MAT18

18

2(1 l    / ->    1 \ 7

_et_₌ r_z±T_₌ r +¹ )^dt ₌

sin.v(2 + cosa' - 2 sin*) J ²¹ (2 \ ^,2~^] ó ²' ^    /(/²-4/ + 3)

r²+i V“ <²+i i²+i /

Podst. tii= / => ć/.y = 2-=-!■—i//, sin.v =    —. cos,v -    ¹ .

" 2    i- + 1    t- + 1    t² + 1

f i'^{2 +} 1 )^(lt ₌ J_ f I* , 5. f _j£__ f dt J    1)    3 J t 3 J / - 3 J i-l

y ln|/| + y ln|/ - 3| - ln|/ - 11 =

ln

t_sX _3 = 2

-ln

t° —

1*2

+ C.

Niżej pokażemy sposób obliczania kilku całek z funkcji trygonometrycznych, które mogą być użyteczne w wyznaczaniu innych całek.

Niech A := J sin²*t£v oraz B := J cos²xdx. Wówczas, A + /i = | dx - x oraz A - B = | cos2xdx = y sin2.v. Dodając i odejmując stronami ostatnie dwie równości, otrzymujemy

A = J siir.vć/.v =    - y sin2.Y oraz [ cos²ay/.y = y-.Y + y sin 2.y.

Wyznaczmy jeszcze dwie całki.

t- 1 /+ 1

[-*---J _L(-_Si„.v)_rf.v =    = ±f yŁ__± f-

J sin.Y J sm²a:    «**-/ ^J t ~ •    2 J /-I    2 J /

= 4- ln I

cos.y - 1

COS A" + I

= Ay Intg y = ln

tg"

+ c.

dx

COS.Y

= r_dx_ ₌ _r

J sin(y-A') t^_x='    ■*

= ln|tg(y + f )| +C.

dl _

sint

= - ln

^tg2

= In

ctgy

ln

ctg(y - y)

Zadania

M ²-1 ³- f

M ⁵- I *■ J M ⁸- J

Obliczyć całki

<lx

2sin.r-cos.v+5 ’ dx

5-3 cos* *

./*

l+sin.v+cos* '

__

5—isin.t+3cos.v ’

' sin.t-cos.t

1-tg*

l+tg.v

dx.

2+cos.t

dx.

dx.

cos At 1+sin.tcos.t

dx.

II. Całka oznaczona Riemanna

6. Suma dolna, przybliżona i górna. Definicja całki oznaczonej Riemanna. Całka dolna i górna (całki Darboux)

Opracował: Marian Malec