123 2

W związku z powyższym, nasuwa się tu pytanie, czy nic można uogólnić konstrukcji ciała liczb zespolonych na zbiór złożony z n-elementowych ciągów liczb rzeczywistych i w ten sposób uzyskać możliwość rozpatrywania punktów n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jako elementów ciała. Okazuje się, że dla n > 2 nie jest to możliwe. Ścisłe sformułowanie tego problemu i dowód wspomnianego rezultatu zawarty jest np. w książce J. B t o w k i n a, „Wybrane zagadnienia algebry".

Przykłady

1.    Znaleźć miejsce geometryczne liczb zespolonych z spełniających następujące

warunki:

(a)    \z — 2\ <2

(b)    \z - i\ = |z 4- i]

(c)    \z² + 2z\ = 2

(d)    z = -z

2.    Podać geometryczną interpretację przekształcenia, które liczbie zespolonej

z przyporządkowuje liczbę - z.

Trygonometryczna postać liczb zespolonych

Oprzemy się niżej na następującym twierdzeniu z trygonometrii: dla każdej pary liczb rzeczywistych a, b czyniących zadość równaniu a² + b² = 1 istnieje liczba rzeczywista a taka, że a = cosa i b = sina; jeśli a jest jedną z liczb spełniających te równania, to każda inna laka liczba daje się przedstawić w formie a -4- 2nn, gdzie n jest liczbą całkowitą.

Zastosujemy to twierdzenie do uzyskania tzw. postaci trygonometrycznej liczb zespolonych. Niech z = a + bi, r = \z\ i niech r ¥= 0 (tj. z 0). Wówczas liczby

^ i * czynią zadość równaniu ^ 4- (^ ) = 1, a więc istnieje taka liczba rzeczywista a, że - = cosa,- = sina. Otrzymaliśmy zatem a = rcosa, b= rsina i

r    r

(*) z = r(cosa 4- i sina).

Przedstawienie liczby zespolonej z w formie r(cosa 4- i sina), gdzie r,a są liczbami rzeczywistymi i r > 0, nazywamy postacią trygonometryczną liczby z. Każda rożna od zera liczba zespolona może być więc przedstawiona w postaci trygonometrycznej. Przedstawienie takie nie jest jednoznaczne, gdyż liczba a jest określona z dokładnością do całkowitych wielokrotności 2n. Każdą liczbę a spełniającą równość (*) nazywamy argumentem liczby z. Liczba r występująca w przedstawieniu liczby 2 w postaci trygonometrycznej jesl wyznaczona jednoznacznie, gdyż z nierówności r > 0 wynika, że r = \z\.

Interpretacją geometryczną argumentu jest miara kąta pomiędzy osią OX, a wektorem Oz, mierzoną w mierze łukowej (np. kąt prosty ma miarę łukową j7r). Interpretacją braku jednoznaczności w określeniu argumentu a jest fakt, że powiększeniu a o całkowitą wielokrotność 2n odpowiada obrót wektora Oz o całkowitą wielokrotność kąta pełnego, który doprowadza wektor Oz, z powrotem do położenia wyjściowego.

Definicja