138

274 XIII. Badanie przebiegu zmienności funkcji

274 XIII. Badanie przebiegu zmienności funkcji

Punk.

Zadanie 13.6. Zbadać przebieg zmienności funkcji y=e^ll(l~*^2>-Rozwiązanie. Funkcja jest określona dla 1 — x²^Q, tzn. dla x¥^-\ i 1. W tach nieokreśloności znajdujemy granice funkcji (patrz zad. 5.13):

lim /(jc) = 0,    lim/(*)=+oo, lim /(*)= +oo , lim f(x) = Q.

x—-1 — O    x—-1+0    *-1-0    *-1+0

Widzimy, że proste x=-l i x=l są asymptotami pionowymi krzywej. Następnie obliczamy granice funkcji dla x-+-oo i dla jr-+ + co:

lim /(*)= lim f(x) = 1.

X~* “00    X— + 00

Widzimy, że prosta p=l jest dwustronną asymptotą poziomą krzywej.

Obliczmy pierwszą pochodną

1/11 -**)

, 2x

y =-5“i ^e

(I — x²)~

Pochodna równa się zeru, gdy jr = 0; wtedy /(0) = e. Pochodna jest ujemna, gdy jc<0, a dodatnia, gdy jc>0.

Obliczamy granice pochodnej, gdy *-+-1-0, x-»- 1 + 0, x--l - O i x->l+0. Mamy

,= -2 lim

1

lim f'(x)= lim 2x lim - , ,

*--i-o    *--i-o *-»-i —o(l — x )    *— -1 -o (1 — x )

2.2

,i/(i-*²»

Aby obliczyć ostatnią granicę, dokonujemy podstawienia 1/(1 -x²)= -u; zauważmy, że gdy x —► — 1 — O, to -u-* — oo, a więc u-» + oo. Mamy więc

lim f\x)=-2 lim -*-,e^{l/n xlj}=-21im--

*—i-o    *-,-,_₀(1-jc²)²    „-+«, e“

u²

Ale w myśl wyników otrzymanych w zadaniu 12.7 mamy lim —=0 więc

u-* + CO £

lim /(jc) = 0.

*--i-o

Aby obliczyć lim f(x), dokonujemy podstawienia 1/(1— x²) = u i otrzymujemy

*--1 + ó

lim f(x)——2 lim u²e“=— co.

jc^-* — 1+0    u -* + co

Podobnie postępując otrzymujemy

lim /'(+)=+ oo, lim f’(x) = 0. *-i-o    *-i+o

Obliczamy drugą pochodną

y

»    2(3

(l-x²)⁴

uga pochodna jest równa zeru, gdy 3x*- 4x²— 1 =0. Podstawiając x² = t(t> 0) otrzy-" >mv równanie kwadratowe 3r²-4/-1 =0, które ma jeden pierwiastek dodatni t=

iiiUP ^J    /--—

^(L + yJl)- A więc miejscami zerowymi drugiej pochodnej są x_t = -vi(2 + _N/7) i *₂ =

^'*(2 + 7+

funkcja ma przerwy ciągłości w punktach x= — 1 i jc = 1, przy czym przy x dążącym j₀ każdej z tych wartości jedna gałąź krzywej jest styczna do osi Ox, a druga asympto

tycznie zbliża się do prostej x= — 1 lub x=\. Funkcja jest symetryczna względem osi Oy i osiąga minimum w punkcie x = 0. Krzywa ma dwa punkty przegięcia.

Układamy tabelkę przebiegu zmienności danej funkcji:

X	— co	...	X\		-i		...	0		i		...	Xl	...	+ 00
y"	0	-	0	+	0	— CO	_L	+	+	— oo	0	+	0	-	0
y	0	-	-	-	0	— 00	-	0	+	+ co	0	+	+	+	0
y	i	\	/(* i)		0	+ 00	\	e	y	+ CO	0	/	/(**)	y	1

Wykres funkcji podaje rysunek 13.6.

Zadanie 13.7. Zbadać przebieg zmienności funkcji y=xe^l/x. Rozwiązanie. Funkcja jest określona dla *#0.

Obliczmy pochodną

P

y'=e¹,x+xe'^/x ( —V) = e^1,x—— e^ł/x = -—-\ X J    X    X

°chodna jest równa zeru w punkcie x = \; wtedy /(l)=e. Obliczamy drugą pochodną

e

l/x

y" = e^l,x

l/x

1