136 2

270

XIII. Badanie przebiegu zmienności funkcji

Układamy tabelkę przebiegu zmienności danej funkcji:

X	— 00		1	...	2	...	+ 00
y"	— OO	-	-	-	0	+	0
/	-b CC	+	0	-	-	-	0
y	— 00	/	e~^l	\	2e~^2	\	0

Wykres funkcji podaje rysunek 13.1.

Zadanie 13.2. Zbadać przebieg zmienności funkcji y=(ln x)² -2 ln x.

Rozwiązanie. Funkcja jest określona dla x>0.

Obliczmy pochodną

/ = — (lnjr-l).

*

Pochodna jest równa zeru, gdy Inx=l, czyli gdy x=e; wtedy f(e)=-1.

Obliczamy drugą pochodną

y"—~2 (2—lnx).

x

Druga pochodna jest równa zeru, gdy lnx=2, czyli x=e²; wówczas /(e²)= 0.

Wiemy, że lim lnx= —oo, lim lnx=+oo. Z tego wynika, że

x-* + 0    x-* + oo

lim y=+oo i lim y=+oo,

X~* + 0    X~* + £30

a to na podstawie twierdzeń o granicy wielomianu (*), gdy zmienna dąży do — oo lub do + oo.

Krzywa ma asymptotę pionową x = 0, minimum w punkcie x — e i punkt przegięcia, gdy x = e².

Układamy tabelkę przebiegu zmienności danej funkcji:

X	0		e		e^2	...	+ CO
y"	4- oo	+	-+	+	0	—	0
y'	— GO	—	0	+	+	+	0
y	4-co	\	— 1		0		+ co

Wykres funkcji podaje rysunek 13.2.

(') y jest wielomianem stopnia drugiego względem in x.

Zadanie 13.3. Zbadać przebieg zmienności funkcji y=x In x.

Rozwiązanie. Funkcja jest określona dla x>0.

Obliczmy pochodną

y' = ln x +1.

pochodna jest równa zeru, gdy lnx=-l, czyli gdy x=e~^u, wtedy f(e~¹)=-e~¹. Badamy drugą pochodną

j_cst ona stale dodatnia, ponieważ funkcja jest określona tylko dla x>0. Badana krzywa jest więc wszędzie wklęsła i nie ma punktów przegięcia.

Badamy granice

lim xlnx= +oo , lim xlnx=0(¹).

x~* + oo    x-» + 0

Ponadto

lim y'= lim (lnx + l)=-oo.

1—» + 0    *-» + 0

a więc krzywa przy *-> + 0 zbliża się stycznie do osi Oy.

Krzywa osiąga minimum w punkcie x — e~^l.

Układamy tabelkę przebiegu zmienności danej funkcji:

/	0		e~ ^1		-f 00
y"	-+ CC	4-	+	+	0
/	— OO	-	0	4-	+ oo
y	0	\	— e~ ^1	/	+ 00

13.3.

Wykres funkcji znajduje się na rysunki U) Patrz wzór (12.2.7).