by tę sytuację przedstawić następująco:

Podstawowy wniosek dla nas: pewne wartości w teoretycznym rozkładzie dwumianowym wystapują częsciej (większe prawdopodobieństwo) inne natomiast rzadziej (mniejsze prawdopodobnieństwo).

Wracając do rozkładu nomalnego.

- pisze się, że jest on uogólneniem rozkładu dwumianowego na sytuacje kiedy jest nieskończeie wiele prób

- innymi słowy jest on rozkładem zmiennej losowej ciągłej.

- rozkład wielu zmiennych (jak wiek, inteligencja) przybiera własnie kształt krzywej Gaussa.

- krzywa normalna:

- własności rozkładu normalnego:

2. krzywa jest symetryczna: średnia, mediana i dominanta zbiegają się w jednym punkcie

3. krzywa jest asymptotyczna - zbliża się do osi poziomej lecz nigdy do niej nie dochodzi (rozciąga się od minus nieskończoności do plus nieskończoności)

4. mniej więcej 68% powierzchni pod krzywą mieści się w granicach plus lub minus jednej jednostki odchylenie standardowego

5. w granicach ± 1,96 z (z to jednostka miary odchylenia standardowego) mieści się 95% powierzchni pod krzywą

6. w granicach ± 2,58 z mieści się 99% powierzchni pod krzywą

7. pole pod krzywą ma wartość równą 1 (100%)

8. z racji tego, że rozkład jest symetryczny na każdą stronę rozkładu przypada po 0,5 (50%) wartości pola pod krzywą

Zgodnie z regułą trzech sigm, znalezienie wartości mniejszej lub większej niż 3 odchylenia standardowe jest bardzo mało prawdopodobne!

- pojawiając się wartość `z' wiąże się z tym, że w statystyce najczęściej posługujemy się zestandaryzowanymi wartościami rozkładu normalnego

Standaryzacja rozkładu zmiennej polega na zamianie empirycznego (zmierzonego) rozkładu zmiennej o pewnej średniej (na przykład 100) i pewnym odchyleniu standardowym (powiedzmy 15), na rozkład, którego średnia wynosi 0, a odchylenie standardowe 1.

Procedura standaryzacji odbywa się `za pomocą' wzoru:

, gdzie: X - wartość zmiennej (zmierzona, emipryczna)

m - średnia

- odchylenie standardowe

Przykład standaryzacji Z:

	wartości zmiennej	standaryzacja Z
	1	-1,482
	2	-1,120
	3	-0,759
	4	-0,398
	5	-0,036
	5	-0,036
	6	0,325
	7	0,687
	8	1,048
	10	1,771
średnia	5,1	0,00
odch. stand.	2,77	1,00

Do czego służy rozkład normalny?

Na przykład, mamy dane: za pomocą testu inteligencji zmierzono iloraz inteligencji, uzyskano następujące wyniki:

1. średnia = 100

2. odchylenie standardowe = 15

Chcemy oszacować jaki procent populacji ma iloraz inteligencji równy 120 lub wyższy od tego wyniku.

W tym celu:

1. interesujący nas iloraz inteligencji (120 punktów) zamieniamy na wynik standardowy

Z = (120-100)/15 = 1,33

2. zatem iloraz inteligencji 120 mieści się 1,33 jednostek odchylenia standardowego od średniej (czyli 0 w rozkładzie zestandaryzowanym)

3. w tablicach rozkładu normalnego odnajdujemy zestandaryzowaną wartość 1,33 i odczytujemy jaki obszar znajduje się powyżej 1,33 (ten obszar to będzie procent osób posiadających iloraz inteligencji wyższy niż 120 punktów; 120=1,33)

4. obok wartości 1,33 znajduje się wartość 0,4082 - jest to obszar poniżej 1,33 do tego obszaru należy dodać wartość 0,5, czyli obszar, który znajduje się po drugiej stronie rozkładu

5. w efekcie mamy: 0,5 + 0,4082 = 0,9082, ta wartość to w istocie ilość osób, które maja iloraz inteligencji poniżej 120 punktów!

Po `przerobieniu' tej wartości na procenty można powiedzieć, że 90,8% osób ma iloraz inteligencji poniżej 120 punktów!

6. wiemy, że cały obszar pod krzywą ma wartość równą 1, jeśli chcemy obliczyć interesujący nas odsetek osób mających iloraz inteligencji równy 120 i wyższy musimy:

1. od 1 odjąć wartość 0,9082, czyli 1 - 0,9082= 0,092

2. przerabiamy teraz wartość 0,092 na procenty i możemy powiedzieć, że odsetek osób, które mają iloraz inteligencji równy 120 punktów i wyższy wynosi 9,2%

3. wskazówka do `przerabiania': jeśli chcemy coś wyrazić w procentach, to przecinek `przesuwamy' o dwa miejsca w stosunku do miejsca, w którym na początku się znajdował!

Chcemy oszacować jaki środkową część ilorazów inteligencji, obejmująca 50 % populacji

W tym celu:

1. znajdujemy obszar, który obejmuje z jednej strony 25% przypadków, pamiętajmy, że rozkład jest symetryczny!

2. dla +25% jest to wartość +0,67, dla drugiego 25% będzie to wartość -0,67

3. zatem 50% powierzchni pod krzywą zawiera się w przedziale ± 0,67

4. mamy zatem wartości Z₁ = +0,67 i Z₂ = -0,67

5. mamy średnią m=100

6. mamy odchylenie standardowe sd=15

7. musimy znaleźć teraz punkty (X₁ i X₂) przypadające na wartości Z₁ i Z₂

8. w tym celu przekształcamy wzór (jak na matematyce!)

, na podstawie przekształceń mamy:

X=
* Z + m

9. obliczamy wartości Z₁ i Z₂

Z_{1 =} 15 * (-0,67) + 100 = -10,05 + 100 = 89,95

Z₂ =15 * 0,67 + 100 = 10,05 + 100 = 110.05

10. środkowy iloraz inteligencji, obejmujący 50% populacji zawiera się w przedziale miedzy około 90 i 110 punktów

---