POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY

LABORATORIUM ROBOTYKI

Temat ćwiczenia:

Układy współrzędnych. Macierze obrotów

Wykonali: Pióro Klaudia

Kupski Michał

Siedlarek Damian

Domalik Patryk

Zieliński Marcin

Grupa: KSS 1

Sekcja: 5

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia było zapoznanie się z zagadnieniami obrotu układu współrzędnych
do układu współrzędnych
oraz operacji odwrotnej tj. obrotu z układu współrzędnych
do układu współrzędnych
.

2. Przebieg ćwiczenia

W pierwszej części naszego ćwiczenia zdefiniowaliśmy macierze obrotów (lub rotacji) wokół odpowiedniej osi oraz odpowiednie kąty, o jakie się obracamy.

a) Rozpatrzmy układ
, który obrócono o kąt γ wokół osi z.

Należy zwrócić uwagę, iż dodatni kierunek kąta γ jest określony regułą prawej ręki, to znaczy dodatni obrót o kąt γ wokół osi z daje przesunięcie śruby prawoskrętnej wzdłuż dodatniego kierunku osi z.

Z analizy rysunku wynika, iż cosinusy kierunkowe dla poszczególnych wersorów można zapisać następująco:

Tak, więc macierz obrotów wygląda w następujący sposób:

b) W analogiczny sposób postępujemy z obrotem układ
o kąt β wokół osi y.

(powyższy rysunek specjalnie został narysowany w ten sposób w celu lepszego zobrazowania reguły prawej ręki)

Z analizy rysunku wynika, iż cosinusy kierunkowe dla poszczególnych wersorów można zapisać następująco:

Tak, więc macierz obrotów wygląda w następujący sposób:

c) Obrót układu
o kąt α wokół osi z.

Z analizy rysunku wynika, iż cosinusy kierunkowe dla poszczególnych wersorów można zapisać następująco:

Tak, więc macierz obrotów wygląda w następujący sposób:

d) W dalszej części naszego ćwiczenia dokonujemy obrotu układu
względem układu
zgodnie z przekształceniem
. W kolejnej fazie przy pokrywających się układach
i
dokonujemy obrotu układu
względem
zgodnie z przekształceniem
. W każdym przypadku układ, względem, którego odbywa się obrót, nazywa się układem bieżącym.

Macierz R_1,0a opisuje obrót między układami współrzędnych
i
, natomiast macierz R_2,1a opisuje obrót między układami
i
.

Powyższe równanie jest prawem składania dla obrotów.

Obliczone współrzędne wektorów z powyższych równań.

W celu sprawdzenia otrzymanych wyników obliczamy długości każdego z otrzymanych wektorów. Jednakowa wartość owych wektorów potwierdza poprawność naszych wyliczeń.

e) Kolejna część naszego ćwiczenia laboratoryjnego była podobna do poprzedniego naszego ćwiczenia z tylko tym wyjątkiem, że dochodzi nam dodatkowy obrót układu
względem
zgodnie z przekształceniem
.

f) W ostatniej części naszego ćwiczenia robimy to samo co w podpunktach d) oraz e) z tą różnicą że dokonujemy obrotu wokół ustalonego układu, a nie bieżącego.

3. Wnioski

Przeprowadzone przez nas obliczenia pozwoliły nam zapoznać się z aparatem matematycznym, jaki jest wykorzystywany w robotyce, oraz poznać podstawowe funkcje oprogramowania, inżynieryjskiego jakim jest MATHCAD.

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń, oraz wiedzy teoretycznej, wiemy, że dowolnie zorientowany układ współrzędnych
można otrzymać z danego układu
przez złożenie trzech obrotów wokół osi układu.