VII RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI RZECZYWISTYCH WIELU ZMIENNYCH

1. POCHODNE KIERUNKOWE ORAZ POCHODNE CZĄSTKOWE

W dalszym ciągi wektorem
w przestrzeni euklidesowej
nazywamy odwzorowanie przestrzeni
na tę przestrzeń przyporządkowującą każdemu punktowi

p=(x1...xn)
xi
,punkt (!) q=(x1+a1...xn+an )

a1…an
wektor
oznaczamy
=[a1…an] przy czym ai i=1...n to współrzędna

Zbiór wszystkich wektorów w
oznaczamy WN

Punkt (1) oznaczamy p+

Wektor zerowy
=[0…0]

Iloczyn liczby rzeczywistej
i wektora
=[a1…an] jest wektorem

=[
a1…
an]

Suma wektorów
=[a1…an] b=[b1...bn] jest wektorem a+b={a1+b1....an+bn]

Niech
=[1,0…0]
=[0,1…0]
=[0,0…1]

Dla dowolnego wektora
=[a1…an]
mamy

=a1
+a2
+….an
wektory
to tzw. wersory (i=1…n)

Niech f : G->R będzie funkcją odwzorowującą zbiór otwarty G
w zbiór liczb rzeczywistych

DEFINICJA

Pochodną funkcji f w punkcie p
G w kierunku wektora

nazywamy granicę (1) f'
(p)=
przy założeniu istnienia granicy skończonej lub nieskończonej

Pochodną funkcji f w kierunku wektora
nazywamy funkcję f'
,która każdemu punktowi p
G dla którego istnieje granica (1) przyporządkowuje f'
(p)

POCHODNE CZĄSTKOWE

Niech będzie dana funkcja f:g->R gdzie Gto zbiór otwarty w

DEFINICJA

Pochodne kierunkowe funkcji f w kierunku wersorów
…
tzn pochodne kierunkowe f `
....f `
nazywamy pochodnymi cząstkowymi funkcji f względem odpowiednio zmiennych x1…xn i oznaczamy
przy założeniu istnienia tych pochodnych

Wartością skończoną pochodnej cząstkowej funkcji f względem j-tej zmiennej w punkcie p=( x1...x n)jest liczba

f `
=

zatem pochodna cząstkowa
funkcji f jest pochodną cząstkową funkcji jednej zmiennej xj postaci

f(xj)=f(x1,.....xj-1,xj,xj+1...xn)

PRZYKŁAD

Znaleźć pochodne cząstkowe funkcji f(x,y,z)=

ze względu na to ,że obliczanie pochodnych cząstkowych jest zwykłym różniczkowaniem względem jednej zmiennej przy ustalonych pozostałych zmiennych zachodzą następujące równości

c -stała

przy założeniu istnienia skończonych pochodnych cząstkowych

POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW

W dalszym ciągu pochodne kierunkowe oraz pochodne cząstkowe f'
,
będziemy nazywać pochodnymi kierunkowymi lub cząstkowymi I rzędu

Niech f :g- >R gdzie G to zbiór otwarty w przestrzeni
posiada pochodną kierunkową skończoną f'
w pewnym otoczeniu p

Można rozważać pochodną kierunkową funkcji
w pkt p w kierunku wektora
Jeżeli istnieje ta pochodna to oznaczamy
(p) i nazywamy pochodną kierunkową I rzędu funkcji f w kierunku wektorów

w punkcie p

Twierdzenie1 (schwarza)

Jeżeli pochodne kierunkowe II rzędu

istnieją i są ciągłe na zbiorze G to

(p)=
(p)

DEFINICJA

Pochodne kierunkowe II rzędu funkcji f w kierunku wersorów tzn. w kierunku wektorów
…
gdzie
tzn. pochodne
nazywamy pochodnymi II rzędu funkcji i oznaczamy
lub

Jeżeli i
to pochodną
nazywamy mieszaną

Jeżeli i =j to piszemy

Ogólnie jeżeli w otoczeniu punktu p
istnieje skończona pochodna kierunkowa (m-1)-go rzędu funkcji f

to pochodną kierunkową m-tego rzędu funkcji f w kierunku wektorów
definiujemy przyjmując
=
przy założeniach istnienia granicy właściwej lub niewłaściwej.

