222(1)

Całkując ten szereg wyraz po wyrazie, otrzymamy szukane rozwinięcie

/

sinx²rfx =

,13

... +C

3    3!7 ¹ 5111    7!15

słuszne (tj. zbieżne i przedstawiające daną całkę) dla każdej wartości .v.

2) Rozwijając funkcję e^x w szereg Maclaurina, mnożąc kolejno jego wyrazy przez }/x i całkując, otrzymamy

/ f ■    "'^dx - f*^T (^l+TT+ 1+ - + 7T+ •••) ■* “

2!

"i--yX ^z +

n\

..j dx —

2    -I

—-- T

3

2 1,21, , 2

TU* +217* ⁺-⁺^!(2«+3)

2W4-3 . 2

Otrzymany szereg jest zbieżny do rozważanej całki dla .v ^ 0. 3) Funkcję podcałkową rozwijamy w szereg dwumienny (D)

j/l-*³ = (l-*³)² = 1- -

1

1

1 ■ 3

.12    2!2²    3! 2³

i całkując kolejno jego wyrazy otrzymujemy szukany szereg

c⁷    1 • 3x¹⁰

X⁹-

JV

1— X³ dx = X -

112 • 4    212² ■ 7    3! 2³ • 10

... +C

zbieżny dla jx| < 1.

1023. Za pomocą szeregów obliczyć z dokładnością do 0,0001 przybliżone wartości następujących całek:

dv

² d_t    ¹    _    i.5 i

⁷‘ ~ J ^h = j ^cos V^{x dx} <1 = f v^arctgT

Rozwiązanie: 1) Funkcję podcałkową rozwijamy w szereg dwumienny (D), w którym podstawiamy x — t*, m = — T-. Otrzymujemy

1

1 • 3

_(!+,•) T₌₁-_,._{+ 2r4}

2

1 • 3 • 5

2-4-6

r*^I2+

Obliczmy kilka kolejnych początkowych wyrazów otrzymanego szeregu przemiennego zbieżnego (z jednym miejscem dziesiętnym w zapasie). Mamy

a_y = 0,500 00, a₂ z -0,00313, a₃ « 0,000 08

Uwzględniając własność szeregów przemiennych zbieżnych (§ 2), stwierdzamy, że dla obliczenia całki z dokładnością do 0,0001 należy wziąć sumę dwóch początkowych wyrazów szeregu

/j X a_l+a₂ ~ 0,4969

Powstały przy tym błąd nie przekracza wartości bezwzględnej pierwszego z odrzuconych wyrazów, czyli jest mniejszy od a₃ ~ 0,000 08.

2) W szeregu Maclaurina dla cos* zastępujemy * przez \x. Otrzymujemy

..4

(x>0)

Całkując w podanych granicach, znajdujemy

/-    X X²-    *³ , ^

COS*/* =    + —...

fco-iGdr [\ ** ^1	*^4 X^5	T
J ^cosV^xdx 1 212 ^+ 413 0 ^u	6! 4 ^1 8! 5	Jo

1

1

1

1

= 1-

2!2 ' 4!3    6!4 ' 8!5

Piąty wyraz powyższego szeregu przemiennego zbieżnego jest mniejszy od 0,0001. Żądaną dokładność uzyskamy ograniczając się do czterech początkowych wyrazów szeregu. Mamy

ł—L ₊ J---

4 ¹ 72

* 0,7635

Szereg ten jest zbieżny do dwumianu (1-f-r⁴)    , gdy |r| < 1. Całkując go

w granicach od 0 do 1 /2, znajdujemy
, [ ^dt \t	1 i^5 i.3	l^9 1-3-5 t^n
^1 J /u-'^4 L	2 5*2-4	9 2-4-6 13
	1 ■ 3	1-3-5

13 Jo

1

2880

v v

^arctg^ ⁼ T

4¹ • 3 ‘ 4⁵ ■ 5    4⁷ • 7

(M <4)

447

1

Podstawiając * = — w szeregu Maclaurina dla arctg*, otrzymamy