Funkcje popytu skompensowanego

oraz efekt substytucyjny i dochodowy

1. Funkcja skompensowanego popytu

2. Efekty: substytucyjny i dochodowy

3. Problem minimalizacji wydatków

4. Wyprowadzenie funkcji skompensowanego popytu i funkcji wydatków: przykład

5. Matematyczne wyprowadzenie efektu substytucyjnego i dochodowego

6. Równanie Słuckiego

7. Elastyczność substytucji i wielkość efektu substytucyjnego

8. Analiza nadwyżki konsumenta

*

Funkcja skompensowanego popytu

Wyprowadziliśmy wielkość popytu na dane dobro jako funkcję jego ceny przy stałym dochodzie i stałych cenach pozostałych dóbr, ale pozwalając użyteczności zmieniać się. Konsument w końcu znajduje się na innej krzywej obojętności dla każdej zmiany ceny. (rys.8.1).

Kompensacja zmiany ceny

Przyjmijmy teraz, że po każdej zmianie ceny dochód konsumenta jest dostosowywany w taki sposób aby utrzymać go na tej samej krzywej obojętności, na jakiej znajdował się przed zmianą ceny. (rys. 8.2). Ta zmiana dochodu określana jest mianem kompensacji wywołanej zmianą ceny.

Optymalne wybory konsumpcji po kompensacji

Jeżeli wyznaczymy ścieżkę optymalnych wyborów x po kompensacji (x_c) na wykresie ilustrującym problem maksymalizacji użyteczności, przy x_c na osi poziomej i p_x na osi pionowej, to możemy wyprowadzić odwrotny wykres wielkości popytu na X jako funkcję p_x utrzymując użyteczność i p_y jako stałe i pozwalamy dochodowi zmieniać się.

.

Jest to funkcja popytu skompensowanego na X (rys.8.3).

Krzywe popytu skompensowanego zawsze mają nachylenie ujemne

Ponieważ optymalna wartość x_c musi znajdować się na krzywej obojętności, która jest wypukła względem początku układu współrzędnych, to wielkość popytu na X po kompensacji musi maleć przy wzroście p_x (i musi rosnąć gdy p_x maleje). Wynika z tego, że krzywa skompensowanego popytu zawsze ma nachylenie ujemne.

Zawsze się tak dzieje, gdy cena rośnie i krzywa obojętności spełnia warunek malejącej MRS, gdyż krzywa obojętności musi mieć nachylenie ujemne i być wypukła względem początku układu współrzędnych. Jeżeli więc linia ograniczenia budżetowego zwiększa nachylenie (p_x rośnie), to punkty styczności wymuszają wzrost y i malenie x.

Efekty: substytucyjny i dochodowy

Krzywa skompensowanego popytu ilustruje wpływ zmiany cen względnych na wielkość popytu, przy stałym poziomie użyteczności. Podczas analizy ekonomicznej korzystniej jest podzielić ruch wzdłuż zwykłej krzywej popytu na dwa oddzielne efekty:

• jeden wywołany zmianą cen względnych

• drugi spowodowany zmianą dostępnego zbioru koszyków dóbr konsumpcyjnych wywołaną zmianą ceny danego dobra.

Ten podział jest ważny ze względu na to, że dwie różne rzeczy dzieją się przy wzroście ceny dobra. Po pierwsze, stosunek cen X i Y zmienia się prowadząc do zmiany nachylenia linii ograniczenia budżetowego. Po drugie, dostępny zbiór koszyków maleje, co oznacza zmniejszenie się realnego dochodu konsumenta (rys. 8.4).

Efekty: substytucyjny i dochodowy

Te dwie zmiany oddziałujące na wybór konsumenta nazywane są:

1. efekt substytucyjny: efekt wpływający na wybór konsumenta wywołany zmianą stosunku cen przy niezmienionej użyteczności;

2. efekt dochodowy: efekt wpływający na wybór konsumenta wywołany zmianą zbioru dostępnych koszyków przy niezmienionym stosunku cen.

Rys.8.5

Ujemny znak efektu substytucyjnego

Co możemy powiedzieć o zwykłych funkcjach popytu patrząc na ES i ED? Po pierwsze, wiemy, że wzrost p_x zmniejsza x poprzez działanie ES przy ruchu wzdłuż krzywej obojętności, która obrysowuje ściśle wypukły zbiór. (rys. 8.5) Matematycznie:

i
.