W przypadku, gdy kilkakrotnie kolejno powtarza się różniczkowanie względem tej samej zmiennej np. funkcję f różniczkujemy kolejno 4-krotnie względem xjm stosujemy zapis

Symbolem
oznaczamy operator różniczkowy tzw laplasjan postaci
wtedy

operator różniczkowo-wektorowy nabla
to operator postaci

gdzie i=[1.00] j=[0,1,0]k=[0,01]

gradient f to wektor

niech
będzie polem wektorowym gdzie P,Q,R są funkcjami posiadającymi pochodną cząstkową I rzęu

dywergencją pola
nazywamy div
=

rotacją pola
nazywamy rot
=

EKSTREMA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Niech będzie dana funkcja f: x R XcRn

Mówimy ze funkcja f posiada w punkcie PoeX maksimum llokalne (minimum lokalne ) jeżeli istnieje takie otoczenie Vr(po) c X że nierównoś ostra poza Po to mówimy o ekstremum lokalnym właściwym

TW..1( warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego )

Jeżeli f: G R gdie G- zbiór otwarty w Rⁿ posiada ekstremum lokalne w Po należącym do R oraz istnieje skończona pochodna cząstkowa wzgl.xi w punkcie Po to wartoś tej pochodnej =0 dla i=1,2,3..

Punkt Po należący do G spełniający warunek konieczny istnienia ekstremum nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f.

TW 2( warunek dostateczny ekstremu lok.)

Zakładamyze funkcja f: G R gdie G jest zbiorem otwartym w Rⁿ posiada w otoczeniu punktu stacjonarnego PoeG ciągłe pochodne cząstkowe 1. i 2. rzędu

1. Jeżeli W1(po) >0 , W2(po)>0 … to funkcja f posiada w po minimum lokalne

2. Jeżeli W1(po)<0 , W2(po) <0… to posiada maks.lokalne

TW3 (war. Dostateczny istnienia ekdstremum lokalnego funkcji 2 zmiennych)

Zakładamy że funkcja z=f(xy) jest okreslona i posiada ciągłe pochodne cząstkowe 1. i 2. rzędu w otoczeniu punktu stacjonarnego Po=Po(xoyo)

Jeżeli

To w punkcie Po funkcsja f posiada ekstremum lokalne przy czym jest to max. Lokalne gdy
<0 a minimum gdy
>0

IX Równanie różniczkowe zwyczajne

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie funkcyjne w którym występuje pochodna funcji niewiadomej

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie w którym funkcja niewiadoma zależy od więcej niż jednej zmiennej

Rzędem równania różniczkowego nazywamy rząd najwyższej pochodnej funkcji niewiadomej wyst. W równaniu

Rozwiązaniem równ. Różniczkowego nazywamy całkę ogólną . Zawiera ona tyle wzajemnie niezależnych stałych ile wynosi rząd równania.

Jeżeli w miejsce stałych ustawimy konkretne liczby to z całki ogólnej mamy szczególną

X Całka podwójna

Obszarem regularnym na płaszczyźnie <R, Dr> gdzie d_r (p(x1y1,Q(x2y2)=
nazywamy

zbiór
mający następujące własności :

a)
jest zbiorem otwartym

b)
jest zb. Ograniczonym

c)każde 2 punkty zbioru
można połączy łamaną leżącą w całości w

d) brzeg zbioru
można podzielic na skończoną ilośc łuków o równaniach y=f1(x) lub x=g1(y) dla x lub y ze skończonego przedziału domkniętego gdzie funkcje f,g są ciągłe

Na obszarze regulowanym domkniętym
c R² jest określona i ograniczona funkcja f. Umieszczamy zbiór
w prostokącie o bokach równoległych do osi układu współrzędnych. Dzielimy dowolnie prostokąt P na skończoną liczbę prostokątów częśiowych o bokach równoległych do osi układu współrzędnych .

RÓZNICZKA ZUPEŁNA

Dana jest funkcja z=f(x,y)określona w pewnym otoczeniu Vr(po)punktu Poe R² przy czym istnieją i są ciągłe pochodne cząstkowe
i
w Vr(po

Wtedy mamy dla P=P(x,y) e Vr(po)

Z twierdzenia Lagrangea o wartości średniej wynika żę istnieją liczby v1 i v2 należące do (0,1) takie że otrzymujemy

Jeżeli
są małe (bliskie zeru ) to otrzymujemy równość przybliżoną

Rózniczką zupełną funkcji f w punkcie Po nazywamy wyrażenie

Zatem dla funkcji f która posiada ciągłe pochodne cząstkowe 1. rzędu w otoczeniu Vr(Po)zachodzi równoś przybliżona

Rozważmy teraz przypadek ogólny. Niech funkcja

Posiada w otoczeniu Vr(po)=
ciągła pochodną cząstkową po xi

Wtedy zachodzi nierównośc przybliżona

Dla P
Vr(Po) przy czym df(Po) =

Jest różniczka zupełna funkcji f w Po

---