200(1)

gdzie T_xz jest płaskim obszarem, ograniczonym osiami Ox, Oz i parabolą / o równaniu z² — R²—Rx, które otrzymuje się przez eliminację y z danych równań. (Parabola ta jest rzutem na płaszczyznę xOz linii powstającej z przecięcia walca i sfery).

Całkując znajdujemy

R

\ K'—Rx

R

- ą\r/Bx lo = 4R²

921. Obliczyć masę półsfery, jeżeli w każdym jej punkcie gęstość powierzchniowa liczbowo równa się odległości tego punktu od promienia prostopadłego do podstawy półsfery.

Rozwiązanie. Umieśćmy w środku sfery początek układu współrzędnych, tak aby oś Oz była skierowana prostopadle do płaszczyzny podstawy rozważanej półsfery. Wtedy równanie półsfery będzie miało postać z — ) R-—x¹—y², gdzie R promień, a gęstość powierzchniowa masy w punkcie M(x, y, z) wyrazi się wzorem <5 (M) = J.-C+J'²- Prócz tego

Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru (2), otrzymamy

gdzie a_xy — koło x^2j,-y² < R²-Przechodząc do współrzędnych biegunowych, znajdujemy

(Całkę wewnętrzną obliczamy podstawiając q — i? sini)-

922. Wyznaczyć środek ciężkości półsfery, opisanej w poprzednim zadaniu.

Rozwiązanie. Przy tym samym położeniu układu współrzędnych, ze względu na symetrię danej powierzchni i rozkładu na niej masy względem osi Oz, mamy x_c = )'c = 0.

Aby wyznaczyć pozóstałą współrzędną środka ciężkości, obliczmy moment statyczny

m_Xy = I I zSds = R I I' ]/X²-j-y² dxdy = R j j Q²d<pdQ — nR⁴

' a"    g<R

Masę powierzchni wyznaczyliśmy w; adaniu poprzednim. Wobec tego

ze w zoru (3) znajdujemy z_c =    ~.

923. Znaleźć środek ciężkości jednorodnej powierzchni paraboloidy y² -z² = 10x odciętej płaszczyzną x = 10.

Rozwiązanie. Dana powierzchnia (cr) jest symetryczna względem osi odciętych (rys. 202). Dlatego y_c — z_c = 0.

Aby znaleźć odciętą środka ciężkości obliczamy: 1) moment statyczny m_yT oraz 2) masę m danej powierzchni:

1) w,, = f I xdds= 3 f I x] 1TWf+ij&d&z =

^{= _}50 fj    1 25 +y²-\-z²dydz =

,v'² + r^!« 100

⁼ 50 J I 8*1 25+ g² ° dtp do =

ekio

2n jo

o r i■__

~ 50 ) ^dcp I 8²| 25+_G²ede=^_rnd(l+25j/5) o 6    ^J

26*

403