018(1)

Omówiony przebieg zmiennych x, 2—x i ⁵ ilustruje tabelka:

■4 X

X	1;	1,9;	1,99;	1,999;	1 ;9999,	1,99999;	1,999999;	...
2—x	i;	0,1;	0,01;	0,001;	0,0001;	0,00001;	0,000001;
5 2—*	5;	50;	500;	5 000;	50 000;	500 000;	5 000 000;

2) Jeżeli x -» 2+0, to (2—*) -> —0, a ^--► — oo czyli lim =

^Z~^x    x-*2+0^Z~^X

= — oo.

Przebieg zmiennych ,v, 2—x i ,⁵— w tym przypadku przedstawia następująca tabelka:

je	3;	2,1	2,01;	2,001;	2,0001;	2,00001;	2,000001;
2-x	1;	-0,1;	-0,01;	-0,001;	-0,0001;	-0,00001;	-0,000001;	...
5 2^x	5;	-50;	-500;	-5000;	-50 000; *	-500 000;	-5 000 000;

Wykres funkcji y = pokazano na rys. 17.

32. Wyznaczyć granice funkcji y — 2'\ gdy x dąży do zera: 1) z lewej strony, 2) z prawej strony, 3) w dowolny sposób.

•U

Rozwiązanie: 1) Jeżeli zmienna x będzie zmierzać do zera z lewej strony poprzez ujemne wartości, tzn. gdy x będzie nieskończenie małą

wielkością ujemną, to ^ będzie nieskończenie wielką wielkością ujemną

i    _:    y

i lim 2* = lim ( ' J * = | ^ j 0, co wynika z rozwiązania zad. 29 (1).

2)    Jeżeli ,v -> — 0, to ' -* - oo i lim 2* = 2 '® = + oo.

'    ^x    *-*+o

3)    Jeżeli .v będzie dążyć do zera w dowolny sposób, nie tylko z jednej strony zera (np. tak jak r w zad. 28), to * dążyć będzie do nieskończoności,

przyjmując przy tym wartości o różnych znakach. Wobec tego funkcja 2* nie ma granicy, gdy x -* 0, i nie jest także wielkością nieskończenie wielką:

lim 2* ^2'® — nie istnieje.

x-*0

Wykres funkcji y = 2^X pokazano na rys. 18.

3)    -> 0.

Rozwiązanie

1    \    ~T.

1) Jeżeli „v    —0, to -> — oo i arc tg —> — ^,

’ X    X    A ’

7t

a więc lim arc tg— — arc tg ( - co) = —

o    ^x    i

2)    Jeżeli x -* -J-0, to ^ -*■ -i oo i arc tg _x , a więc lim arc tg — = arc tg (+ oo) = ■%.

jc-»+0    ^x

35