Ponieważ pochodne cząstkowe są ujemne, to mówimy, że ES zawsze musi być ujemny (rys. 8.6).

Dobra normalne i ujemnie nachylona krzywa popytu

ES musi być ujemny, ale ED może być zarówno dodatni, jak i ujemny w zależności od tego, czy dobro jest normalne, czy też niższego rzędu. Jeżeli dobro jest normalne, przy zmniejszeniu się zbioru dostępnych koszyków na skutek wzrostu ceny, to wielkość popytu maleje na skutek działania ED. Dzieje się tak gdyż zmniejszenia się dochodu oznacza zmniejszenie wielkości popytu na dobro normalne, co możemy przedstawić w formie matematycznej:

dla dobra normalnego.

W przypadku dobra normalnego, kiedy cena rośnie, wielkość popytu maleje na skutek działania ES wzmocnionego ED. Dlatego połączony wpływ na wielkość popytu wzdłuż krzywej zwykłego popytu musi być taki, że wielkość popytu maleje przy wzroście ceny dobra. (rys. 8.7)

Dobra niższego rzędu

Jeżeli mamy do czynienia z dobrem niższego rzędu, to wielkość popytu rośnie przy zmniejszeniu się dochodu. Z tego wynika, że zmniejszenie dostępnego zbioru koszyków spowodowane wzrostem ceny, prowadzi do zwiększenia wielkości popytu w wyniku działania ED. Zwiększenie się dostępnego zbioru prowadzi do przeciwnego rezultatu. Matematycznie możemy zapisać to:

dla dobra niższego rzędu.

Jeżeli cena rośnie, ES zawsze zmniejsza wielkość popytu z powodu malejącej MRS. Ale w przypadku dobra niższego rzędu, zbiór dostępnych koszyków ulega zmniejszeniu przy wzroście ceny i ED prowadzi do wzrostu wielkości popytu. Całkowity efekt nieskompensowany może oznaczać wzrost lub zmniejszenie się wielkości popytu w zależności od tego, który efekt, ED czy ES, jest silniejszy. Rys. 8.8: lewa część: SE przeważa DE; prawa część: jeżeli mamy do czynienia z dobrem niższego rzędu i jeżeli ED jest silniejszy od ES, to efekt całkowity może oznaczać wzrost x* z x₁* do x₃*. Jeżeli więc ED przeważa ES w przypadku dobra niższego rzędu, to zwykła krzywa popytu będzie miała nachylenie dodatnie, nawet przy spełnieniu wszystkich założeń modelu preferencji konsumenta. Dobra, które mają dodatnio nachyloną krzywą popytu nazywamy dobrami Giffena.

Problem minimalizacji wydatków

Rozwiązaliśmy problem maksymalizacji konsumenta i wyprowadziliśmy uogólnione funkcje popytu: U* = U*(x*, y*).

Ponieważ U* zmienia się przy każdej zmianie ceni dochodu, to możemy myśleć o U* jako funkcji cen i dochodu. Sposób skonstruowania funkcji U* polega na tym, że wykorzystujemy uogólnione funkcje popytu będące funkcjami od cen i dochodu do przedstawienia optymalnych wyborów x i y. Następnie formułujemy U* jako funkcję x* i y*, gdzie x* i y* są uogólnionymi funkcjami popytu na X i Y. W przypadku dwóch dóbr konsumpcyjnych problem możemy przedstawić następująco:

max U (x, y)

p.w. p_xx + p_yy = M

Uogólnione funkcje popytu:

x* = x* (p_x, p_y, M) i y* = y* (p_x, p_y, M)

Optymalne rozwiązanie:

U* = U*(x* (p_x, p_y, M), y* (p_x, p_y, M))

Tą ostatnią funkcję, U*, można zapisać prościej jako funkcję od wszystkich cen i dochodu. W tej postaci nosi ona nazwę pośredniej funkcji użyteczności (ponieważ wybory x* i y* zostały „schowane”)

U* = U* (p_x, p_y, M)

Problem dualny konsumenta

Problemem dualnym do maksymalizacji użyteczności jest minimalizacja wydatków. Konstruując problem dualny, minimalizujemy ograniczenie budżetowe problemu pierwotnego przy ograniczeniu jakim jest teraz optymalne rozwiązanie funkcji celu z problemu wyjściowego.

