20110120245

9

3. Pochodne II (Monotoniczność i ekstrema, wypukłość, równanie stycznej, różniczka, de 1’Hospital

1.    Korzystając z różniczki podaj przybliżoną wartość ln 0, 9.

2.    Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji:

a)    y = In x w punkcie P = (aoot yo» gdzie ®o *

b)    y =* cob*x # punkcie P*^ (ir/4,yb).

3.. Znajdź przedziały mono toni czności i ekstrema lokalne funkcji:

a) y ** - 4®*; b} y    c) y = JgtfgS y»®e'^,ax; e) y = ®ln^air; f) V *

4.    Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia: a) y = X³ - 3®^a; b) y ^ln(i + x^a); c) y =

5.    Korzystając z reguły de 1’Hospitala oblicz granicę: ■ !2* +1

i) lim

ln sin ^ b) lim —r—^Ł: w lń®

ć) lim xln®: '*—»o

d) lim ^ larcctg ®.

4. Techniki całkowania

Wymagana znajomość całek z podstawowych funkcji:

y = x^adx, y = e*, y = ln®, y = sini, y = cos®, y = --5.

l + x*

1.    Całki prawie do odgadnięcia i najprostsze całkowania: ^a) /j+2^1 h) / y/xdx\ c) f £dx; d) /e²*; e) /cos3®dx;

2.    Całkowanie przez części:

a) /®e*d®, b) fx²e?dx, c) fxainxdx; d) flnxdx, e) /arctg®d®; f) c^rsinxd®.

3.    Całkowanie przez podstawienie:

a) fxe*dx, b) f^l-^dx, c) f x²(l + x*)^lodx; d) /    .

4.    Całkowanie ułamków prostych obu rodzajów:

o) Jlx +1 M b) / ^dx; c)I^,dx, d)/^;e)/    f) I

5.    Całkowanie funkcji wymiernych:

B B ^b) I 1191 1199

6. Całkowanie prostych, naturalnych funkcji trygonometrycznych#'"¹ a) fsin^axdx, b)fsinⁱxdx, c) f sin 2® cos xdx

Uwaga: Potrzebne do c) wzory na zamianę iloczynu na sumę zostaną podane.

5. Całka oznaczonaI całki niewłaściwe. Zastosowania całek

Obliczanie całek oznaczonych o poziomie trudności takim, jak w przypadku całek nieoznaczonych. A ponadto:

i. Oblicz pole trapezów krzywoliniowych :