POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
LABORATORIUM ROBOTYKI
Temat ćwiczenia:
Układy współrzędnych. Macierze obrotów
Wykonali: Pióro Klaudia
Kupski Michał
Siedlarek Damian
Domalik Patryk
Zieliński Marcin
Grupa: KSS 1
Sekcja: 5
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia było zapoznanie się z zagadnieniami obrotu układu współrzędnych
do układu współrzędnych
oraz operacji odwrotnej tj. obrotu z układu współrzędnych
do układu współrzędnych
.
Przebieg ćwiczenia
W pierwszej części naszego ćwiczenia zdefiniowaliśmy macierze obrotów (lub rotacji) wokół odpowiedniej osi oraz odpowiednie kąty, o jakie się obracamy.
a) Rozpatrzmy układ
, który obrócono o kąt γ wokół osi z.
Należy zwrócić uwagę, iż dodatni kierunek kąta γ jest określony regułą prawej ręki, to znaczy dodatni obrót o kąt γ wokół osi z daje przesunięcie śruby prawoskrętnej wzdłuż dodatniego kierunku osi z.
Z analizy rysunku wynika, iż cosinusy kierunkowe dla poszczególnych wersorów można zapisać następująco:
Tak, więc macierz obrotów wygląda w następujący sposób:
b) W analogiczny sposób postępujemy z obrotem układ
o kąt β wokół osi y.
(powyższy rysunek specjalnie został narysowany w ten sposób w celu lepszego zobrazowania reguły prawej ręki)
Z analizy rysunku wynika, iż cosinusy kierunkowe dla poszczególnych wersorów można zapisać następująco:
Tak, więc macierz obrotów wygląda w następujący sposób:
c) Obrót układu
o kąt α wokół osi z.
Z analizy rysunku wynika, iż cosinusy kierunkowe dla poszczególnych wersorów można zapisać następująco:
Tak, więc macierz obrotów wygląda w następujący sposób:
d) W dalszej części naszego ćwiczenia dokonujemy obrotu układu
względem układu
zgodnie z przekształceniem
. W kolejnej fazie przy pokrywających się układach
i
dokonujemy obrotu układu
względem
zgodnie z przekształceniem
. W każdym przypadku układ, względem, którego odbywa się obrót, nazywa się układem bieżącym.
Macierz R1,0a opisuje obrót między układami współrzędnych
i
, natomiast macierz R2,1a opisuje obrót między układami
i
.
Powyższe równanie jest prawem składania dla obrotów.
Obliczone współrzędne wektorów z powyższych równań.
W celu sprawdzenia otrzymanych wyników obliczamy długości każdego z otrzymanych wektorów. Jednakowa wartość owych wektorów potwierdza poprawność naszych wyliczeń.
e) Kolejna część naszego ćwiczenia laboratoryjnego była podobna do poprzedniego naszego ćwiczenia z tylko tym wyjątkiem, że dochodzi nam dodatkowy obrót układu
względem
zgodnie z przekształceniem
.
f) W ostatniej części naszego ćwiczenia robimy to samo co w podpunktach d) oraz e) z tą różnicą że dokonujemy obrotu wokół ustalonego układu, a nie bieżącego.
Wnioski
Przeprowadzone przez nas obliczenia pozwoliły nam zapoznać się z aparatem matematycznym, jaki jest wykorzystywany w robotyce, oraz poznać podstawowe funkcje oprogramowania, inżynieryjskiego jakim jest MATHCAD.
Na podstawie przeprowadzonych obliczeń, oraz wiedzy teoretycznej, wiemy, że dowolnie zorientowany układ współrzędnych
można otrzymać z danego układu
przez złożenie trzech obrotów wokół osi układu.