Problem wyjściowy: maksymalizacja funkcji celu zadanej przez U = U (x, y) przy ograniczeniu: p_xx + p_yy = M. Rozwiązaniem jest U*. Zgodnie z zasadami konstruowania problemów dualnych przyjmujemy, że funkcją celu jest teraz minimalizacja wyjściowego ograniczenia budżetowego. Minimalizujemy więc funkcję celu w postaci:

M =p_xx + p_yy przy ograniczeniu jakim jest wyjściowa funkcja celu: U = U (x, y).

Rozwiązaniem jest M*. Co więcej, dla każdego U* przy ograniczeniu budżetowym
w problemie wyjściowym mamy odpowiadające M* przy ograniczeniu użyteczności
w problemie dualnym.

U* w pierwotnym =
w dualnym

M* w dualnym =
w pierwotnym.

Analogicznie jak w problemie pierwotnym (maksymalizacji użyteczności), rozwiązanie problemu dualnego (minimalizacji wydatków) związane jest z wyznaczeniem zbioru funkcji popytu. Ponieważ użyteczność jest utrzymywana na stałym poziomie, a zmienia się dochód, to funkcje popytu są funkcjami skompensowanego popytu.

Aby uzyskać M* potrzebujemy funkcje popytu skompensowanego w postaci ogólnej (analogicznie, jak potrzebowaliśmy normalne funkcje popytu w postaci ogólnej do wyznaczenia U*).

Uogólnione postacie funkcji popytu skompensowanego można zapisać:

i
.

Podobnie do problemu pierwotnego, optymalne rozwiązanie problemu dualnego można wyrazić jako uogólnione funkcje popytu:

Funkcja M* nazywa się funkcją wydatków. I ponownie po opuszczeniu
i
można ją zapisać jako funkcję od cen i użyteczności:

M* = M* (p_x, p_y, U).

Porównanie problemu wyjściowego i dualnego

Okazuje się więc, że:

i:

gdzie:

U* =

M* =
.

Rysunek 8.10 przedstawia to zagadnienie graficznie.

Wyprowadzenie funkcji skompensowanego popytu i funkcji wydatków: przykład

Możemy przejść do wyprowadzenia funkcji skompensowanego popytu i funkcji wydatków. Wykorzystamy funkcję użyteczności postaci Cobb - Douglas'a: U = xy (α = β = 1).

Problem maksymalizacji użyteczności:

max U = xy

p.w.: p_xx + p_yy = M .

Dla α = β = 1 otrzymujemy uogólnione funkcje popytu nieskompensowanego:

i

Jeśli otrzymane funkcje popytu wstawimy do funkcji użyteczności, U = xy, to otrzymamy pośrednią funkcję użyteczności dla optymalnych wartości x* i y*:

Budujemy problem dualny:

min M = p_xx + p_yy

p.w.: xy = U.

Lagrangian przyjmuje postać:

L = p_xx + p_yy + λ(U - xy)

Warunki pierwszego rzędu są następujące:

Rozwiązując dla ၬ:

Dlatego:

: uogólniona funkcja skompensowanego popytu na X.

Wstawiając
do
otrzymujemy:

: uogólniona funkcja skompensowanego popytu na Y.

Rozwiązując problem dualny wstawiamy optymalne wybory zdefiniowane w oparciu o funkcje skompensowanego popytu do funkcji celu:

: funkcja wydatków.

Zakotwiczenie

Aby wyprowadzić funkcje skompensowanego popytu musimy utrzymać użyteczność na stałym poziomie (dążymy do znalezienia punktów styczności wzdłuż jednej krzywej użyteczności).

Możemy zacząć od punktu wyboru optymalnego przy danym dochodzie i cenach (
). Zakotwiczamy więc funkcje skompensowanego popytu w tym punkcie (technikę tę pokazuje rys. 8.11).

Stały poziom użyteczności (
) związany jest z wyborem x* i y* przy cenach i dochodzie:
. Aby utrzymać ten poziom użyteczności przy zmianie p_x a utrzymaniu niezmienionej p_y , konsument musi otrzymać M₂ .

