P3160264

Poprawność I stabiność    WMomlany    Aproksymacja funkcji

Zbieżność wielomianów Interpolacyjnych

Dla f € C[a, b] i naturalnych n tworzymy ciąg wielomianów interpolacyjnych p_n, każdy z węzłami równoodległymi. Można byłoby sądzić, że ciąg {p„} jest zbieżny jednostajnie do f, tzn. że ciąg |\f - Pn|tja.toj dąży do 0, gdy oo. Dla przykładu 18 tak jest, tj. dla f(x) = In (1 + x), x € [0,1] ale na tym przedziale należy ona do klasy C^x [0,1 j. Jednak dla wielu funkcji ciągłych powyższy ciąg norm nie dąży do 0. Meray w 1884 r. jako przykład podał funkcję zmiennej zespolonej f(z) = 1/z na okręgu jednostkowym \z\ = 1. Niech dla ustalonego n, liczby o>i...,u_n będą n-tymi pierwiastkami z liczby 1. Są one równomiernie rozłożone na tym okręgu, co dla n = 6 pokazuje Rys. 1. Dla tej funkcji f wielomian interpolacyjny p_n_i z węzłami uj jest równy zⁿ~¹ ponieważ

Pn-i(^y) =    ¹ =    = — = f{uj) (1 < j < n).

jf    &j-

Norma różnicy ł - p_n_ t na kole jednostkowym jest równa

©Zbigniew Bartoszewski {Politr