220(1)

2) Rozwinięcie w szereg funkcji sin²* można uzyskać mnożąc przez siebie wyraz po wyrazie znany szereg Maclaurina dla funkcji sin*. Mamy

sin².* = sinxsmx 1

= *²-

₃ *+-**-.

Otrzymany szereg, tak jak i szereg dla sin*, jest zbieżny dla wszystkich wartości *.

Tan sam wynik można również uzyskać wychodząc ze związku sin²* = = -i- (1—cos2*) i posługując się szeregiem dla cos2*

yln

"—j-^"+ ...

cos2x — 1    2! ^x 4! ^x    ^ (2«)!

który powstaje z szeregu dla cos* przez podstawienie 2*, zamiast *.

x—3 =j

3)    Daną funkcję zapisujemy jako iloczyn. Mamy    =

= (*—3) (*4-l)^-2. Dwumian *—3 traktujemy jako szereg potęgowy, zbieżny dla każdej wartości *. a dwumian (l+*)~² rozwijamy w szereg Maclaurina wg szeregu dwumiennego (D), dla m = —2

(l+x)-² = l-2*+3*²-4*³+ ... +(-l)«-'n*-'+ ...    (*)J

Mnożąc kolejno wyrazy tego szeregu przez dwumian *—3 otrzymam szukane rozwinięcie

-3+7x-11*²+ ... +(-l)-¹(l-4«)*"-'+ ..

zbieżne do danej funkcji w przedziale (—1, 1), w tym bowiem przedział szereg (*) jest zbieżny do dwumianu (l-fx)~².

4)    Rozwinięcie w szereg dla funkcji e^-3Csinx znajdziemy mnożąc szer* dla e~^x (otrzymujemy go z szeregu Maclaurina dla e^x podstawiając —J zamiast *) przez szereg Maclaurina dla funkcji sin*

_L	JC^2	X^3 4-	W
i	2!	3! ^+	"i v
l	v3	^3 X-^5'	7
3		40	360

x⁶+ ...

Otrzymany szereg jest zbieżny do danej funkcji wszędzie tam, gdzie jest zbieżny w ogóle, czyli na całej osi liczbowej, ponieważ szeregi dla sin* ] dla e~* są zbieżne do tych funkcji na całej osi liczbowej.

5) Przekształcamy daną funkcję: \n(\+2x+2x^l) = ln(l-f-x) (l+2x) = = ln(l+x)+ln(l+2x) i piszemy rozwinięcia w szereg Maclaurina otrzymanych funkcji składowych

+ 00

ln(l+.*):■= y (—l)--¹ —5    -K*<1

+ CO

i* y"    t    r

ln(l+2*) = > (- l)"'"¹ ~~~~»    -±<x<4r

'    n    2    2

71= 1

(drugi z tych szeregów otrzymujemy z pierwszego podstawiając 2x zamiast x). Dodając powyższe szeregi, otrzymamy

+ 00

ln(ł+3x+2.v²)= V(-l)"-¹(l+2-) —;

n    z    2

n=1

Ogólnie gdybyśmy dane w tym zadaniu funkcje rozwijali bezpośrednio w szeregi Maclaurina (obliczając pochodne itd.) otrzymalibyśmy identyczne wyniki, co wynika z ogólnej zasady, mówiącej, że jeśli funkcja jest rozwijal-na w jakiś szereg potęgowy, to szereg ten będzie jednocześnie szeregiem Taylora dla tej funkcji.

1019. Korzystając z odpowiedniego szeregu, obliczyć z dokładnością do 0,0001 wyrażenia: 1) ln 1,1; 2) \f 17.

Rozwiązanie. W celu obliczenia przybliżonej wartości funkcji, z żądaną dokładnością, dogodnie jest posługiwać się szeregami w tych przypadkach, gdy odpowiedni szereg jest przemienny, wtedy bowiem łatwo jest oszacować popełniany błąd przybliżenia przy obliczaniu sumy szeregu. Błąd ten jest mniejszy od bezwzględnej wartości pierwszego z odrzuconych wyrazów (§ 2).

W pozostałych przypadkach obliczając przybliżoną wartość funkcji ² żądaną dokładnością, korzystamy z wzoru Taylora (Maclaurina), w sposób Pokazany przy rozwiązywaniu zad. 304 (rozdz. III, § 1).

1) Napiszmy szereg dla funkcji ln(l -f*) otrzymany w zad. 1012

ln(l+x) = A-—+    +(-l r¹ —+...

z i    n

443