Wyprowadzenie zakotwiczonych funkcji skompensowanego popytu

Wykorzystując nasz przykład możemy określić użyteczność dla (
) dzięki przekształceniu pośredniej funkcji użyteczności:

Możemy teraz zakotwiczyć funkcje skompensowanego popytu na wartości:
wyznaczającej ograniczenie użyteczności (
). Posługując się tą metodą możemy wyprowadzić funkcje skompensowanego popytu, które nie zależą bezpośrednio od użyteczności. Jest to szczególnie ważne przy estymowaniu popytu, gdyż użyteczność nie jest zmienną obserwowalną.

Wyprowadzając funkcje skompensowanego popytu dla punktu zakotwiczenia musimy dokonać rozróżnienia między dochodem i cenami wykorzystanymi do obliczenia ograniczenia użyteczności (
) i zmiennymi cenami i dochodem wykorzystanymi do skonstruowania funkcji skompensowanych popytów. W przykładzie utrzymamy p_y na stałym poziomie (
) i pozwolimy p_x zmieniać się względem (
). Za każdym razem kiedy zmieni się p_x znajdziemy M* , czyli minimalny dochód niezbędny do utrzymania
.

Utrzymując użyteczność i p_y na stałym poziomie (
,
) możemy wyprowadzić funkcję skompensowanego popytu na dobro X jako funkcję od p_x wstawiając
i
do uogólnionej funkcji skompensowanego popytu na dobro X . Po zrobieniu tego musimy utrzymać parametr
wykorzystany do zakotwiczenia ograniczenia użyteczności, gdyż to była cena dobra X wykorzystana do obliczenia
. Funkcja jest więc wyprowadzona względem tego punktu. Postać funkcyjna będzie więc zawierać zarówno
, jak i p_x.

Wstawiając
i
do
otrzymujemy:

Analogicznie otrzymujemy skompensowany popyt na dobro Y:

Możemy wyznaczyć M*, minimalny dochód niezbędny do utrzymania użyteczności
, wstawiając
i
do funkcji celu problemu dualnego, M = p_xx + p_yy, utrzymując p_y na poziomie
:

.

: minimalny dochód.

Aby osiągnąć minimalny dochód niezbędny do utrzymania danego poziomu użyteczności konsumentowi trzeba dać subwencję równą różnicy między hipotetycznym, minimalnym dochodem i rzeczywistym dochodem,
. Aby wyznaczyć tą minimalną subwencję niezbędną do osiągnięcia minimalnego, skompensowanego dochodu odejmujemy rzeczywisty dochód od minimalnego dochodu skompensowanego. Jeżeli S* to minimalna subwencja potrzebna do utrzymania
, to:

Przykład liczbowy

Określimy
dla początkowego dochodu i zbioru cen:

= 100;
= 5;
= 4. Wstawimy te wielkości do

i
otrzymując:

i

Taki wybór generuje użyteczność:

.

Jeżeli utrzymamy użyteczność na poziomie 125 i p_y = 5, to możemy wyznaczyć funkcje skompensowanego popytu na X i Y jako funkcje p_x wstawiając przyjęte wielkości liczbowe do x_c*:

Obliczamy więc
:

.

Alternatywnie możemy wstawić: U* = 125 do

Aby znaleźć
:

Alternatywnie można wstawić: U* = 125 do
:

.

Aby wyznaczyć minimalny dochód wstawiamy
i
do funkcji celu:

.

Alternatywnie można wstawić U* = 125 do
:

.

Aby wyznaczyć optymalną subwencję wstawiamy
do
:

.

Pamiętamy, że „zakotwiczyliśmy” krzywą skompensowanego popytu określając
= 4. Jeśli więc p_x zwiększy się ponad 4, to optymalna subwencja będzie dodatnia. Jeśli natomiast p_x zmniejszy się poniżej 4, to optymalna subwencja będzie ujemna. Jeżeli p_x pozostanie na poziomie 4, to optymalna subwencja wyniesie 0. (Informacja ta jest zawarta w równaniu:
.)

: niezmieniona cena

: wyższa cena

: niższa cena.

Matematyczne wyprowadzenie efektu substytucyjnego i dochodowego

Nasz przykład możemy teraz rozszerzyć do obliczenia ES i ED związanych ze zmianą ceny dobra X. Jak pamiętamy początkowe parametry zostały określone w sposób następujący:

= 100;
= 5;
= 4.

