Równania Maxwella w postaci całkowej

Równania i prawa Maxwella powstały w roku 1864 przez modyfikacje i uogólnienia praw opisujących wyniki obserwacji doświadczalnych zjawisk elektromagnetycznych.

• 
  I prawo Maxwella jest to prawo Gaussa dla pola elektrycznego wytworzonego przez ładunki elektryczne.

Prawo Gaussa dla pola elektrycznego

,

gdzie

jest wektorem indukcji pola elektrycznego,
i
są stałe dielektryczne próżni i ośrodka materialnego;

jest gęstością objętościową ładunku elektrycznego.

Całkowity strumień wektora indukcji pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię jest równy ładunkowi zawartemu w otoczonej przez tę powierzchnię objętości.

Pole elektryczne jest polem źródłowym — źródłem pola elektrycznego jest ładunek elektryczny. Ze wzoru wyrażającego w postaci całkowej związek między natężeniem pola i potencjałem wynika, że w polu elektrycznym wytworzonym przez ładunki

,

a więc pole wytworzone przez ładunki jest polem bezwirowym (linie sił pola mają początek i koniec).

• 
  II prawo Maxwella jest to prawo Gaussa dla pola magnetycznego.

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

,

gdzie

jest indukcją pola magnetycznego,
i
są stałe magnetyczne próżni i ośrodka materialnego,
— natężenie pola magnetycznego.

Całkowity strumień wektora indukcji pola magnetycznego przez zamkniętą powierzchnię jest równy zeru.

Pole magnetyczne jest polem bezźródłowym. Nie istnieją monopole magnetyczne.

• III prawo Maxwella jest to uogólnione prawo Faradaya dla wirowego pola elektrycznego.

Wirowe pole elektryczne

.

Cyrkulacja wektora natężenia pola elektrycznego wzdłuż zamkniętej krzywej
jest równa szybkości zmiany (ze znakiem ujemnym) strumienia wektora indukcji pola magnetycznego przez powierzchnię
, ograniczoną przez krzywą
.

Wir pola elektrycznego jest powiązany z wektorową zmianą pola magnetycznego za pomocą reguły śruby prawoskrętnej, z uwzględnieniem znaku minus po prawej stronie równania.

Wskutek zmiany strumienia pola magnetycznego powstaje wirowe pole elektryczne (linie sił pola są krzywymi zamkniętymi). Takie pole elektryczne jest polem bezźródłowym, tzn. w takim polu strumień wektora indukcji elektrycznej przez zamkniętą powierzchnię jest równy zeru
.

• 
  IV prawo Maxwella jest to uogólnione prawo Ampere'a dla wirowego pola magnetycznego.

Wirowe pole magnetyczne

,

gdzie

jest gęstością prądu elektrycznego,
— przewodność ośrodka.

Cyrkulacja wektora natężenia pola magnetycznego
wzdłuż zamkniętej krzywej
jest równa sumie natężenia prądu przepływającego przez powierzchnię
, ograniczoną przez krzywą
oraz szybkości zmiany strumienia wektora indukcji pola elektrycznego przez powierzchnię
, ograniczoną przez tę krzywą, czyli natężenia tzw. prądu przesunięcia.

Wir pola magnetycznego jest powiązany z wektorem gęstości prądu oraz z wektorową zmianą pola elektrycznego za pomocą reguły śruby prawoskrętnej.

Wskutek przepływu prądu elektrycznego i/lub zmiany strumienia pola elektrycznego powstaje wirowe pole magnetyczne (linie wektora indukcji magnetycznej są krzywymi zamkniętymi).

Podkreślimy, że uzupełnieniem czterech zasadniczych równań Maxwella są tzw. równania materiałowe, czyli związki między wektorami opisującymi pole elektryczne, pole magnetyczne oraz przepływ prądu elektrycznego

,
,
.

W równaniach tych pojawiają się parametry elektryczne i magnetyczne ośrodka: względna przenikalność elektryczna
i względna przenikalność magnetyczna
oraz przewodnictwo właściwe
.

Do opisu pola elektrycznego i magnetycznego używane są cztery podstawowe wektory
i ich strumienie. Zatem równania Maxwella można zapisać na różne sposoby. Odpowiedni dobór tych wielkości fizycznych pozwala na taki zapis tych równań, który podkreśla ich podobieństwa i różnice oraz prostotę i piękno. Dotyczy to zarówno przedstawionych powyżej równań w postaci całkowej (która jest nieco bliższa doświadczeniu i naszej intuicji), jak również przedstawionej poniżej postaci różniczkowej tych równań (która jest nieco bardziej abstrakcyjna, ale ma również istotne zalety).

Bardzo ważną konsekwencją równań Maxwella jest istnienie fali elektromagnetycznej, której równanie zostanie wyprowadzone z różniczkowej postaci tych równań.

Operatory różniczkowe

Rozważamy trójwymiarową przestrzeń i odpowiedni kartezjański układ współrzędnych. Mówimy o polu skalarnym jeśli każdemu punktowi przestrzeni jest przyporządkowana skalarna funkcja
oraz polu wektorowym jeżeli funkcja wektorowa
.

Określimy operator nabla

.

Jeśli operator nabla działa na funkcję skalarną, to otrzymujemy gradient pola skalarnego

.

W przypadku pola wektorowego możemy rozważyć iloczyn skalarny operatora nabla i wektora pola — dywergencję pola wektorowego

,

oraz iloczyn wektorowy — rotację pola wektorowego

lub

.

Kolejnym operatorem szeroko stosowanym w fizyce jest laplasjan — iloczyn skalarny operatorów nabla

.

Z wykorzystaniem operatora nabla formułują szereg twierdzeń (patrz udowodnienia w załączniku matematycznym).

Twierdzenie dla gradientów pola skalarnego

,

gdzie
i
są dowolnie wybrane punkty przestrzeni,
i
.

Twierdzenie Gaussa dla dywergencji

.

Twierdzenie Stokesa dla rotacji

.

Równania Maxwella w postaci różniczkowej

Za pomocą przedstawionych powyżej operatorów różniczkowych i twierdzeń można równania Maxwella przekształcić z postaci całkowej do postaci różniczkowej. Interpretacja fizyczna tych równań pozostaje bez zmian, zmienia się tylko forma matematyczna.

Prawo Gaussa dla pola elektrycznego

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

Wirowe pole elektryczne

Wirowe pole magnetyczne

---