005

Ćwiczenie 3

Oblicz granicę ciągu (a_n).

\    — 8n²—3n+l    , _x

^a) -    2n²—n—3    ^ ^0/71 ~

Przykład 3

(n+2) (n+3)

4n³ — 3n+3

c) o_n

1—4n—7n³ 2n³+4

lim    . .

n—>cx> (2n+l)(3n—1)

= z każdego czynnika wyłączamy n przed nawias

= lim

^conH² + i)(³-i) ⁿ~°°(² + i)(³~h

\> '

Ćwiczenie 4

Oblicz granicę ciągu (a_Tl).

o) _n _ (6n—l)(2n+l)    , \    _ (2n+l)³

’ ⁿ (n+2)(4n-l)    ^lV ^an ~ _(n+2)3

c) u_r),

(n+1)⁴

(n+2)⁴

Przykład 4

Oblicz lim

>00    3n³+4

Licznik ułamka jest. sumą n wyrazów ciągu arytmetycznego:

1 + 2 + 3 + ... + n

3.    Oblicz gramk

i    1

&)    l —    ~

4.    Oblicz gra.i; 8

a)    a_n = ²——

|

b)    a_n = -

5.    Przeczyta; a) d_n —

n*. i

L)    ⁼ "+I J

\    3-

C) = ——

6. Niech: 54 = -

(l+n)n.

2

Zatem:

1+2    + ...+71++

lim --—r---= lim

3n³ + 4

/° /°

= lim +^0 = lim i ⁺ “

n-+oo 3?7 ^J> + 4 ri->oo Gn³ + 8    n—>oc G + -§r    6

n^iS

§ = o

Ćwiczenie 5

Oblicz granicę.

1+2+3+... +n

tf—>oo    n—2n²

a) lim

b) lim

2+4+6+...+2n

n—> oc.    l+n+?P

c) lim

4+8+12+...+4n oc 1+3+5+... + (2n—1)

ZADANIA

7. Niech S_n = ~ Oblicz lim ^v

1. Oblicz granicę ciągu (a_n).

4 n+8

a) a_r

2n+4

o) Cl_n —

— 6n²+n—5 l+n+3n²

\    _ —4n³+4n²+2n —I

^an —    -6n⁴+4n² + l

, X    3n²—12    ,v    100n² + l

^b)    = 2+w    ^d)    = WHsr

f) <+

n⁵+n⁷—n⁹

2. Oblicz granicę ciągu (a_n).

a) a_n

(n+2)'

(2n—l.)²

b) a_n =

(n² + l)(6—4rC

(n—l)(n³ + l)

\    _ 2n³—n²+2n+l

^C4 ^a” ~ (n+l)(n²-n-:

242    4. Ciągi