Przy tych parametrach początkowy wybór x i y wyniósł:

x* = 25/2 = 12.5 i y* = 10.

Przyjmijmy teraz, że p_x rośnie do 5. Możemy teraz określić x_c* i y_c* przy nowej cenie na X:

Tak więc ES wynosi:

(x*, y*)
(x_c*, y_c*) = (12,5; 10)
(11,18; 11,18)

Ponownie skoncentrujemy się wyłącznie na X. ES wywołany wzrostem ceny p_x z 4 na 5 prowadzi do zmniejszenia wielkości popytu wzdłuż krzywej skompensowanego popytu z 12,5 jednostek do 11,18 jednostek.

Aby utrzymać początkowy poziom użyteczności konsument potrzebuję wyższego dochodu niż przed wzrostem ceny. Można go obliczyć wstawiając p_x = 5 do
:

.

Subwencja potrzebna do utrzymania konsumenta na poziomie użyteczności
po wzroście ceny wynosi:

.

Przy p_x = 5, jeżeli byśmy zabrali konsumentowi subwencję w wysokości 12, to nowy nieskompensowany popyt wyniósłby:

i
.

Tak więc IE wynosi:

(x_c*, y_c*)
(x_u*, y_u*) = (11,18; 11,18)
(10; 10)

Ponownie koncentrując się na dobrze X, możemy stwierdzić, że ED wywołany wzrostem ceny p_x z 4 do 5 wzmacnia zmniejszenie wielkości popytu wzdłuż krzywej Engla przy p_x = 5 z około 11,18 jednostek do 10 jednostek.

Równanie Słuckiego

Jak już zobaczyliśmy ES i ED mogą być wykorzystywane do badania zależności między dobrami normalnymi i opadającą krzywą popytu. Pokazaliśmy, że jeden z dwóch warunków wystarcza aby zagwarantować ujemne nachylenie zwykłej krzywej popytu:

1. analizowane dobro jest dobrem normalnym lub

2. w przypadku dobra niższego rzędu ES jest silniejszy od ED.

Te wnioski dotyczące nachylenia krzywej popytu można przedstawić za pomocą równania zawierającego nachylenia odpowiednich krzywych popytu, a zwanego równaniem Słuckiego. Zaczniemy od zapisania równania i zastanowimy się, w jaki sposób ilustruje ono to, co przed chwilą stwierdziliśmy. Następnie zobaczymy, jak to równanie można wyprowadzić z rozwiązania problemu minimalizacji wydatków.

Równanie Słuckiego:

Nachylenie normalnej funkcji popytu

=

Nachylenie funkcji popytu skompensowanego

-

x* (nachylenie krzywej Engla)

Lub:

Całkowity efekt = efekt substytucyjny - efekt dochodowy

Przykład

Możemy zilustrować równanie Słuckiego wstawiając nachylenia funkcji popytu wyprowadzonych z funkcji użyteczności: U = xy do równania Słuckiego. Wiemy, że zwyczajną funkcję (nieskompensowanego) popytu na X opisuje wzór: x* = M/2p_x. Czyli:

.

Zakotwiczona funkcja skompensowanego popytu:
. Czyli:

.

Można wyprowadzić krzywą Engla z równania : x* = M/2p_x. Czyli:

.

Wstawiając
i
, równanie Słuckiego przyjmuje postać:

.

Wstawiając zwyczajną funkcję popytu na x* do ostatniego równania i pozwalając aby
, (gdyż została wyznaczona dla nieskończenie małej zmiany p_x)

,

co jest wynikiem, jaki uzyskaliśmy:
przy różniczkowaniu zwyczajnej funkcji popytu względem p_x.

Funkcje popytu o nachyleniu ujemnym i dodatnim

Znak nachylenia zwyczajnej funkcji popytu można wyznaczyć dzięki określeniu znaków każdego z komponentów równania Słuckiego i porównując ED i ES, gdy dobro jest niższego rzędu. Po pierwsze, określamy znak każdego komponentu:

1. Nachylenie funkcji skompensowanego popytu jest ujemne ze względu na malejącą MRS.

2. x* jest dodatnie, gdyż X jest dobrem konsumpcyjnym.

3. Nachylenie krzywej Engla jest dodatnie, gdy X jest dobrem normalnym I ujemne, gdy X jest dobrem niższego rzędu.

Możemy streścić znaki nachyleń funkcji popytu w następujący sposób:

Dobro normalne:

Nieskompensowany (-)

= skompensowany = (-)

-x*(krzywa Engla) -(+) (+)

Ujemne nachylenie

Dobro niższego rzędu:

Nieskompensowany (-)	= skompensowany = (-)	-x*(krzywa Engla) -(+) (-)	Ujemne nachylenie
SE jest silniejszy od DE
(+)	= (-)	-(+) (-)	Upward sloping
DE jest silniejszy od DE

Wyprowadzenie równania Słuckiego

Aby wyprowadzić równanie Słuckiego zaczniemy od rozwiązania problemu minimalizacji wydatków:

Wiemy, że optymalne rozwiązania problemy pierwotnego i dualnego mają te same rozwiązania x* i y* przy tej samej krzywej obojętności i linii ograniczenia budżetowego. Dla U* =
i M* =
, funkcje popytu skompensowanego I nieskompensowanego muszą dać te same wartości x i y. Dla tych równości możemy przekształcić równania

do postaci:

Różniczkując obie strony ostatniego równania względem p_x:

,

co przekształcamy do postaci:

.

Przekształcamy wyrażenia w ostatnim równaniu:

.

Widzimy, że ostatnie równanie jest takie samo, jak równanie Słuckiego oprócz wyrażenia:
.

W równaniu Słuckiego wyrażenie to jest po prostu x*. Jeżeli możemy wykazać, że:

,

to wykażemy, że równanie Słuckiego jest poprawne. Aby to zrobić odwołamy się do twierdzenia o obwiedni. Wiemy, że pochodna funkcji celu względem jednego z parametrów jest pochodną cząstkową, pomijając drugorzędne zmiany parametru. Innymi słowy jeżeli:

, to
i
.

Ten wniosek nosi nazwę lematy Hotellinga I pokazuje, że równanie Słuckiego jest prawdziwe.

Interpretacja równania Słuckiego

Interpretacja równania Słuckiego sprowadza się do stwierdzenia, że nieskończenie mała zmiana wzdłuż zwykłej krzywej popytu może być podzielona na dwie części. Zmiana wzdłuż krzywej popytu skompensowanego to SE. Zmiana wzdłuż krzywej Engla ważona wielkością dobra w rzeczywistości nabywaną to DE. W przypadku dóbr niższego rzędu, DE może być silniejszy od SE i zwykła krzywa popytu może mieć nachylenie dodatnie.

Elastyczność substytucji

i wielkość efektu substytucyjnego

Konsumenci z krzywymi obojętności o różnych kształtach będą mieli różne efekty substytucyjne dla danej zmiany ceny. Siłę substytucji pokazuje rys. 8.12.

Do porównywania efektów substytucyjnych u poszczególnych konsumentów wykorzystujemy miernik określany mianem: elastyczności substytucji. (W lewej części rysunku elastyczność substytucji jest względnie duża.)

Elastyczność substytucji mierzy procentową zmianę stosunku y/x spowodowaną procentową zmianą stosunku cen.

Przyjmijmy oznaczenia:

elastyczność substytucji Y na miejsce X

stosunek wielkości zakupu Y do X

stosunek cen

Dla ułatwienia załóżmy:

i
.

Mamy więc:

.

Czyli:

.

Wyprowadzając krzywą popytu skompensowanego dla funkcji U = xy stwierdziliśmy, że
(krzywa konsumpcji dochodowej). Dlatego dla tej funkcji użyteczności:

.

Warunek:
charakteryzuje funkcje użyteczności typu Cobb - Douglas'a, np. U = x^αy^β dla x, y > 0. Aby to wykazać posługujemy się krzywą konsumpcji dochodowej:
.

Po przekształceniu otrzymujemy:

,

lub:

Inne funkcje użyteczności mają inne elastyczności substytucji, np. dla
wyznaczamy:

i po obliczeniu pierwiastków kwadratowych otrzymujemy:

Skrajne przypadki elastyczności substytucji pokazuje rys. 8.13.

2

---